Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

∂u(y, 0) / ∂t = 0;	(1.196)
u(0, t) = u0;	(1.197)
∂u(δ, t) = 0,	(1.198)

где u0 – скорость движения пластины; δ – половина ширины канала.

Для приведения задачи (1.192), (1.195) – (1.198) к безразмерному виду введем следующие безразмерные переменные и параметры:

v = u / u	; η = y / δ; Fo = vt / δ2; Fo	p	= vτ	p	/ δ2,	(1.199)
0		p		p

где v – безразмерная скорость; η – безразмерная координата; Fo – число Фурье;

Fop = const.

Задача (1.192), (1.195) – (1.198) с учетом принятых обозначений примет вид:

∂v(η,Fo)	+Fo	p	∂2 v(η,Fo)	=	∂2 v(η,Fo)	+Fo	p	∂3v(η,Fo)		; (1.200)
∂Fo	+Fo		∂Fo2	=	∂η2	+Fo		∂η2	∂t	; (1.200)
∂Fo			∂Fo2		∂η2			∂η2	∂t
			(Fo > 0; 0 < η ≤ 1)
			v(η, 0) = 0;							(1.201)
			∂v(η, 0) / ∂Fo = 0;							(1.202)
			v(0, Fo) = 1;							(1.203)
			∂v(1, Fo) / ∂η = 0.							(1.204)

Для удобства получения аналитического решения сделаем замену переменных:

Θ = 1 – v; ξ = 1 – η.

(1.205)

Задача (1.200) – (1.204) с учетом (1.205) будет:

∂Θ(ξ, Fo)

+ Fo

∂2Θ(ξ, Fo)

+ Fo

∂3Θ(ξ, Fo)

; (1.206)

∂Fo

∂Fo2

∂ξ2

∂Fo

(Fo > 0; 0 ≤ ξ ≤ 1)

Θ (ξ, 0) = 1;

(1.207)

– 71 –

∂Θ(ξ,0)= 0 ;	(1.208)
∂Fo
∂Θ(0, Fo)= 0 ;	(1.209)
∂ξ
Θ (1, Fo) = 0.	(1.210)

Задача (1.206) – (1.210) при Fop = Fo r полностью совпадает с задачей (1.93) – (1.97) и, следовательно, в качестве решения задачи (1.206) – (1.210) можно воспользоваться соотношением (1.108). Ввиду того, что на рисунках 1.18 – 1.24 даны многочисленные результаты исследований решения (1.108), то все они могут быть применены к задаче (1.206) – (1.210), заменяя безразмерную температуру в соотношении (1.108) безразмерной скоростью.

Если в уравнении (1.206) пренебречь вторым слагаемым в правой части, то задача (1.206) – (1.210) примет вид:

∂Θ(ξ, Fo)			∂2Θ(ξ, Fo)			∂2Θ(ξ, Fo)		(Fo > 0 ; 0 ≤ ξ ≤1)
	+ Fo	p			=		;
∂Fo	+ Fo		∂Fo2		=	∂ξ2	;
∂Fo			∂Fo2			∂ξ2		(1.211)
			Θ (ξ, 0) = 1;					(1.212)
			∂Θ(ξ,0)= 0 ;					(1.213)
				∂Fo
			∂Θ(0, Fo)= 0 ;					(1.214)
				∂ξ
			Θ (1, Fo) = 0.					(1.215)

Задача (1.211) – (1.215) при Fop = Fo r полностью совпадает с задачей (1.8) – (1.12) и, следовательно, все результаты, полученные при исследовании решений (1.23), (1.34) задачи (1.8) – (1.12) могут быть применены к задаче (1.211) – (1.215), заменяя безразмерную температуру в соотношениях (1.23), (1.34) безразмерной скоростью.

Анализ результаты расчетов безразмерной скорости по соотношениям (1.23), (1.34) позволяет заключить, что при малых значениях времени Fo (Fop = 6,25.10-3) на границе гидравлического возмущения наблюдается скачок безразмерной скорости, то есть образуется фронт гидравлической волны, в пределах которого скорость изменяется от её значения на фронте до начальной величины. Область среды, находящаяся за фронтом гидравлического возмущения, оказывается невозмущенной, и скорость здесь

– 72 –

равна начальной скорости. При достаточно больших значениях времени (Fo > 0,07; Fop = 6,25.10-3) значения скорости совпадают с точными их величинами, получаемыми из решения параболического уравнения (1.174).

Скорость на фронте гидравлической волны описывается формулой u(t) = u0 – exp [– t / 2τp], которая полностью совпадает с соотношением, полученным в [2, 19, 20] применительно к распределению температуры с учетом конечной скорости распространения теплового возмущения. Отмечается линейная закономерность движения фронта гидравлической волны по пространственной координате во времени, что подтверждается исследованиями, полученными в [2] для движения фронта тепловой волны.

