Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Рис. 1.30. Распределение температуры во времени в точкеξ = 0,9999. Fo1 = 10-3; Fo2 = 10-20; n = 103

Рис. 1.31. Распределение температуры во времени для различных Fo2 при Fo1 = 1

0,5

Рис. 1.32. Изменение теплового потока на стенке ξ = 0. Fo1 = 1.

1 – Fo2=10-7; 2 – Fo2 = 0,1; 3 – Fo2 = 0,2; 4 – по формуле (1.169 а)

– 63 –

Fo2

Fo1

0

yδ 1,0

Рис. 1.34б. Распределение скоростей во времени при симметричном течении Куэтта (решение параболического уравнения). Fo = vt / δ2

где u – скорость;

u0 = const – скорость движения пластины в направлении, перпендикулярном оси y;

y – координата; t − время;

δ – расстояние между подвижной и неподвижной пластинами; v – кинематическая вязкость.

Отметим, что уравнение (1.174) получено из системы дифференциальных уравнений Навье-Стокса для случая слоистого одномерного течения при отсутствии массовых сил и градиента давления.

Задача (1.174), (1.175) аналогична задаче нестационарной теплопроводности для бесконечной пластины при несимметричных граничных условиях первого рода, точное аналитическое решение которой известно [26]. Качественная картина распределения скорости течения среды во времени дана на рисунке 1.34, из которой следует, что с увеличением времени распределение скоростей между пластинами приближается к линейному распределению.

Известно, что при решении задач теплопроводности для уравнений параболического типа, аналогичных уравнению (1.174), имеют место так называемые парадоксы теории теплопроводности. Они состоят в том, что вблизи стенки, где задаются граничные условия первого рода, из полученных решений следуют бесконечные величины теплового потока

– 65 –

и скоростей движения изотерм. Это связано с тем, что в основу вывода параболического уравнения теплопроводности, аналогичного уравнению (1.174), положена формула закона Фурье для теплового потока:

где T – температура; q – тепловой поток; x – координата;

λ − коэффициент теплопроводности.

Указанные парадоксы связаны с тем, что в формуле (1.176) уже заложена бесконечная скорость распространения теплового возмущения. В самом деле, в соответствии с решением краевой задачи теплопроводности изменение температуры в какой-либо точке тела приводит к мгновенному изменению её во всех других точках.

Известно, что в основу вывода системы дифференциальных уравнений Навье-Стокса, а, следовательно, и уравнения (1.174), положен закон Ньютона для касательного напряжения (аналогичный закону Фурье):

где τ – касательное напряжение; μ – динамическая вязкость.

Точно так же из решения уравнения (1.174) следуют парадоксы, связанные бесконечными значениями касательных напряжений вблизи стенки и бесконечными скоростями движения изотах (линий одинаковых скоростей) в этой же области среды. Это связано с тем, что бесконечная скорость распространения гидравлических возмущений при нестационарном течении жидкости оказывается заложенной в формуле (1.177), согласно которой напряжение мгновенно следует за скоростью деформации [21].

Таким образом, уравнения параболического типа, выведенные на основе диффузионных законов Фурье, Ньютона, Фика (перенос массы), Ома (перенос электрических потенциалов) и др., не содержат решений, удовлетворяющих нулевым начальным условиям, что объясняется некорректностью математических моделей этих задач. Это связано с тем, что параболический оператор соответствует только строго определенным линиям одинаковых потенциалов (изотерм, изотах и проч.), выход за пределы которых невозможен путем одного лишь расширения начальных и граничных условий.

– 66 –

Поэтому невозможно получить кривые, не свойственные параболическому оператору, одним лишь изменением этих условий – путь, по которому происходило развитие теории краевых задач диффузионного типа. Именно этот путь и приводит к перечисленным выше парадоксам и некорректно постановленным задачам, когдарешениелибонеединственно,либонесуществует,либонеустойчиво[9,27].

Отсюда можно заключить, что в нестационарных процессах законы распределения потенциалов исследуемых полей, вообще говоря, не подчиняются строго законам Фурье, Ньютона, Фика, Ома и др., что связано с отсутствием в формулах этих законов параметров, учитывающих конечную скорость распространения описываемых ими возмущений.

