Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Сопоставляя уравнения (3.6) и (3.9), находим:

Следовательно, величина е в уравнении (3.6) является аналогом скорости упругих продольных волн, распространяющихся в теле, выведенном из состояния равновесия под действием некоторой силы. Иногда величину е называют скоростью звука в твердом теле [17, 30]. Указанная аналогия позволяет заключить, что для распространения волн в среде она должна обладать упругостью и инертностью.

Уравнения (3.6), (3.9) описывают незатухающие колебания упругих тел. Для учета затухания колебаний эти уравнения должны содержать слагаемые, учитывающие силы внутреннего трения. Отметим, что в основу вывода уравнений (3.6), (3.9) положена бесконечная скорость распространения возмущений. Бесконечная скорость уже заложена в диффузионном уравнении закона Гука (3.1), лежащего в основе вывода уравнения (3.6). Согласно (3.1) возмущение, вызванное некоторой силой на границе тела, на любое расстояние по его длине передается мгновенно. Однако напряжение σ и вызванное силой F перемещение u не могут мгновенно достигать любых конкретных величин. В реальном теле процесс их изменения происходит с некоторым запаздыванием во времени согласно релаксационным свойствам материала, учитываемым коэффициентом релаксации τr.

Для учета релаксационных свойств материала скорости изменения во времени напряжения σ и градиента перемещений ∂u/∂x в формуле (3.1) будем представлять в виде следующих соотношений:

вторые слагаемые которых представляют скорости изменения напряжения σ и градиента перемещений ∂u/∂x во времени, где коэффициент релаксации τr учитывает реакцию вещества на изменение этих величин.

Формула (3.1) с учетом соотношений (3.11) будет:

Формула (3.12) по форме записи полностью совпадает с формулой для касательного напряжения (1.184), полученной Олдройдом [33] и формулой (1.186), полученной А.В. Лыковым [19].

– 111 –

рован по линейному закону, согласно которому максимальные перемещения имеет свободный торец стержня. Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид:

где δ – длина стержня;

b – коэффициент, учитывающий начальное перемещение стержня.

Из начального условия (3.17) следует, что при t = 0 перемещение стержня линейно зависит от координаты x, принимая максимальное значение u(0, 0) = bδ в точке x =0 и минимальное u(δ, 0) = 0 – в точке x =δ. Согласно условиям (3.18) и (3.19) начальные скорости и ускорения всех точек стержня равны нулю. Граничное условие (3.20) означает отсутствие нагрузки на незакрепленном торце стержня (при x = 0), а условие (3.21) характеризует жесткое закрепление торца стержня при x = δ.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

где Θ – безразмерное перемещение; ξ – безразмерная координата;

Fo – число Фурье (безразмерное время);

For = const; u0 = bδ.

С учетом обозначений (3.22) задача (3.16) – (3.21) приводится к виду:

– 113 –

где φ′, φ′′, φ′′′ –первая, вторая и третья производные от функции φ(Fo) по времени Fo;

ψ′′– вторая производная от функции ψ(ξ) по координате ξ; μ2 –некоторая постоянная.

Из(3.30)получаемследующиеобыкновенныедифференциальныеуравнения:

РешениекраевойзадачиШтурма-Лиувилля(3.32)–(3.34)принимаетсяввиде:

– 114 –

Очевидно, что соотношение (3.35) удовлетворяет граничным условиям (3.33), (3.34). Подставляя (3.35) в (3.32), для определения собственных чисел получаем следующую формулу:

Собственные функции с точностью до постоянного множителя (ввиду однородности уравнения (3.32)) находятся из (3.35). Величину постоянного множителя можно положить равным единице [23].

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения (3.31) имеет вид:

For z3 + z2 +(1+νk )For z +νk = 0. (k =1,∞). (3.37)

Корни алгебраического уравнения третьей степени для каждого собственного числа будут:

где D1 = A(A1 – 2); A = 1 / (12For);

D2 = A2 / (3For A1);

A1 = 3В1 + В2 ;

B1 = 36For2 (1 – 2vk) – 8;

В2 = 123For [4Fo4r (ν3k +3ν2k +3νk +1) + Fo2r (8ν2k −20νk −1) +4vk ]1/ 2 ; i = −1.

Частные решения уравнения (3.31) будут:

φ1 = exp (z1k / Fo); φ2 = exp[(D3 – iD4)Fo]; φ3 = exp[(D5 – iD6)Fo].

