Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Рис. 3.5. Изменение перемещений различных точек стержня во времени. Расчет по формуле (3.44) (затухающие колебания, For = 0,5). n = 100

Рис. 3.6. Изменение перемещений по длине стержня во времени.

Расчет по формуле (3.44) (затухающие колебания, For = 0,5). n = 100

Рис. 3.7. Изменение перемещений различных точек стержня во времени. Расчет по формуле (44) (затухающие колебания, For = 2). n = 100

– 121 –

3.2.Поперечные колебания закрепленной струны

Воснове вывода дифференциального уравнения поперечных колебаний струны лежат закон Гука и второй закон Ньютона. Согласно закону Гука поперечное натяжение струны пропорционально её продольному смещению, то есть [24]:

гдеTu(x)–вертикальнаясоставляющаяпроизвольногонатяжениявосяхu – x; u – перемещение;

Tx(x) – горизонтальная составляющая произвольного натяжения.

Следуя второму закону Ньютона, для поперечного колебания струны можно записать следующее соотношение:

где F – сила; m – масса;

ρ – линейная плотность; a = dϑ/ dt – ускорение;

x− длина элементарного участка; v = du/dt – скорость.

Величина натяжения Tu через силу F может быть представлена в виде соотношения Tu=Fdx, которое для элементарного участка будет:

где e = Tx (x)/ρ – скорость распространения упругой волны в продольном направлении.

– 123 –

Уравнение (3.60) представляет классическое гиперболическое волновое уравнение, описывающее свободные (незатухающие) колебания струны, исследования его решений представлены во многих литературных источ-

никах [7, 17, 24, 30].

Таким образом, уравнение (3.60) описывает незатухающие колебания упругих тел. Для того чтобы учесть затухание колебаний, волновое уравнение должно содержать слагаемые, учитывающие силы внутреннего трения. Согласно дифференциальному уравнению (3.56) закона Гука, натяжение, вызванное некоторой силой, мгновенно (скачком) достигает соответствующих этой силе величин при бесконечной скорости распространения возмущения, о чем свидетельствует мгновенный скачок натяжения. Однако скорости распространения любых физических величин не могут принимать бесконечных значений, и, следовательно, как натяжение, так и перемещение (или величинаdu/dx) не могут мгновенно достигать любых конкретных величин. В реальной физической среде их изменения происходят с некоторым запаздыванием во времени согласно релаксационным свойствам материала, учитываемым некоторым коэффициентом τr (коэффициентом релаксации).

Для учета релаксационных свойств материала скорости изменения во времени натяжения Tu(x) и производной от перемещения du/dx в формуле (3.56) будем представлять в виде следующих соотношений [13 – 15]:

где частные производные применены по той причине, что как натяжение Tu, так и перемещения u, являются функциями координаты x и времени t.

Вторые слагаемые соотношений (3.61) представляют скорости изменения натяжения Tu и производной от перемещения du/dx во времени, где коэффициент релаксации τr учитывает реакцию вещества на изменение этих величин, то есть он учитывает время, необходимое для рассеивания (выравнивания) упругой энергии, возникающей в деформируемом теле (и вызывающей появление натяжения и перемещений), путем перехода её в теплоту.

Формула (3.56) с учетом (3.61) будет:

– 124 –

Формула (3.62) по форме записи полностью совпадает с формулой для касательного напряжения (1.184), полученной Олдройдом [33], и формулой (1.186), полученной А.В. Лыковым [19, 33].

Подставляя (3.62) в (3.59), находим:

Заменяя в последнем соотношении величину dTu/dx ее значением из (4), получаем:

Уравнение (3.63) описывает изменение перемещения с учетом релаксационных свойств материалов. Однако в нем отсутствуют члены, учитывающие внутреннее сопротивление среды при воздействии на нее нагрузки, вызывающей упругие перемещения ее участков. Для учета сопротивления среды примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости изменения перемещения во времени:

где знак «минус» означает, что сила сопротивления имеет направление, противоположное скорости изменения перемещения;

r = e2 τr / δ2 –коэффициент сопротивления, имеющий размерность 1/с; δ – длина струны.

Таким образом, коэффициент r при фиксированных значениях e и δ зависит лишь от коэффициента релаксации τr.

