Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

где t0 − начальная температура; tcт − температура стенки;

δ − половина толщины пластины.

Введем следующие обозначения:

где Θ − относительная избыточная температура; ξ − безразмерная координата;

Fo – число Фурье.

С учетом принятых обозначений задача (1.5), (1.6) запишется так:

где For = aτr δ2 .

Решение задачи (1.8) – (1.12) принимается в виде:

– 11 –

Подставляя (1.13) в (1.11), (1.12), находим граничные условия для функции ø (x):

Решение краевой задачи уравнения Штурма–Лиувилля (1.15) – (1.17) принимается в виде:

Подставляя (1.18) в (1.15), для определения собственных чисел vk получаем следующую формулу:

Определяемые по соотношению (1.19) значения vk являются собственными числами краевой задачи Штурма-Лиувилля (1.15) – (1.17).

Ввиду однородности уравнения (1.15) собственные функции (1.18) определяются с точностью до постоянного множителя, который в данном случае можно принять равным единице [24].

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения второго порядка (1.14) записывается как:

– 12 –

Уравнение (1.20) для каждого собственного числа vk (k = 1, 2,...) имеет два корня z1k, z2k:

zik = (−1 ± 1 − 4For νk )(2For ) , (i =1, 2; k =1, 2, ...).

Если дискриминант D = (4For νk −1) < 0 , то из (1.21) будем иметь два действительных отрицательных корня z1k и z2k (k =1, ∞). Решение уравнения (1.14) в этом случае будет:

где С1k и С2k – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (1.9), (1.10).

Подставляя (1.18) и (1.22) в (1.13) и составляя сумму полученных частных решений, находим:

(r = 2k -1 ; k =1, ∞) .

Подставляя (1.23) в (1.10), получаем:

Соотношение (1.25) представляет разложение единицы в ряд Фурье пособственнымфункциямкраевойзадачиШтурма-Лиувилля(1.15)–(1.17). Умножим обе части соотношения (1.25) на cos(jπξ/2) и найдем интеграл от полученного соотношения в пределах от ξ=0 до ξ=1:

– 13 –

Соотношение (1.26) ввиду ортогональности косинусов примет вид:

Определяя интегралы в (1.27), находим:

После определения постоянных интегрирования С1k и С2k точное аналитическое решение задачи (1.8) – (1.12) находится из (1.23).

Если дискриминант соотношения (1.21) D = (4For νk −1) > 0, то будем иметь следующие два комплексных корня:

z1k = γ+iβ ; z2k = γ−iβ ,

На основе частных решений запишем общий интеграл уравнения (1.14):

Используя формулы Эйлера, соотношение exp(is) = coss + isins; exp( – is) = coss – isins, соотношение (1.31) приводится к виду:

ϕk (Fo) = exp(γFo)[С1k (cos (βFo)+i sin (βFo))+С2k (cos (βFo)−i sin (βFo))] =

– 14 –

Подставляя (1.18), (1.33) в (1.13) и составляя сумму частных решений, находим:

Для определения постоянных B1k и B2k используются начальные условия

(1.9), (1.10). Подставляя (1.34) в (1.10), получаем:

– 15 –

адиабатной стенки (ξ → 0) изотермы приобретают форму кривых, параллельныхосиξ(перпендикулярныхосиFо).Следовательно,скоростидвиженияизотерм V = dξ/dFо ≈ ∆ξ/∆Fо при ξ → 0 устремляются к бесконечным значениям.

Полученныерезультатыпозволяютзаключить,чтововсехслучаях,когдавремя релаксации τr велико, а скорость движения фронта тепловой волны W мала, необходимо использовать гиперболическое уравнение теплопроводности. При этом исследуемые процессы не обязательно должны быть быстропротекающими. Для очень малых значений времени гиперболическое уравнение необходимо использовать при любых (ненулевых) значениях постоянной релаксации.

Анализ полученного решения показывает, что волновой характер изменения температуры в теле полностью определяется величиной числа Fоr = aτr / δ2 и, следовательно, при одной и той же толщине тела δ оно зависит лишь от его физических свойств a= λ/(cρ); τr = a/W2 и от скорости перемещения тепловой волны W, также зависящей от физических свойств тела.

На рисунке 1.9 даны результаты расчётов температуры для Fоr = 0,1. В этом случае фронт тепловой волны достигает координаты ξ = 0 с сохранением скачка температуры при значительной величине ∆Θ = 10 – 0,79 = 0,21. И в частности при Fо ≈ 0,31623 температура на адиабатной стенке (ξ = 0) скачкообразно изменяется от температуры Θ = 1,0 до Θ = 0,79. При дальнейшем увеличении числа Фурье температура скачкообразно изменяется от значения Θ = 0,79 до величины, зависящей от числа Фурье. Например, при Fо = 0,32 температура на стенке ξ = 0 уменьшается до Θ(0; 0,32) = 0,58. Для всех последующих моментов времени охлаждения пластины, начиная от Fо = 0,31623, на температурных кривых наблюдается обратный скачок температуры, т. е. имеет место обратная волна, на фронте которой происходит скачок в сторону уменьшения температуры. Обратная волна, двигаясь во времени в направлении увеличения координаты ξ, после достижения координаты ξ = 1 (при Fо ≈ 0,68) вновь переходит в прямую волну, движущуюся от ξ = 1 в направлении ξ = 0. Скачок на температурной кривой в этой части прямой волны направлен в сторону понижения температуры на фронте волны. Затем при Fо ≈ 0,99 снова наблюдается обратная волна, но со скачком температуры на фронте в сторону её возрастания и т.д.

