Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Подставим (1.122) в уравнение теплового баланса (1.81):

Найдем точное аналитическое решение уравнения (1.126) для бесконечной пластины при следующих начальных и граничных условиях:

– 51 –

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

Сучетомпринятыхобозначенийзадача(1.126)–(1.130)приводитсяквиду:

Решение задачи (1.132) – (1.137), следуя методу разделения переменных принимается в виде:

Подставляя (1.138) в (1.132), находим:

где φ′, φ′′, φ′′′ – первая, вторая и третья производные от функции φ(Fo) по времени Fo;

ψ′′ – вторая производная от функции ψ(ξ) по координате ξ.

– 52 –

Из (1.139) получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:

где v = – μ2 − некоторая постоянная.

Подставляя (1.138) в (1.136), (1.137), получаем граничные условия для уравнения (1.141):

Решение краевой задачи Штурма-Лиувилля (1.141) – (1.143) принимается в виде:

Очевидно, что соотношение (1.144) удовлетворяет условиям (1.142), (1.143). Подставляя (1.144) в (1.141), для нахождения собственных чисел получаем формулу:

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения (1.140) имеет вид:

Fo2z3 + (Fo1 + vkFo2)z2 + (1 + vkFo1)z + vk = 0. (k =1, ∞ ). (1.146)

Корни алгебраического уравнения третьей степени для каждого собственного числа будут:

– 53 –

В случае если в соотношениях (1.147), (1.148) подкоренное выражение D =4Fo2 -Fo12 >0, то будем иметь следующие два комплексных корня:

где i = −1 ; γ=-0,5Fo1 Fo2 ; β = 0,54Fo2 −Fo12 / Fo2 .

Частные решения уравнения (1.140) будут:

φ1 = exp(γ + iβ)Fo; φ2 = exp(γ – iβ)Fo; φ3k = exp(– vk)Fo. (1.151)

Наосновечастныхрешенийзапишемобщийинтегралуравнения(1.140):

φk (Fo) = C1k exp[(γ + iβ)Fo] + C2k exp[(γ – iβ)Fo]C3k exp(– vkFo), (1.152)

где Cjk (j = 1, 2, 3; k =1,∞) − неизвестные постоянные.

Соотношение (45) можно переписать следующим образом:

φk(Fo) = exp(γFo)[C1k exp (iβFo) + C2kexp (– iβFo)] C3k exp(– vkFo). (1.153)

Используя формулы Эйлера exp(is) = cos s + isin s; exp(–is) = cos s – isin s, соотношение (1.153) приводится к виду:

Введем обозначения B1k = C1k+ C2k; B2k = i(C2k+ C1k).

С учетом принятых обозначений общее решение уравнения (1.140) будет:

и граничным условиям (1.136), (1.137), но ни одно из них не удовлетворяет начальным условиям (1.133) – (1.135).

– 54 –

Составим сумму частных решений:

Для определения неизвестных постоянных B1k, B2k и C3k используются начальные условия (1.133) – (1.135). Подставляя (1.157) в начальное условие (1.134), получаем:

Для нахождения неизвестных коэффициентов C3k составим невязку начального условия (1.133) и потребуем ортогональности невязки ко всем собственным функциям (1.144), т.е.:

(j = r = 2k – 1).

Соотношение(1.160)сучетомортогональностикосинусовприводитсяквиду:

– 55 –

Определяя интегралы в (1.161), с учетом (1.158) и (1.159) находим:

В случае если в соотношениях (1.147), (1.148) D = (4Fo2 – Fo21 ) < 0 , то корни z1 и z2 будут действительными и отрицательными числами. Общий интеграл уравнения (1.140) в данном случае будет:

где D1k , D2k , D3k – неизвестные коэффициенты.

Подставляя (1.144), (1.163) в (1.138) и составляя сумму частных решений, получаем:

(r = 2k – 1). k =1,∞) .

Коэффициенты D1k , D2k , D3k , определяемые из начальных условий (1.133) – (1.135), в данном случае имеют вид:

После определения коэффициентов B1k, B2k, C3k для случая, когда подкоренные выражения соотношений (1.147), (1.148) больше нуля, точное аналитическое решение задачи (1.132) – (1.137) находится из (1.157). В случае, когда они меньше нуля, точное аналитическое решение после определения коэффициентов D1k , D2k , D3k , находится из (1.164).

– 56 –

Результаты расчетов по формулам (1.157), (1.164) приведены на рисунках 1.26 – 1.31. Их анализ позволяет заключить, что при малых значениях чисел Fo1 и Fo2 (Fo2 = Fo2 = 10-7) получаемые решения в диапазоне чисел 10-6 ≤ Fo < ∞ полностью совпадают с решением аналогичной задачи для параболического уравнения (1.1) (см. рис. 1.26, 1.27). При Fo < 10-6 распределение температуры во времени имеет следующие особенности.

При малых значениях величины Fo2 (Fo2 = 10-20), то есть когда последние слагаемые в правой и левой части уравнения (1.132) становятся пренебрежимо малы, например, при Fo = 2.10-8 (Fo1 = 10-7) температура тела в окрестности точки ξ = 1 скачкообразно изменяется от величины Θ(1; 2.10-8) = 0 непосредственно при ξ = 1(выполнение граничного условия первого рода вида (1.137)) до Θ(0,9999; 2.10-8) = 0,88 в точке ξ = 0,9999,

то есть на некотором малом расстоянии от точки ξ = 1 . Таким образом, при Fo = 2.10-8 по всей толщине прогретого слоя (0,9995 ≤ ξ ≤ 0,9999) температура пластины практически изменяется от Θ = 0,88 при ξ = 0,9999

доΘ=1 при ξ =0,9995,втовремякакприξ = 1Θ(1;2.10-8) =0(см.рис. 1.27).

