Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

где D(Fo) =

∂Θ(1, Fo) ; q =

; A =1/ For .

λ(t0 − tст )

Интегрируя уравнение (1.43), получаем:

q(Fo) = [∫ AD(Fo) exp(AFo)dFo + C] exp(−AFo) ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Используя формулу (1.3), найдем изменение теплового потока на стенке ξ = 1. Формула (1.3) в безразмерном виде с учетом обозначений (1.7) будет:

∂∂Foq + Aq + D(Fo) = 0 , (1.43)

где С – постоянная интегрирования, определяемая из начального условия q(0) = 0 . Формула для нее будет:

C = ∫ AD(Fo)dFo.

Результаты расчетов по формуле (1.44) (при Fоr ≤ 0,3) представлены на рисунке 1.13. На этом же рисунке даны результаты расчетов теплового потока, определяемого по формуле (1.2), которая в безразмерном виде будет:

q = −∂Θ(ξ, Fo)/∂ξ ,

(1.45)

где Θ (ξ, Fо) определялась по следующему классическому точному аналитическому решению уравнения (1.1):

∞	(-1)i-1 4	cos(r	π		r 2 π2
Θ(x,Fo) = ∑				x)exp(-		Fo) . (1.46)
Θ(x,Fo) = ∑	rπ		2	x)exp(-	4	Fo) . (1.46)
i=1	rπ		2		4

Анализ результатов расчетов позволяет сделать следующие выводы. Тепловой поток, определяемый по формуле (1.45), непосредственно на стенке (ξ = 1) при Fо = 0 равен бесконечно большой величине (кривая 1 на рис. 1.13). С увеличением времени q(Fо) уменьшается по экспоненциальной зависимости и при Fо ≈ 3 тепловой поток стано-

вится практически равным нулю.

– 21 –

Тепловой поток, определяемый по формуле (1.44), представляющей решение уравнения (1.43), при Fоr = 0,3, ξ = 1 и Fо = 0 равен нулю. Затем с увеличением времени он возрастает и при Fо = Fо1 ≈ 0,008 достигает максимального значения q ≈ 1,8 (кривая 2 на рис. 1.13). При дальнейшем увеличении числа Fо тепловой поток изменяется скачкообразно, принимая в некоторых диапазонах числа Fо отрицательные значения. При этом амплитуда скачков с увеличением числа Fо уменьшается, стабилизируясь вблизи нулевого значения величины q при Fо ≈ 3. Такое скачкообразное изменение теплового потока с корреляцией в область отрицательных его значений приводит к появлению скачков температуры в прямой и обратной волнах, а также и к отрицательным температурам. Отметим, что с увеличе-

нием числа Fоr амплитуда колебаний теплового потока уменьшается.

1,0		0,005 0,001	0,0001
Θ
		0,01
0,1	0,06

0,8

0,2

0,6 0,3

0,4

0,6

0,2

Fo =1

0,2

0,4

0,6

0,8

x 1,0

Рис. 1.1. Изменение температуры в пластине с учетом конечной скорости распространения теплоты (0,0001 ≤ Fo ≤ 1,0). Fоr = 10-7

1,0							-	5			5	10	-6		5 10-7
1,0

Θ						1,5	10			10-5
Θ					5 10-5									10-6
0,8					5 10-5									10-6
0,8

0,6			10-4
0,6
0,4			2,5 10-4

	5 10-4
	5 10-4

	10-3
0,2
	Fo = 5	10		-3


0,98	0,984				0,988				0,992			0,996		x	1,0

Рис. 1.2. Изменение температуры в пластине с учетом конечной скорости распространения теплоты (5.10-7 ≤ Fo ≤ 5.10-3). Fоr = 10-7

– 22 –

1,0

Θ
Θ			3	10-7	2	10-7	10-7	5 10-8
0,8			3	10-7	2	10-7	10-7	5 10-8

		5 10-7
		5 10-7

0,6		10-6
		10-6


0,4

	5 10-6
	5 10-6

	10-5
0,2
0,2	Fo = 5	10-5
	Fo = 5	10-5


0,9982	0,9986	0,9989	0,9993		0,9996		x	1,0

Рис. 1.3. Изменение температуры в пластине с учетом конечной скорости распространения теплоты (5.10-8 ≤ Fo ≤ 5.10-5). Fоr = 10-7

