Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Отметим, что дискриминант D соотношения (1.105) при любых vk и For меньше нуля, то есть D = 4Forvk – (1+Forvk)2 < 0. Следовательно, из (1.105) для каждого собственного числа vk будем получать два действительных от-

Каждое частное решение (1.107) удовлетворяет уравнению (1.93) и граничным условиям (1.96), (1.97), но ни одно из них не удовлетворяет начальным условиям (1.94), (1.95). Составим сумму частных решений:

(r = 2k – 1).

Для определения неизвестных коэффициентов C1k и C2k используются начальные условия (1.94), (1.95). Подставляя (1.108) в (1.95), получаем:

– 41 –

до Θ = 1 при ξ = 0,95, в то время как при ξ = 1 Θ(1; 2.10-8) = 0. Аналогичное распределение температуры имеет место и для других чисел Fo < 10-6. Для всех чисел Fo, при которых происходит скачок температуры на стенке в окрестности точки ξ = 1, каких-либо совпадений с решением параболического уравнения не обнаруживается. С увеличением числа For скачкообразное изменение температуры вблизи стенки в окрестности точки ξ = 1 наблюдается уже для бóльших чисел Fo (см. рис. 1.20 – 1.24). Для бóльших чисел Fo совпадение с решением параболического уравнения имеет место лишь для тех чисел Fo, при которых скачок температуры на стенке в окрестности точки ξ = 1 не наблюдается, т. е. температурная кривая исходит из точки Θ = 0 при ξ = 1 (например, все кривые для Fo ≥ 0,005, приведенные на рис. 1.20).

При дальнейшем увеличении числа For температурные кривые становятся более пологими и при For > 20, практически параллельными оси ξ. Скачок температуры на стенке в окрестности точки ξ = 1 в этом случае имеет место практически для всех чисел Fo вплоть до наступления стационарного состояния.

На рисунке 1.25 дано распределение температуры во времени для ξ = 0,9999 при For = 10-3. Анализ результатов позволяет заключить, что в диапазоне 0 ≤ Fo ≤ 0,2.10-3 температура в точке ξ = 0,9999 равна начальной температуре Θ(0,9999; 0,2.10-3) = 1. В диапазоне 0,2.10-3 ≤ Fo ≤ 7.10-3 температура в этой точке экспоненциально уменьшается от Θ(0,9999; 0,2.10-3) = 1 до Θ(0,9999; 7.10-3) = 0. И для всех Fo > 7.10-3 температура в точке ξ = 0,9999 принимает нулевое значение, заданное граничным условием

Временнóй диапазон, в пределах которого происходят скачки температуры на стенке, зависит от величины For. С возрастанием For он смещается в сторону бóльших чисел Fo.

Величина For = aτr / δ2 при неизменных а и τr зависит лишь δ. Выполним оценку толщины слоя и времени τ, при которых имеют место скачки

за это время перемещается на величину ∆ξ = 0,00018 мм, что составляет 0,18 % от толщины пластины δ = 0,1 мм. Следовательно, для метал-

– 43 –

лов (и в частности для алюминия) релаксационные члены в уравнении теплопроводности следует учитывать лишь для очень быстропротекающих процессов, время протекания которых находится в пределах 10-9 − 10-10сек. За пределами этого времени получаемые по соотношению (1.108) решения полностью совпадают с решением параболического уравнения теплопроводности.

Однако для некоторых материалов коэффициенты релаксации τr могут быть на несколько порядков бóльшими, чем τr металлов. Это газы (например, для азота τr = 10-3 с), жидкий гелий − τr = 10-3 с [27] и др. Для таких тел величины чисел For могут быть настолько большими, что теплообмен со скачком температуры в окрестности точки ξ = 1 будет наблюдаться практически во всем диапазоне нестационарного процесса (см. рис. 1.21 – 1.24). И особенно это характерно для тел малой толщины (для тонких пленок), так как For = а τr /δ2 с уменьшением толщины возрастает. Как следует из рисунков 1.21 – 1.24, охлаждение таких тел происходит практически при отсутствии градиента температуры по толщине пластины, то есть изменение температуры происходит лишь во времени. Скорость тепловой волны для таких тел w = aτr → 0 , а скорость перемещения изотермы wт = dξ/dFo → ∞. Отметим, что граничное условие первого рода (1.97) при любом For во всем диапазоне нестационарного процесса выполняется. Скачок температуры происходит на весьма малом расстоянии от точки ξ = 1.

