Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Очевидно, что соотношение (1.240) удовлетворяет граничным условиям (1.238), (1.239). Подставляя (1.240) в (1.237), для нахождения собственных чисел получаем формулу:

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения (1.236) имеет вид:

Fo2z3 + (Fo1 + vkFo2)z2 + (1 + vkFo1)z + vk = 0. ( k =1,∞). (1.242)

Корни алгебраического уравнения третьей степени для каждого собственного числа будут:

z3k = – vk.

Если в соотношениях (1.243), (1.244) подкоренное выражение:

D = (4Fo2 – Fo21)> 0,

то будем иметь следующие два комплексных корня:

Частные решения уравнения (1.236) будут:

φ1 = exp(γ + iβ)Fo; φ2 = exp(γ – iβ)Fo; φ3k = exp(– vkFo). (1.246)

Наосновечастныхрешенийзапишемобщийинтегралуравнения(1.236):

φk(Fo) = C1kexp[(γ + iβ)Fo] + C2kexp[(γ – iβ)Fo] + C3kexp(– vkFo), (1.247)

где Cjk(j = 1, 2, 3; k =1,∞ − неизвестные постоянные.

– 81 –

Соотношение (1.247) можно переписать следующим образом:

φk(Fo) = exp(γFo)[C1kexp(iβFo) + C2kexp(– iβFo)] + C3k exp(– vkFo). (1.248)

Используя формулы Эйлера exp(is) = coss + isins; exp(–is) = coss + isins, соотношение (1.248) приводится к виду:

Введем обозначения B1k = C1k+C2k; B2k = i(C2k+C1k).

С учетом принятых обозначений общее решение уравнения (1.236) будет:

φk(Fo) = exp(γFo)[B1kcos(βFo) – B2ksin(βFo)] + C3k exp(– vkFo). (1.250)

Подставляя (1.240), (1.250) в (1.234), находим:

Θk(ξ, Fo) = {[exp(γFo))[B1kcos(βFo) – B2ksin(βFo)] +

Каждое частное решение (1.251) удовлетворяет уравнению (1.228) и граничным условиям (1.232), (1.233), но ни одно из них не удовлетворяет на-

чальным условиям (1.229) – (1.231).

Составим сумму частных решений:

Для определения неизвестных постоянных B1k, B2k и C3k используются начальные условия (1.229) – (1.231). Подставляя (1.252) в начальное условие (1.230), получаем:

– 82 –

Подставляя (1.252) в (1.231), получаем:

Для нахождения неизвестных коэффициентов C3k составим невязку начального условия (1.229) и потребуем ортогональности невязки ко всем собственным функциям (1.240), т.е.:

Соотношение (1.255) с учетом ортогональности косинусов приводится к виду:

где D1k, D2k, D3k – неизвестные коэффициенты.

– 83 –

Подставляя (1.240), (1.258) в (1.234) и составляя сумму частных решений, получаем:

Коэффициенты D1k, D2k, D3k определяемые из начальных условий (1.229) – (1.231), в данном случае имеют вид:

литическое решение задачи (1.228) – (1.233) находится из (1.252). В случае, когда они меньше нуля, точное аналитическое решение после определения коэффициентов D1k, D2k, D3k находится из (1.259).

Результаты расчетов по формулам (1.212), (1.259) приведены на рисунках 1.40 – 1.44. Их анализ позволяет заключить, что при малых значениях чисел Fo1 и Fo2 (Fo1 = Fo2 = 10-7) получаемые решения в диапазоне чисел 10-6 ≤ Fo < ∞ полностью совпадают с решением аналогичной задачи для параболического уравнения нестационарной теплопроводности (см. рис. 1.40, 1.44). При Fo < 10-6 распределение температуры во времени имеет следующие особенности. При малых значениях величины Fo2(Fo2 = 10 -20), т.е., когда последние слагаемые в правой и левой части уравнения (1.228) становятся пренебрежимо малы, например, при Fo = 2.10-8(Fo1 = 10-7) температура тела в окрестностях точек ξ = 0 и ξ = 1 скачкообразно изменяется от величины Θ(0, 2.10-8) = Θ(1, 2.10-8) =0 непосредственно на границах

(выполнение граничных условий (1.232), (1.233)) до Θ(0,0001; 2.10-8) = = Θ(0,9999, 2.10-8) = 0,88 в точках ξ = 0,0001 и ξ = 0,9999, т.е. на неко-

тором малом расстоянии от точек ξ = 0 и ξ = 1. Таким образом, при Fo = 2.10-8 по всей толщине прогретых слоев (0,0001 ≤ ξ ≤ 0,0005 и 0,9995 ≤ ξ ≤ 0,9999) температура пластины практически изменяется от Θ = 0,88 при ξ = 0,0001 и ξ = 0,9999 до Θ = 1 при ξ = 0,0005 и ξ = 0,9995,

– 84 –

в то время как при ξ = 0 и ξ = 1 Θ = 0 ввиду выполнения граничных условий (1.232) и (1.233). Аналогичное распределение температуры имеет место

идля других чисел Fo < 10-6. Для чисел Fo, при которых происходят скачки температуры на стенках в окрестности точек ξ = 0 и ξ = 1, каких-либо совпадений с решением параболического уравнения не обнаруживается.