Ввиду того, что величина скачка скорости изменяется во времени, то, следовательно, в процессе движения гидравлической волны происходит возникновение изотах Θ = const внутри среды (см. рис. 1.6). В случае если скачок скорости происходит вплоть до момента времени, когда фронт гидравлической волны достигает центра канала, наблюдается обратная волна со скачком скорости на её фронте противоположного знака по сравнению со скачком в прямой волне (см. распределение скорости при Fo ≥ 0,56 на рис. 1.9). Наличие скачка скорости в обратной гидравлической волне приводит к возникновению отрицательных скоростей в процессе движения пластин, то есть скорость возмущаемой среды может оказаться ниже скорости, задаваемой граничным условием первого рода на поверхности пластин (см. распределение скорости при Fo > 0,85, рис. 1.11). Подобные результаты свидетельствуют о нарушении закона сохранения энергии и в частности второго закона

термодинамики, справедливого для всех диффузионных процессов.

1,0

0,8

0,6

0,4

x = 0,9999

0,2

8 Fo 103 10

Рис. 1.36. Распределение скорости во времени в точке ξ = 0,9999. Fop = 10-3; n = 103

Анализируявероятныепричинывозникновениятакогородарезультатов, можно отметить, что уравнение (1.211) неадекватно описывает гидравлический процесс, допуская отклонение от законов сохранения. Лишь после

учета этого слагаемого устраняются отмеченные выше парадоксы.

– 73 –

Используя формулу (1.186), найдем изменение касательного напряжения на стенке (ξ = 1). Формула (1.186) в безразмерном виде с учетом обозначений (1.199) записывается в виде:

									∂τ			+ Aτ + B(Fo) = 0										,			(1.216)
								∂Fo				+ Aτ + B(Fo) = 0										,			(1.216)
								∂Fo
где τ =	τδ	– безразмерная величина касательных напряжений;
где τ =		– безразмерная величина касательных напряжений;
	µu0
A = 1 / Fop;
B(Fo) =			1 ∂Θ(1, Fo)							+	∂2 Θ(1, Fo)							.
B(Fo) =			Fo p		∂ξ					+			∂ξ∂Fo					.
			Fo p		∂ξ								∂ξ∂Fo
			1,0
			1,0																				Fo	=10	-3
				Θ																			0,	1
				Θ
			0,8
			0,8																		0,5
																					0,5
			0,6

																			1,0
																			1,0
			0,4
			0,4														1,7


			0,2
			0,2												3,0
															3,0

			0											Fo = 5,0

								0,2				0,4						0,6				0,8			x 1,0
								0,2				0,4						0,6				0,8			x 1,0
Рис. 1.37. Распределение скорости при разгонном течении Куэтта. Fop = 1,0; n = 104
			2,0
			2,0
				τ	1

						3
			1,6			3


			1,4
			1,4
			1,2
			1,2
			1,0
			1,0			3					3
			0,8			3					3

										1
			0,6							1
			0,6
			0,4
			0,4			2
			0,2			2


			0
			0				Fo 1													3
																				3
				− 0,2																						0
				− 0,2	Fo* 0,5							1,0				1,5		2,0				2,5			Fo 3,	0

Рис. 1.35. Изменение касательного напряжения на стенке ξ = 1. Fop = 0,3.

1 – по формуле (1.220); 2 − по формуле (1.217) (решение уравнения (1.216)); 3 – по формуле (1.217) (решение уравнения (1.219)).

– 74 –

Интегрируя уравнение (1.216), получаем:

τ(Fo) =[∫ AB(Fo)exp( AFo)dFo +C]exp(−AFo),

(1.217)

где C – постоянная интегрирования, определяемая из начального условия

τ(0)= 0 .

Подставляя (1.217) в данное начальное условие, находим:

C∫AB(Fo) dFo.

(1.218)

Формула(1.193)вбезразмерномвидедляповерхностипластиныξ = 1будет:

			∂τ	+ Aτ + D(Fo) = 0,	(1.219)
			∂Fo	+ Aτ + D(Fo) = 0,	(1.219)
			∂Fo
где D(Fo) =	1	∂Θ(1, Fo) .
где D(Fo) =	Fo p	∂Θ(1, Fo) .
	Fo p	∂ξ

Решение уравнения (1.219) и формула для постоянной интегрирования имеют соответственно вид (1.217) и (1.218), гдеB(Fo) следует заменить наD(Fo).