Выполненные исследования показали, что решение (1.108) не приводит к появлению скачков температуры (а, следовательно, и к возникновению изотерм внутри тела). Во всем исследованном диапазоне чисел Fo и For не обнаружено также и появление отрицательных температур.

Используя формулу (1.80), найдем изменение теплового потока на стенке (ξ = 1). Формула (1.80) в безразмерном виде с учетом обозначений (1.92) записывается следующим образом:

– 44 –

Интегрируя уравнение (1.114), получаем:

где C – постоянная интегрирования, определяемая из начального условия q(0) = 0 . Подставляя (1.115) в данное начальное условие, находим:

Формула(1.3)вбезразмерномвидедляповерхностипластиныξ=1будет:

Решениеуравнения(1.118)иформуладляпостояннойинтегрированияимеют соответственно вид (1.116) и (1.117), гдеB(Fo) следует заменить наD(Fo).

Результаты расчетов по формуле (1.116) (при For = 0,3) для случаев, когда тепловой поток описывается уравнениями (1.114) и (1.118), представлены на рисунке 1.25. На этом же рисунке даны результаты расчетов теплового потока, определяемого по формуле (1.2), которая в безразмерном виде будет:

где Θ(ξ, Fo) определялась по классическому точному аналитическому решению уравнения (1.1) вида (1.46).

Анализ результатов расчетов позволяет сделать следующие выводы. Тепловой поток, определяемый по формуле (1.119), непосредственно на стенке (ξ = 1) при Fo = 0 равен бесконечно большой величине (кривая 1 нарис.1.25).Сувеличениемвремени q(Fo)уменьшаетсяпоэкспоненциальной зависимости и при Fo ≈ 3 тепловой поток становится практически равным нулю.

Тепловой поток, определяемый по формуле (1.116), представляющей решение уравнения (1.114), при For = 0,3 ξ = 1 и Fo = 0 равен нулю. Затемсувеличениемвремени он возрастает и при Fo =Fo* ≈0,072достигает максимального значения q ≈ 0,37 (кривая 2 на рис. 1.25). При дальнейшем увеличении времени тепловой поток уменьшается по экспоненциальной

– 45 –

зависимости и при Fo ≈ 3 становится практически равным нулю. С увеличением числа For величина максимального значения q, как это следует из формулы (1.116), уменьшается и в пределе при For → ∞ q → 0.

Изменение теплового потока, определяемого формулой (1.116), в случае, когда B(Fo) заменено на D(Fo) (решение уравнения (1.118)), при For = 0,3 подчиняется закономерности, описываемой линией 3 на рисунке 1.25. В данном случае тепловой поток на стенке ξ = 1, имея нулевое значение при Fo = 0, с увеличением числа Fo возрастает до некоторого максимального значения Fo = Fo1 ≈ 0,08 и равного q ≈ 1,83. При дальнейшем увеличении числа Fo тепловой поток изменяется скачкообразно, принимая в некоторых диапазонах числа Fo отрицательные значения. При этом амплитуда скачков с увеличением числа Fo уменьшается, стабилизируясь вблизи нулевого значения величины q при Fo ≈ 3. Такое скачкообразное изменение теплового потока с корреляцией в область отрицательных его значений приводит к появлению скачков температуры в прямой и обратной волнах, а также и к отрицательным температурам. Отметим, что с увеличением числа For амплитуда колебаний теплового потока уменьшается.