1,0
Θ
0,8
	10-7	8 10-8	5 10-8		2,5 10-8 10-8
0,6
0,4	2 10-7
	3 10-7
0,2	10-6
	Fo = 5 10-5
0,9996	0,99968	0,99976	0,99984	0,99992	x	1,0

Рис. 1.4. Изменение температуры в пластине с учетом конечной скорости распространения теплоты (10-8 ≤ Fo ≤ 5.10-5). Fоr = 10-7

1,0			0,05	0,04	0,03	0,02	0,01	0,005	0,001
Θ		0,06	0,05	0,04	0,03	0,02	0,01	0,005	0,001
Θ		0,07
		0,1
0,8
		0,2
0,6	0,3
	0,4
0,4
	0,55
0,2	0,8
	0,8
	Fo = 1,1
0	0,2	0,4			0,6	0,8			x 1,0

Рис. 1.5. Распределение температуры в пластине с учетом конечной скорости распространения теплоты. Fоr = 6,25.10-3

– 23 –

1,0
Θ			ξ	= 0,1
0,9			0,3
			0,3
0,8			0,4
0,7			0,5
0,7
0,6			0,6
0,6
0,5			0,7
0,5
0,4			0,76
0,4			0,8
			0,8
0,3			0,86
			0,86
0,2			0,9
0,1		0,95
0,1		ξ = 0,99
		ξ = 0,99
0	0,04	0,08	0,12	0,16	0,2	0,24	0,28	0,32 0,36 Fo 0,4

Рис. 1.6. Изменение температуры во времени в различных точках координаты ξ.

– – – – – – – – линия перемещения фронта тепловой волны по координате ξ во времени (Fоr = 6,25.10-3)

1,0 x

0,8

0,6

0,4

x
=
1
-
	FoFo

r-0,5

0,2

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,08

Рис. 1.7. Перемещение фронта тепловой волны по координате ξ во времени Fo. Fоr = 6,25.10-3

	1,0	Θ = 0,1
	ξ	Θ = 0,1
	0,9	0,2
		0,2
	0,8	0,3
	0,7	0,4
	0,7
	0,6	0,5
	0,6	0,6
		0,6
	0,5	0,7
		0,7
	0,4	0,8
		0,8
	0,3	0,9
		0,9
	0,2	0,95
	0,1	0,97
	0,1	0,99
		0,99

0										0,36 Fo 0,4
0	0,04	0,08	0,12	0,16		0,2	0,24	0,28	0,32	0,36 Fo 0,4

Рис. 1.8. Распределение изотерм Θ = const по координате ξ во времени.

–– – – – – – – линия перемещения фронта тепловой волны (Fоr = 6,25.10-3)

–24 –

1,0
Θ	0,3155	Fo = 0,3
0,9				0,25		0,2	0,15			0,1	0,05	0,03	= 0,01
0,8				0,25		0,2	0,15			0,1	0,05	0,03	= 0,01
0,8													Fo
													Fo
Fo = 0,31623	0,32	0,33	0,36
0,5	Fo = 0,36			0,4
0,5			0,4	0,4
			0,4
0,4			0,45			,45
0,4						,45
			0,5			0
			0,5
0,3			0,55
0,3			0,6					,5
			0,6					,5
			0,65					0	0,8
0,2			0,65						0,8
0,2			0,7							,55
			0,75							,55
			0,8							0	0,75
0,1			0,8
			0,88
			0,88	1,0							0,7	,6
											0,7

			Fo = 1,1									0
0			Fo = 1,1
0
												0,65
−0,1													ξ 1,0
			0,1	0,2	0,3	0,4	0,5		0,6	0,7	0,8	0,9	ξ 1,0
Рис. 1.9. Изменение температуры в пластине с учетом конечной скорости
			распространения теплоты (Fоr = 0,1)

1,0
Θ
0,9
0,8			ξ =0,05
0,8			0,1
			0,1
		,2
0,7		0
0,7		,3
		,3
		0
0,6		,4
		0	,
			05
			0
0,5		,5
0,5		0
0,4		,6
0,4		0
		,7
0,3		0
0,3		,		05,
		,
	075
		,8		0	0,3
		,8
0,2	0
0,2	,			,5
	0	85		0
	0,9			,7			ξ =0,05
0,1	0,9			0			ξ =0,05
0,1	0,95							0,5
	0,95		0,9		0,85		0,3	0,5
	ξ =0,99		0,9
0	0,2		0,4	0,6	0,8	0,9 1,0		1,2	1,4	1,6	1,8	Fo 2,0

Рис. 1.10. Изменение температуры во времени в различных точках координатыξ (Fоr = 0,1).