Результаты расчетов по формуле (1.217) (при Fop = 0,3) для случаев, когда касательное напряжение описывается уравнениями (1.216) и (1.219), представлены на рисунке 1.35. На этом же рисунке даны результаты расчетов касательного напряжения, определяемого по формуле (1.177), которая в безразмерном виде будет:

	= −∂Θ(ξ, Fo)/∂ξ ,	(1.220)
τ

где Θ(ξ, Fo) определялась по следующему классическому точному аналитическому решению уравнения (1.174) вида (1.46), где Θ(ξ, Fo) − безразмерная скорость.

Анализ результатов расчетов позволяет сделать следующие выводы: 1. Касательное напряжение, определяемое по формуле (1.220), вблизи стенки (ξ = 1) при Fo = 0 устремляется к бесконечно большой величине (кривая 1 на рис. 1.35). С увеличением времени τ(Fo) уменьшается по экспоненциальной зависимости и при Fo ≈ 3 напряжение становится практи-

чески равным нулю.

– 75 –

2. Касательное напряжение, определяемое по формуле (1.217), представляющей решение уравнения (1.216), при Fop = 0,3 ξ = 1 и Fo = 0 равно нулю. Затем с увеличением времени оно возрастает и при Fo = Fo* ≈ 0,072 достигает максимального значения τ ≈ 0,37 (кривая 2 на рис. 1.35). При дальнейшем увеличении времени касательное напряжение уменьшается по экспоненциальной зависимости и при Fo ≈ 3 становится практически равным нулю. С увеличением числа Fop величина максимального значения τ, как это следует из формулы (1.217), уменьшается и в пределе

при Fop → ∞ τ → 0.

3. Изменение касательного напряжения, определяемого формулой из (1.217), в случае, когда B(Fo) заменено на D(Fo) (решение уравнения (1.219)), при Fop = 0,3 подчиняется закономерности, описываемой линией 3 на рисунке 1.35. В данном случае касательное напряжение на стенке ξ = 1, имея нулевое значение при Fo = 0, с увеличением числа Fo возрастает до некоторого максимального значения Fo = Fo1 ≈ 0,08 и равного τ ≈ 0,83. При дальнейшем увеличении числа Fo касательное напряжение изменяется скачкообразно, принимая в некоторых диапазонах числа Fo отрицательные значения. При этом амплитуда скачков с увеличением числа Fo уменьшается, стабилизируясь вблизи нулевого значения величины τ при Fo ≈ 3. Такое скачкообразное изменение касательного напряжения с отклонением в область отрицательных его значений приводит к появлению скачков скорости в прямой и обратной волнах, а также и к отрицательным скоростям. Отметим, что с увеличением числа Fop амплитуда колебаний касательного напряжения уменьшается.

По результатам выполненных исследований могут быть сделаны следу-

ющие выводы:

1.С учетом запаздывания во времени на величину коэффициента ре-

лаксации τp не только касательного напряжения, но и градиента скорости, получено гиперболическое уравнение движения, содержащее третью производную по пространственной переменной и времени (смешанную производную). При его выводе использовано уравнение закона Ньютона для касательного напряжения, содержащее релаксационные добавки во всех его членах.

2.Выполненные исследования полученного точного аналитического решения гиперболического уравнения движения позволяют заключить

отом, что распределение скорости определяется величиной числа Fop При малых их значениях решение задачи (1.206) – (1.210) совпадает с решением параболического уравнения при аналогичных граничных условиях.

–76 –

С увеличением числа Fop кривые распределения скорости приближаются к прямым линиям, практически параллельным оси ξ, со скачком скорости в окрестности точки ξ = 1. Отметим, что граничное условие первого рода (1.210) выполняется во всем диапазоне времени нестационарного процесса (скачок скорости имеет место лишь на некотором малом расстоянии от точки ξ = 1).

Анализ полученных результатов позволяет заключить, что касательное напряжение на стенке не может превысить некоторой максимальной для данных конкретных условий (определяемых физическими свойствами среды) величины ни при каких скоростях движения пластин.

1,0
1,0										1	10-4
Θ										1	10-4

								0,01	0,001
0,8									0,001




0,6							0,05
0,6						0,1
0,4


				0,3
				0,3

0,2				0,5



0			Fo = 1,0
			Fo = 1,0


0,2	0,4	0,6			0,8
0,2	0,4	0,6			0,8					x 1,0

Рис. 1.36. Распределение скорости при разгонном течении Куэтта. Fop = 10-7; n = 104 (n – число членов ряда (50))

1,0
Θ			2 10-8
0,8			2 10-8
0,8			4 10-8
			4 10-8
0,6			10-7
0,6			3	10	-7	10-6
			3	10		10-6
0,4				10-5
0,4
0,2			10-4
0,2
			Fo =10-3
0,99	0,992	0,994	0,996	0,998			x	1,0