При расчетах тепловых потоков по формулам (1.116), (1.119) в формулах для определения температур (1.108), (1.46), а также в формуле, представляющей решение уравнения (1.4), было использовано по пять членов ряда.

Полученные выше результаты позволяют заключить о том, что коэффициент конвективной теплоотдачи на стенке не может превышать некоторого верхнего предела. Для оценки этого предела запишем уравнение конвективного теплообмена на стенке x = δ:

– λ dt/(δ, τ)/dx = α(t-tср),

где α – коэффициент конвективной теплоотдачи; tср – температура среды.

Для приведения последней формулы к безразмерному виду обозначим Θ(1; Fo) = (t-tср)/ (t0-tср). Используя данное обозначение, а также обозначения (1.92), уравнение конвективного теплообмена приводится к виду:

где Bi = αδ/λ .

Принимая ξ = 0,99 и выражая Bi из (1.120), находим:

– 46 –

Рис. 1.23. Распределение температуры во времени в точке ξ= 0,9999. Fo1 = 10-3; Fo2 = 10-20; n = 103

– 48 –

9

0,6

15

0,4 20

Рис. 1.24. Распределение температуры в пластине. For = 20; n = 104

Рис. 1.25. Изменение теплового потока на стенке ξ = 1. 1 – по формуле (1.119); 2 − по формуле (1.116) (решение уравнения (1.114));

3 – по формуле (1.116) (решение уравнения (1.118); For = 0,3

Для For=0,3, Fo* = 0,072 из расчетов по формуле (1.121) получаем Bimax = 0,89. Тогда, например, для стальной пластины (λ = 49 Вт/(мК)) толщиной δ = 0,01 м максимальный коэффициент теплоотдачи будет αmax = Bi α/δ = = 4005 Вт/(м2.К). Таким образом, механизм теплопроводности с учетом релаксационных свойств материалов ограничивает количество тепла, отводимого от системы.

Порезультатампроведенныхисследованийможносделатьследующиевыводы: 1. Показано, что гиперболическое уравнение теплопроводности, выведенное с использованием для теплового потока формулы Максвелла-Катта- нео, неадекватно уравнению теплового баланса ввиду неучета релаксации

градиента температуры.

– 49 –

2.С учетом запаздывания во времени на величину коэффициента релак-

сации τr не только теплового потока, но и градиента температуры, получено гиперболическое уравнение теплопроводности, содержащее третью производную по пространственной переменной и времени (смешанную производную). При его выводе использовано уравнение теплового баланса, содержащее релаксационные добавки во всех его членах.

3.Выполненные исследования полученного точного аналитического решения указанного гиперболического уравнения теплопроводности позволяют заключить, что распределение температуры в теле определяется величиной числа For. При малых его значениях решение задачи (1.93) – (1.97) совпадает

срешением параболического уравнения при аналогичных граничных условиях.

С увеличением числа For кривые распределения температуры приближаются к прямым линиям, практически параллельным оси ξ, со скачком температуры в окрестности ξ = 1. Отметим, что граничное условие первого рода (1.97) выполняется во всем диапазоне времени нестационарного процесса (скачок температуры имеет место лишь на некотором малом расстоянии от точки ξ = 1).

4.Решение (1.108) не приводит к появлению скачков температуры внутри тела, а также к отрицательным температурам.

5.Анализ полученных результатов позволяет заключить, что коэффициент теплоотдачи не может превысить некоторой максимальной для данных конкретных условий (определяемых толщиной тела и его физическими

свойствами) величины ни при каких внешних условиях теплообмена.

1.4. Гиперболические уравнения с производными высокого порядка

Для получения гиперболического уравнения с производными еще болеевысокогопорядкапредставимтепловойпотокиградиенттемпературы соотношениями, включающими их производные по времени более высокого порядка [23], т.е.:

где τ1 τ2 – времена релаксации процесса, характеризующие реакцию вещества на изменение потока тепла и градиента температуры.

Последнее соотношение можно переписать в виде:

– 50 –