– – – – – – – – линия перемещения фронта прямой и обратной тепловой волны

– 25 –

1,0
Θ
0,9	0,54	0,5
	0,54	0,5
0,8
0,7	Fo = 0,5477		,4
			,4
			Fo = 0		0,3		0,2	0,15	0,1	0,05	= 0,01
0,6			Fo = 0		0,3		0,2	0,15	0,1	0,05	= 0,01
0,6											Fo
											Fo
0,5			0,5
					0,4
0,4	0,56					0,3
		0,6				0,3
		0,6
0,3			,7					0,2
			,7					0,2
			0						0,15
0,2									0,15
0,2					0,8
		0,7			0,8	,85
0,1		0,95	0,9		0,8	0	9
					0,8	0,85	0,	0,95	1,0
0						0,85	0,	0,95	1,0
0
−0,1									1,2		1,1
−0,1		Fo = 1,2			1,0
		Fo = 1,2	1,1		1,0
−0,2											ξ
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	ξ	1,0

Рис. 1.11. Изменение температуры в пластине с учетом конечной скорости
		распространения теплоты (Fоr = 0,3)
0,2
Θ
0,16
0,12							= 0,6
0,08							= 0,6
0,08							Fo
							Fo
	2,5	2,4	2,3	2,2	2,1	2,7	2,6		,0
0,04									1
0,04	2,7		Fo = 2,6		2,5		2,4		2,3	2,2
	2,7

0								2,0
						1,9		2,0
−0,04						1,9
−0,04					1,9					2,1
		1,7		1,8	1,9					2,1
−0,08		1,7		1,8
−0,08
−0,12			1,5				1,3		1,2
	,6		1,5		1,4		1,3		1,2	1,1
−0,16	1
−0,16
−0,2	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9 x 1
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9 x 1
Рис. 1.11 а. Изменение температуры в пластине с учетом конечной скорости
		распространения теплоты (Fоr = 0,3)

– 26 –

1,2
ϕ
1,0	0,1 0,2		0,5
	0,1 0,2	0,3	0,5
	=	,4
0,8	r	0
0,8	Fo	0
0,6
0,4
0,2			0,1
0,2
			For = 0,00625	0,2	0,3	0,4	0,5
						0,4
0
0			0,2				0,3	0,4		0,5
			0,2

−0,2			0,3
−0,2			0,4	0,5
−0,4
−0,5	0		1	2		3		4	Fo	5
	0		1	2		3		4	Fo	5
Рис. 1.12. Изменение функции φ(Fo) для различных значений Fоr

2,0	1
q	1
q	2
1,6	2
1,6
1,4
1,2
1,0		2
0,8		2
0,8
2		1
0,6		1
0,6
0,4
0,2
0
− 0,2 Fo 1	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5 Fo 3,0

Рис. 1.13. Изменение теплового потока на стенке (ξ = 1).

Fоr = 0,3. 1 – по формуле (1.45); 2 – по формуле (1.44)

1.2.Получение аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности для плоской стенки

при граничных условиях третьего рода

Выше (см. П.1.1) дана последовательность получения и результаты исследования точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности для бесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода. И было показано, что в процессе нагрева (охлаждения) пластины на фронте температурного возмущения наблюдается скачок температуры. При достижении фронтом тепловой волны

– 27 –

центра пластины возникает обратная тепловая волна, также имеющая скачок температуры на ее фронте. В процессе детального исследования полученного решения был обнаружен принципиальный факт: в отдельные моменты времени процесса охлаждения температура на некоторых участках внутри пластины может оказаться меньшей температуры, заданной граничным условием первого рода. Причиной полученных результатов является инерционность теплового потока, определяемого формулой (1.3), из которой следует, что когда градиент температуры становится равным нулю(∂t/∂x=0),тепловойпотокнеисчезаетмгновенно,азатухаетсовременем релаксации. Такая закономерность изменения теплового потока приводит к осцилляциям температуры внутри пластины в процессе теплообмена, которыевотдельныемоментывременимогутпроникатьвобластьзначений температур, превышающих (при нагреве) или оказывающихся меньшими (при охлаждении) температуры, заданной граничным условием первого рода. Исследования показали, что все начальные и граничные условия, а также исходное гиперболическое уравнение, выполняются точно в любой момент времени нестационарного процесса, включая и те его значения, при которых наблюдаются осцилляции температуры.