В основу вывода гиперболического уравнения теплопроводности:

положена формула Максвелла – Каттанео для теплового потока [31, 32]:

q = -λ ∂∂Tx -τr ∂∂qt . (1.179)

Формула (1.179) была также получена А.В. Лыковым из предложенной им обобщенной системы уравнений Онзагера, найденной, исходя из гипотезы о конечной скорости диффузии массы и теплоты [19, 20]:

где Ji – поток субстанции (теплоты, массы и т.д.); X – термодинамические движущиеся силы;

L(ir) , Lik , Lik′ – постоянные феноменологические коэффициенты переноса (Lik = Lki).

Если пренебречь производной по времени от движущей силы Xk как это предлагается в [19, 20], (см. [20], стр. 449), то из (1.180) для одномерного потока теплоты получаем формулу (1.179), где L = – λ; L(r) = – τr. Однако, если величиной ∂X / ∂t не пренебрегать, то формула для теплового потока будет иметь вид:

где L′ = – λτr.

– 67 –

На основе формулы (1.181) с использованием уравнения теплового баланса:

выводится следующее гиперболическое уравнение теплопроводности:

где c – теплоемкость; γ – плотность.

Таким образом, гиперболическое уравнение (1.183) получено с учетом всех членов предложенной А.В. Лыковым обобщенной системы уравнений Онзагера (1.180). Аналогичное уравнение можно получить, если применительно к формуле (1.176) вводить релаксационную поправку не только для теплового потока, но и для градиента температуры (см. П.1.3).

Как показали приведенные выше исследования (см. П.1.3, 1.4), учет слагаемого с производной третьего порядка в уравнении (1.183) приводит к существенному не только количественному, но и качественному отличию получаемых результатов по сравнению со случаем его отсутствия.

Применительно к течению вязкоупругой среды Олдройд [19, 33] теоретическим путем получил следующее уравнение:

где τik – напряжение сдвига (касательное напряжение);

ε = dlx / dy –деформация сдвига (относительное удлинение); lx = ut – удлинение (смещение) по направлению оси х;

τp = μ /G – коэффициент релаксации (период релаксации) вязкоупругих напряжений;

G = τ / γ – модуль упругости на сдвиг; γ – угол сдвига;

η, η′ – некоторые постоянные (феноменологические коэффициенты).

– 68 –

Если положить L = η, L′ = η′, L(r) = – τp, то уравнение (1.184) оказывается тождественным уравнению (1.180) [19].

Обозначая η = μ; η′ = μτp, а также учитывая, что:

Очевидно, что соотношение (1.186) по форме записи аналогично соотношению (1.181). Соотношение (1.186) можно также получить, если учесть релаксационные добавки как для касательного напряжения, так и для гра-

(1.177), приходим к формуле (1.186).

При плоском прямолинейном сдвиговом движении основное уравнение динамики в напряжениях приводится к виду [21]:

Найдем аналогичное уравнение для функции u = u(y, t). Дифференцируя (1.187) по времени, находим:

– 69 –

Дифференцируя уравнение (1.186) по переменной y, будем иметь:

Уравнение (1.192) по форме записи аналогично уравнению (1.183). Если вместо соотношения (1.186) для касательного напряжения исполь-

зовать формулу:

то приходим к следующему гиперболическому уравнению для функции u (аналогичный вид будет иметь и уравнение для τ):

В этом случае получаем уравнение, аналогичное (1.178)

Отметим, что уравнения вида (1.191), (1.194) могут быть получены также и для задач диффузии вихря.

Для нахождения точного аналитического решения уравнения (1.192) рассмотрим краевую задачу при симметричном течении Куэтта, то есть предположим, что две бесконечные плоскопараллельные пластины перемещаются в неподвижном потоке жидкости. Поскольку задача симметричная, то будем рассматривать лишь половину ширины канала (см. рис. 1.34б). Граничные условия для уравнения (1.192) в данном случае будут иметь вид:

– 70 –