С увеличением числа Fo1 (при неизменном числе Fo2 = 10-20) скачкообразное изменение температуры в окрестности точек ξ = 0 и ξ = 1 наблюдается уже для бóльших чисел Fo (см. рис. 1.42, 1.43). Совпадение с решением параболического уравнения в данном случае имеет место лишь для тех чисел Fo, при которых скачки температуры в окрестностях точек ξ = 0 и ξ = 1 не наблюдаются, т.е. температурные кривые исходят из точек ξ = 0 и ξ = 1 при Θ = 0 (например, все кривые для Fo ≥ 0,005, приведенные на рис. 1.42).

При дальнейшем увеличении числа Fo1 (Fo2 = 10-20) температурные кривые становятся более пологими и при Fo1 > 20 − практически параллельными оси ξ. Скачок температуры на стенке в окрестностях точек ξ = 0

иξ = 1 в этом случае имеет место практически для всех чисел Fo вплоть до наступления стационарного состояния.

На рисунке 1.44 даны результаты расчетов температуры при значении

числа Fo2 , сопоставимом с Fo1 (Fo1 = Fo2 = 10-7). Их анализ позволяет заключить, что учет слагаемых с высокими порядками производных (последние слагаемыевправойилевойчастиуравнения(1.228)),приводиткизменению температурного поля таким образом, что на одних участках временного диапазона происходит замедление процесса охлаждения (см., например, Fo = 0,5 на рис. 1.44), а на других – ускорение (Fo = 3, рис. 1.44). С увели-

чением Fo2 (при неизменном Fo1) расхождение результатов (по сравнению со случаем Fo2 = 0) возрастает. Следует, однако, отметить, что качественная картина распределения температур остается практически неизменной, включая и скачки температуры вблизи координат ξ = 0 и ξ = 1.

Сцельюсравненияаналитическихрешенийразличноговидагиперболических уравнений найдем также точное аналитическое решение уравнения (1.5) для случая, когда при х = 0 и х = δ заданы граничные условия перво-

го рода. Математическая постановка задачи в безразмерных переменных с учетом обозначений (1.7) в данном случае имеет вид:

– 85 –

где For = aτr / δ2.

Решение задачи (1.261) – (1.265) принимается в виде (1.234). Подставляя (1.234) в (1.261), относительно функции ψ(ξ) приходим к задаче ШтурмаЛиувилля (1.237) – (1.239), собственные функции и собственные числа которой находятся соответственно из (1.240) и (1.241).

Относительно функции φ(Fo) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения (1.266) имеет вид:

Уравнение (1.267) для каждого собственного числа vk имеет два корня:

Если дискриминант D = (4Forvk – 1) < 0, то из (1.268) будем иметь два действительных отрицательных корня z1k и z2k (k =1, ∞). Решение уравнения (1.266) в этом случае будет:

где C1k и C2k – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (1.262), (1.263).

Подставляя (1.240) и (1.269) в (1.234), и составляя сумму полученных частных решений, находим:

(r = 2k -1 ; k =1, ∞).

– 86 –

Соотношение (1.272) представляет разложение единицы в ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи Штурма-Лиувилля (1.237) –

и найдем интеграл от полученного соотношения в пределах от ξ = 0 до ξ = 1:

После определения постоянных интегрирования C1k и C2k точное аналитическое решение задачи (1.261) – (1.265) находится из (1.270).

Если дискриминант соотношения (1.268) D = (4Forvk – 1) >0, то будем иметь следующие два комплексных корня:

z1k = γ + iβ; и z2k γ – iβ,

где i = −1 ;

γ= – 0,5/For;

β=(4For νk −1)(2For ).

– 87 –

Частные решения уравнения (1.266) будут:

Наосновечастныхрешенийзапишемобщийинтегралуравнения:(1.266)

Подставляя (1.240), (1.280) в (1.234) и составляя сумму частных решений, находим:

Для определения постоянных B1k и B2k используются начальные условия

(1.262), (1.263). Подставляя (1.281) в (1.263), получаем:

– 88 –

Соотношение (1.284) с учетом ортогональности косинусов примет вид:

ПослеопределенияпостоянныхB1k иB2k решениезадачи(1.261)–(1.265) в замкнутом виде находится из (1.281).

Результаты расчетов по формулам (1.270), (1.281) даны на рисунках 1.45 – 1.47. Их анализ позволяет заключить, что при малых значениях времени Fo (например, при For = 6,25.10-3) на границе теплового возмущения наблюдается скачок безразмерной скорости, то есть образуется фронт тепловой волны, в пределах которого температура изменяется от её значения на фронте до начальной величины. Область среды, находящаяся за фронтом теплового возмущения, оказывается невозмущенной, и температура здесь равна начальной температуре. При достаточно больших

– 89 –