Для выполнения второго закона Ньютона (являющегося уравнением законасохраненияэнергиивмеханике)применительнокзатухающимколебаниям струны соотношение (3.64) подставим в правую часть уравнения (3.63):

Отметим, что размерности всех членов уравнения (3.65) одинаковы. Очевидно, что при τr = 0 уравнение (3.65) приводится к уравнению неза-

тухающих колебаний (3.60).

– 125 –

Найдем точное аналитическое решение краевой задачи о затухающих колебаниях струны, закрепленной на концах. Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид:

В задаче (3.66) – (3.71) начальная форма струны описывается соотношением (3.67), где b – коэффициент характеризующий величину отклонения струны от горизонтального положения (направления оси х). Согласно условиям (3.68), (3.69) начальные скорости и ускорения всех точек струны приняты равными нулю (можно получить решение и при ненулевых их значениях). Соотношения (3.70), (3.71) соответствуют закреплению струны в точках x = 0 и x = δ.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

где u0 = bδ2.

С учетом (3.72) задача (3.66) – (3.71) будет:

– 126 –

Решение задачи (3.73) – (3.78), следуя методу разделения переменных принимается в виде:

Подставляя (3.79) в (3.73), находим:

Из(3.80)получаемследующиеобыкновенныедифференциальныеуравнения:

РешениекраевойзадачиШтурма-Лиувилля(3.82)–(3.84)принимаетсяввиде:

Очевидно, что соотношение (3.85) удовлетворяет граничным условиям (3.83), (3.84). Подставляя (3.85) в (3.82), для определения собственных чисел получаем следующую формулу:

– 127 –

По известным собственным числам собственные функции ввиду однородности уравнения (3.82) с точностью до постоянного множителя находятся из (3.85). Применительно к данному конкретному случаю величину постоянного множителя можно положить равной единице [24].

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения (26) имеет вид:

For z3 + z2 +(1+νk )For z +νk = 0 . ( k =1, ∞ ) . (k =1, ∞ ). (3.87)

Корни алгебраического уравнения третьей степени (3.87) для каждого собственного числа будут:

где D1 = A(A1 – 2);

A = 1 / (12For);

D2 = A2 / (3ForA1);

D3 = (D2 + AA1)3 i ;

D2 = D2 – AA1 – 1/ (3For);

A1 = 3В1 + В2 ;

B1 = 36Fo2r(1 – 2vk) – 8;

В2 = 123For [4Fo4r (ν3k +3ν2k +3νk +1) + Fo2r (8ν2k −20νk −1) + 4vk ]1/ 2 ; i = −1.

Частные решения уравнения (3.81) записываются в виде:

ϕ1 = exp(z1k Fo) ; ϕ2 = exp[(D3 +iD4 )Fo]; ϕ23 = exp [(D5 −iD6 )Fo].

На основе частных решений убрать общий интеграл уравнения (3.81) будет:

ϕk (Fo)= C1k exp (z1k Fo) +C2k exp[(D3 +iD4 )Fo]+C3k exp[(D5 −iD6 )Fo], (3.91)

где C jk (j =1, 2, 3; k =1, ∞)− постоянные интегрирования.

– 128 –

Соотношение (3.91) можно переписать следующим образом:

где D = D3 + D5.

Каждое частное решение (3.93) удовлетворяет уравнению (3.73) и граничнымусловиям(3.77),(3.78),нониодноизнихнеудовлетворяетначальнымусловиям (3.74) – (3.76). Для их выполнения составим сумму частных решений:

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий (3.74) – (3.76). Подставляя (3.94) в (3.75), получаем:

– 129 –

Соотношение (3.97) представляет разложение функции ξ(1 – ξ) в ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи Штурма-Лиувилля

ражение в пределах от ξ = 0 до ξ = 1:

Определяя интегралы в (3.99), находим:

где C1k и C2k находятся из (3.95), (3.96).

После определения постоянных интегрирования C1k, C2k и C3k точное аналитическое решение задачи (3.73) – (3.78) находится из (3.94).

Формула закона Гука (3.56) с учетом обозначений Θ =u/u0 иξ =x/δ в безразмерном виде будет:

гдеTu =Tu /(bTx ); Θ(ξ, Fo) – функция, описывающая распространение безразмерных перемещений в случае незатухающих колебаний струны, то есть эта функция является решением уравнения (3.73) при равенстве нулю всех членов, находящихся в произведении с For.

– 130 –