Процесс движения во времени прямой и обратной тепловых волн более наглядно можно рассмотреть на графиках, где представлено изменение температуры во времени в различных точках пространственной координаты (рис. 1.10). Их анализ позволяет заключить, что прямая волна, начинаясь при Fо > 0, заканчивается при Fо = 0,31623. Обратная волна движется в диапазоне времени от Fо = 0,31623 до Fо ≈ 0,68. Затем наблюдается новая (вторая) прямая волна, которая после достижения координаты ξ = 1 сменяется новой (второй) обратной волной. Волновой характер изменения

температуры в форме многократных прямых и обратных тепловых волн продолжаетсядотехпор, покапластинаповсейеётолщиненеохладитсядо температуры, заданной граничным условием первого рода, т. е. Θ(1; Fо) = 0.

– 18 –

Отметим, что в результате многократного чередования прямых и обратных тепловых волн могут происходить корреляции температур в область отрицательных их значений (см. температурную кривую при Fо = 0,65 на рис. 1.9). Результаты расчета режима теплообмена, когда часть температурных кривых расположена в области отрицательных температур, даны на рисунках 1.11 и 1.11а (Fоr = 0,3). Анализ полученных результатов позволяет заключить, что в процессе волнового изменения температуры могут наблюдаться температурные волны, полностью расположенные в области отрицательных температур (см. диапазон времени от Fо ≈ 1,1 до Fо ≈ 2,1). Затем с увеличением числа Фурье тепловые волны вновь переходят в область положительныхтемператур.Приэтомамплитудаколебанийсувеличениемвремени уменьшается и при Fо → ∞ вся пластина принимает нулевую температуру.

Были выполнены расчеты изменения невязки уравнения (1.8) для чисел Фурье, при которых наблюдаются отрицательные температуры. И в частности расчеты были проведены для Fо = 0,9; Fо = 1,1; Fо = 1,2; Fо = 2,0; Fо = 2,2; (Fоr =0,1). Их результаты позволяют заключить, что невязка уравнения (1.8) для всех рассмотренных чисел Фурье во всем диапазоне изменения пространственной координаты 0 ≤ ξ ≤ 0 равна нулю.

Полученные результаты соответствуют исследованиям, выполненным в работе [6], применительно к анализу изменения во времени разности температур ε = T 1 – T2 двух тел, приведенных в соприкосновение (T1 > T2). В этой работе в частности показано, что при использовании соотношений вида (1.2) и (1.3) для величины ε соответственно получаются следующие дифференциальные уравнения:

где k – положительный коэффициент, характеризующий теплопроводящие свойства тел.

Решение уравнения (1.41) имеет вид ε = ε 0exp(–kτ), где ε0 начальная величина разности температур. Из этого решения следует, что ε экспоненциально убывает с течением времени и в пределе при τ → ∞, ε → 0, т. е. температура двух тел становится одинаковой.

– 19 –

Уравнение (1.42) по форме не отличается от уравнения (1.14). В работе [6] показано, что уравнение (1.42) допускает как непрерывное (экспоненциальное) затухание, соответствующее диффузному теплообмену, так и осциллирующее, соответствующее распространению тепловой волны.

Результаты расчетов изменения функции φ(Fo) во времени по формуле (1.14) для различных значений Fоr даны на рисунке 1.12. Их анализ позволяет заключить, что монотонное изменение функции φ(Fo) имеет место для относительно малых величин Fоr. Например, функция φ(Fo) для всех Fоr ≤ 0,001 имеет плавное не осциллирующее изменение во времени, причемкривые этой функции для указанныхзначенийчисел Fоr незначительно отличаются друг от друга, а при очень малых их значениях (Fоr < 10-6) они практически совпадают. Однако для некоторых других (достаточно больших) чисел Fоr (Fоr > 0,01) функция φ(Fo) с течением времени начинает изменяться ступенчато, осциллируя как в область положительных, так и отрицательных значений, стабилизируясь с течением времени вблизи нулевого значения ее величины.

Появление отрицательных температур в решении гиперболического уравнения теплопроводности для отдельных временных участков нестационарного процесса является известным свойством этого решения [6]. Отсюда следует, что уравнение Максвелла – Каттанео (1.3) не обеспечивает достаточно адекватного распространения повторной тепловой волны.

Следует отметить, что сходимость ряда (1.23) существенно зависит от величины числа Фурье, для которого необходимо определять распределение температуры по толщине пластины. Например, для задачи с приведенными выше исходными данными в диапазоне числа Фурье 0,1 ≤ Fo < ∞ для сходимости достаточно всего нескольких членов этого ряда. При 0,0001 < Fo ≤ 0,1 сходимость имеет место при 10 ÷ 1000 членах ряда. Для всех чисел Фурье, при которых происходит скачок в температурных кривых, число членов ряда (1.23), необходимых для его сходимости, существенно возрастает (от 10000 при Fо= 10-5 до 1000000 при Fо= 10-8). При дальнейшем уменьшении числа Фурье количество членов ряда (1.23) может достигать нескольких миллионов. Для расчетов таких рядов требуются компьютеры с большим быстродействием. Максимальное число членов ряда, использованных в настоящей работе, равнялось 2000000 (для Fо = 10-9). При этом время работы компьютера Intel(R) Core(TM)2 Cuad CPU Q9400 2,66 Ггц, 3,25 Гб ОЗУ составляло около 8 часов. Отметим, что сходимость ряда (1.23) в данном случае не была достигнута. В связи с этим, температурная кривая для Fо= 10-9 на графиках представленных рисунков не приведена.

– 20 –