Рис. 1.37. Распределение скорости при разгонном течении Куэтта. Fop = 10-7; n = 105

– 77 –

1,0			0,005
Θ		0,01	0,005
Θ
0,8		0,03			0,001
0,8		0,0001
		0,0001
0,6		0,05
0,6		0,1
		0,1
0,4		0,2
0,4		0,3
		0,3
0,2		0,5
0,2		0,7
		0,7
		1,0
0		Fo = 2
0				x
0,2	0,4	0,6	0,8	x	1,0

Рис. 1.38. Распределение скорости при разгонном течении Куэтта. Fop = 10-4; n = 103

1,0
1,0							0,5	Fo	= 0,1
Θ							0,5	Fo	= 0,1
						1,0
						1,0
0,8

				2,0
				2,0

0,6		3,0
0,6

0,4	5,0
0,4
0,2

	Fo =		10
	Fo =

0

									x 1,0
0,2	0,4				0,6		0,8		x 1,0

Рис. 1.39. Распределение скорости при разгонном течении Куэтта. Fop = 5; n = 104

1.6. Аналитические решения гиперболических уравнений теплопроводности при симметричных граничных условиях первого рода

Выше (см. п. 1.3) были выполнены исследования решений краевых задач теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты при симметричных граничных условиях первого рода для случаев, когда в центре симметрии задается граничное условие адиабатной стенки

– 78 –

(отсутствия теплообмена). Найдем решение такой же задачи, не разделяя её по оси симметрии, то есть, задавая граничные условия первого рода при х = 0 и при х = δ.

Математическая постановка задачи в данном случае будет:

∂T

∂ T

∂

∂t

+ τ1

∂t

+ τ2

∂t

= a

∂ x

+ τ1

∂t

+ τ2

∂t

; (1.221)

∂ x

(t > 0; 0 < x < δ)

T(x, 0) = T0;

(1.222)

∂T (x,0)

= 0

;

(1.223)

∂t

∂2T (x,0)

= 0

;

(1.224)

∂t 2

T(0, t) = Tcт;

(1.225)

T(δ, t) = Tcт,

(1.226)

где T0

− начальная температура;

Tcт

− температура стенки;

δ − толщина пластины.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

Θ =

T −T

a t

a τ

a2 τ2

ст

;

ξ =

;

Fo =

; Fo1 =

; Fo2 =

. (1.227)

T0 −Tст

δ2

δ4

С учетом принятых обозначений задача (1.221) – (1.226) приводится к виду:

∂Θ	+Fo1	∂2Θ	+Fo2	∂3Θ ∂2Θ		+Fo1	∂3Θ	+Fo2	∂4Θ
					= ∂ξ2					; (1.228)
∂Fo		∂Fo2		∂Fo3	= ∂ξ2		∂ξ2 ∂Fo		∂ξ2 ∂Fo2	; (1.228)
					(Fo > 0; 0 ≤ ξ < 1)
					Θ(ξ, 0) = 1;					(1.229)

– 79 –

∂Θ(ξ, 0)	= 0 ;			(1.230)
∂Fo
∂2Θ(ξ, 0)		= 0	;	(1.231)
∂Fo2

Θ(0, Fo) = 0;				(1.232)
Θ(1, Fo) = 0.				(1.233)

Решение задачи (1.228) – (1.233), следуя методу разделения переменных, принимается в виде:

Θ(ξ, Fo) = φ(Fo) ψ(ξ).

Подставляя (1.234) в (1.228), находим:

′		′′	+ Fo		′′′		ψ	′′
ϕ + Fo	1	ϕ		2	ϕ	=			= −μ2	,
		′			′′		ψ
ϕ+ Fo1 ϕ + Fo2 ϕ

(1.234)

(1.235)

где ϕ′,ϕ′′,ϕ′′′- первая, вторая и третья производные от функции φ(Fo) по времени Fo;

ψ′′- вторая производная от функции ψ(ξ) по координате ξ.

Из (1.235) получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:

Fo2 ϕ′′′+(Fo1 + νFo2 )ϕ′′+(1 + νFo1 )ϕ′+ νϕ = 0 ;	(1.236)
ψ′′+νψ = 0 ,	(1.237)

где v = μ2 − некоторая постоянная.

Подставляя (1.234) в (1.232), (1.233), получаем граничные условия для

уравнения (1.237):
ψ(0) = 0;	(1.238)
ψ(1) = 0.	(1.239)

Решение краевой задачи Штурма-Лиувилля (1.237) – (1.239) принимается в виде:

( )=

−

)

(1.240)

∞

cos r

ψ ξ

2ξ)

– 80 –

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]