На основе частных решений запишем общий интеграл уравнения (3.31):

φk(Fo) = C1k exp(z1kFo) + C2k exp[(D3 – iD4)Fo] + C3k[(D5 – iD6)Fo]. (3.41)

– 115 –

где D = D3 + D5.

Каждое частное решение (3.43) удовлетворяет уравнению (3.23) и граничнымусловиям(3.27),(3.28),нониодноизнихнеудовлетворяетначальнымусловиям (3.24) – (3.26). Для их выполнения составим сумму частных решений:

∞

Θ(ξ, Fo) = ∑(С1k exp( z1k Fo) +exp( DFo)(С2k exp(iD4 Fo) +

k =1

+С3k exp(−iD6 Fo))) cos(rπξ/ 2) . (r = 2k −1; k =1, ∞) . (3.44)

Постоянные интегрирования C1k, C2k, и C3k находятся из начальных усло-

вий (3.24) – (3.26). Подставляя (3.44) в (3.25), получаем:

Соотношение (3.47) представляет разложение функции 1 – ξ в ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке [0; 1]. Для нахождения неизвестного коэффициента C3k умножим соотношение (3.47) наcos(jπξ/2)ипроинтегрируемполученноевыражениевпределахотξ=0доξ=1:

– 116 –

Соотношение (3.48) ввиду ортогональности косинусов будет иметь вид:

где C1k и C2k находятся из (3.45) и (3.46).

После определения постоянных C1k, C2k и C3k точное аналитическое решение задачи (3.23) – (3.28) в замкнутом виде находится из (3.44).

Формула (3.1) закона Гука с учетом обозначений Θ = u/u0 и ξ = x/δ в безразмерном виде будет:

где σ = σ/(bE) ; Θ(ξ;Fo) − функция, описывающая распределение безразмерных перемещений в случае незатухающих колебаний упругих тел, то есть эта функция является решением уравнения (3.23) при равенстве нулю всех членов, находящихся в произведении с For.

Точное аналитическое решение уравнения незатухающих колебаний имеет вид:

Результаты расчетов безразмерных напряжений по формуле (3.51) при использовании для функции Θ соотношения (3.52) даны на рисунке 3.1.

Соотношение (3.12) в безразмерном виде будет:

где A1 = 1/For;

A2 (Fo)= ddξd2ΘFo + Fo1 r ddΘξ .

– 117 –

гдеС– постоянная интегрирования, определяемая из начального условия (3.54).

Результаты расчетов безразмерного напряжения по формуле (3.55) даны на рис. 3.2. Их анализ позволяет заключить о том, что нормальные напряжения различных точек стержня изменяются во времени по гармонической зависимостисзатухающейамплитудойпринеизменнойчастотеколебаний. Отметим, что на свободном торце стержня (ξ = 0) нормальные напряжения отсутствуют (σ = 0 ) в течение всего времени нестационарного процесса.

Анализ результатов расчетов перемещений стержня по формуле (3.44) позволяет заключить, что при For ≤ 10-4 практически получаются незатухающие колебания. Варианты расчетов с затухающими колебаниями даны на рис. 3.3 – 3.10. Из их анализа следует, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается согласно некоторой экспоненциальной зависимости. При малых значениях For (For < 0,1) имеет место симметрия отклонений стержня относительно нулевого значения перемещения Θ. СувеличениемFor (см.рис.3.5дляFor =0,5)возникаетнесимметриязатухающих колебаний относительно нулевой величины Θ. Например, при For = 2 (см. рис. 3.7) колебания стержня вплоть до Fo ≈ 5,6 происходят в положительной области перемещений. При увеличении числа Fo затухающие колебания стержня стабилизируются вблизи нулевого значения перемещения.

Дальнейшее увеличение числа For (см. рис. 3.8 – 3.10 для For = 5 и For = 10) приводит к увеличению числа колебаний в положительной области перемещений. Так, например, при For = 5 колебания в этой области совершаются вплоть до Fo ≈ 19, что для стержня длиной δ = 1 м при e = 1000 м/с соответствует t = Fo δ/e = 0,019 с размерного времени. Таким образом, для высокоупругих стержней (большое число For) их возврат от некоторого деформированного начального состояния к исходному (невозмущенному) сопровождается возникновением высокочастотных колебаний, которые на некотором начальном временном интервале происходят лишь в положительной области перемещений, а затем с увеличением времени с медленно

– 118 –

– 120 –