Выполненные в настоящей работе исследования показали, что теплообмен при граничных условиях третьего рода применительно к краевой задаче, описываемой гиперболическим уравнением теплопроводности, имеет некоторые специфические особенности по сравнению с теплообменом при граничных условиях первого рода. И в частности в случае граничных условий третьего рода в отдельные моменты времени нестационарного процесса температура всей пластины, включая поверхность, на которой задано граничное условие третьего рода, может принимать значения большие или меньшие температуры окружающей среды в зависимости направления процесса (нагрев или охлаждение).

Для рассмотрения и анализа особенностей теплообмена при граничных условиях третьего рода найдем решение задачи в следующей математической постановке:

∂t(x,τ)

+ τ

∂2t(x,τ)

= a

∂

2t(x,τ)

;

(τ > 0;

0 ≤ x ≤ δ )

(1.47)

∂τ

r ∂τ2

∂x2

t(x, 0) = t0;

(1.48)

∂t(x,0)

= 0;

(1.49)

∂τ

– 28 –


	∂t(0,τ)		= 0 ;	(1.50)
	∂x
−λ	∂t(δ, τ)	= α[t(δ, τ) −tср ] ,		(1.51)
−λ		= α[t(δ, τ) −tср ] ,		(1.51)
	∂x

где t – температура; τ – время;

x – координата;

δ – половина толщины пластины; t0 – начальная температура;

tср – температура среды;

α – коэффициент теплоотдачи;

λ– коэффициент теплопроводности.

Сцелью упрощения процесса получения решения граничное условие третьего рода (1.51) записано без учета релаксационной составляющей

втепловом потоке.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

Θ =

t −tср

;

ξ =

;

Fo =

aτ

; For =

aτ

;

Bi =

αδ

−tср

δ2

где Θ – относительная избыточная температура; ξ – безразмерная координата;

Fo – число Фурье;

For = const; Bi – число Био.

С учетом принятых обозначений задача (1.47) – (1.51) будет:

∂Θ(ξ, Fo)	+ For	∂2Θ(ξ, Fo)	=	∂2Θ(ξ, Fo)	;
∂Fo		∂Fo2		∂ξ2

(Fo > 0; 0 ≤ ξ ≤ 1) Θ (ξ, 0) = 1;

∂Θ(ξ,0) = 0 ;

∂Fo

(1.52)

(1.53)

(1.54)

(1.55)

– 29 –

	∂Θ(0, Fo)		= 0 ;	(1.56)
		∂ξ

∂Θ(1, Fo)		+ BiΘ(1, Fo) = 0.		(1.57)
∂ξ

Решение задачи (1.53) – (1.57) будем искать в виде произведения двух

функций:
Θ (ξ, Fo) = φ(Fo) ψ(ξ).							(1.58)
Подставляя (1.58) в (1.53), находим:
Fo	r	d 2ϕ		+	dϕ	+ν2ϕ = 0 ;	(1.59)
		dFo2
					dFo
			d 2 ψ	+ν2 ψ = 0,			(1.60)
			dξ2

где v – некоторая постоянная.

Подставляя (1.58) в (1.56), (1.57), получаем граничные условия для урав-

нения (1.60):

	dψ(0)		= 0 ;	(1.61)
		dξ

dψ(1)		+ Biψ(1) = 0 .		(1.62)
dξ

Решение задачи Штурма-Лиувилля (1.60) – (1.62) принимается в виде:

ψ(ξ) = cos(vξ).

(1.63)

Соотношение (1.63) удовлетворяет уравнению (1.60) и граничному ус-

ловию (1.61). Подставляя (1.63) в (1.62), получаем:
[ – vsin(vξ) + Bi cos(vξ)]ξ=1=0.	(1.64)

Отсюдаотносительноv получаемследующеетригонометрическоеуравнение:

ctg v = v/Bi.

(1.65)

– 30 –

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]