Аналогичное распределение температуры имеет место и для других чисел Fo < 10-6. Для чисел Fo, при которых происходит скачок в окрестности точки ξ = 1, каких либо совпадений с решением параболического уравнения не обнаруживается. С увеличением числа Fo1 (при неизменном числе Fo2 = 10-20) скачкообразное изменение температуры в окрестности точки ξ = 1 наблюдается уже для бóльших чисел Fo (см. рис. 1.28, 1.29). Для бóльших чисел Fo совпадение с решением параболического уравнения имеет место лишь для тех чисел Fo, при которых скачок температуры

вокрестности точки ξ = 1 не наблюдается, то есть температурная кривая исходит из точки Θ = 0 при ξ = 1(например, все кривые для Fo ≥ 0,005, приведенные на рисунке 1.28).

При дальнейшем увеличении числа Fo1 (Fo2 = 10-20) температурные кривые становятся более пологими и при Fo1 > 20 − практически параллельными оси ξ (см. рис. 1.29). Скачок температуры в окрестности точки ξ = 1

вэтом случаеимеетместо практическидлявсех чиселFo вплоть донаступления стационарного состояния.

На рисунке 1.30 дано распределение температуры во времени для ξ = 0,9999 при Fo1 = 10-3 (Fo2 = 10 -20). Анализ результатов позволяет заключить, что в диапазоне 0 ≤ Fo ≤ 0,2.10-3 температура в точке ξ = 0,9999 равна начальной температуре Θ(0,9999; 0,2.10-3)=1. В диапазоне 0,2.10-3 ≤ Fo ≤ 7.10-3 температура в этой точке экспоненциально уменьша-

ется от Θ(0,9999; 0,2.10-3)=1 до Θ(0,9999; 7.10-3)=0. И для всех Fo1 > 7.10-3

температуравточкеξ=0,9999принимаетнулевоезначение,заданноеграничнымусловиемпервогорода(1.137).Такимобразом,приFo1 = 10-3 (Fo2 = 10-20)

– 57 –

скачки температуры в окрестности точки ξ = 1 происходят в диапазоне 0,2.10-3 ≤ Fo ≤ 7.10-3. Временнóй диапазон, в пределах которого происходят скачки температуры, зависит от величины Fo1. С возрастанием Fo1 он смещается в сторону бóльших чисел Fo.

На рисунке 1.31 даны результаты расчетов температуры при значении числа Fo2, сопоставимом с Fo1 (Fo1 = Fo2 = 10-7). Их анализ позволяет заключить, что учет слагаемых с высокими порядками производных (последние слагаемые в правой и левой части уравнения (1.132)) приводит к изменению температурного поля таким образом, что на одних участках временного диапазона происходит замедление процесса охлаждения (см., например, Fo = 0,5 на рис. 1.31), а на других – ускорение (Fo = 3, рис. 1.31). С увеличением Fo2 (при неизменном Fo1) расхождение результатов (по сравнению со случаем Fo2 = 0) возрастает. Следует, однако, отметить, что качественная картина распределения температуры остается практически неизменной, включая и скачки температуры вблизи координаты ξ = 1.

Используя формулу (1.122), найдем изменения теплового потока при ξ = 1.Формула(1.122)сучетомобозначений(1.131)вбезразмерномвидебудет:

– 58 –

Интегрируя уравнение (1.167), находим:

где D1 = Fo12 −4Fo2 ; B = A / Fo2; c1, c2 − константы интегрирования, определяемые из начальных условий (1.168). При использовании одного члена ряда (1.164), например, при Fo1 = 1 и Fo2 = 0,1 получаем c1 = 0,403084, c2 = 1,926305.

полученной на основе формулы (1.2) закона Фурье (кривая 4). Для расчетов по формуле (1.170) в качестве Θ(ξ, Fo) использовалось классическое точное аналитическое решение для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода.

Анализ полученных результатов позволяет заключить, что тепловой поток, определяемый по формуле (1.169а), для ξ = 1 при Fo = 0 равен бесконечно большой величине. С увеличением времени тепловой поток уменьшается и при Fo ≈ 3 становится практически равным нулю.

Тепловой поток, определяемый формулой (1.169), для любых значенийFo1 и Fo2 при ξ = 1 и Fo = 0 равен нулю. С увеличением времени он возрастает, достигая максимума при определенном (в зависимости от Fo1 и Fo2) значении Fo. Затем при дальнейшем возрастании времени тепловой поток уменьшается, плавно стабилизируясь вблизи нулевого значения при Fo → ∞.

– 59 –

Используя формулу (1.80), найдем изменение теплового потока на стенке при ξ = 1. Формула (1.80) в безразмерном виде с учетом третьего из обозначений (1.131) записывается следующим образом:

где C – постоянная интегрирования, определяемая из начального условия q(0) = 0 .

Подставляя (1.171) в данное начальное условие, находим:

Формула(1.3)в безразмерном видедляповерхности пластиныξ = 1будет:

Решениеуравнения(1.173)иформуладляпостояннойинтегрированияимеют соответственно вид (1.171) и (1.172), гдеB(Fo) следует заменить наB1(Fo).

Результатырасчетовпоформуле(1.171)(приFor =0,3)дляслучаев,когда тепловой поток описывается уравнениями (1.170) и (1.173), представлены на рисунке 1.33. На этом же рисунке даны результаты расчетов теплового потока, определяемого по формуле (1.2), которая в безразмерном виде приводится к формуле (1.169).

Анализ результатов расчетов позволяет сделать следующие выводы. Тепловой поток, определяемый по формуле (1.171), представляющей

– 60 –