Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Для определения постоянных B1k и B2k используются начальные условия

(2.23), (2.24). Подставляя (2.49) в (2.24), получаем:

Соотношение (2.52) представляет разложение единицы в ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке [0; 1]. Поступая также, как при определении коэффициента c2k (см. выше соотношение (2.40)), будем иметь:

После определения постоянных интегрированияB1k иB2k точное аналитическое решение задачи (2.22) – (2.26) в замкнутом виде находится из (2.49).

На рисунке 2.1– 2.6даны результаты расчетов по формулам(2.38), (2.39) конкретной задачи о распределении давления в находящейся в стальном трубопроводе нефти при следующих условиях:

Расчеты выполнялись для следующих длин трубопровода:

l = 1000 км, l = 100 км, l = 10 км, l = 100 м

Соответственно указанным длинам трубопровода число For для ламинарного режима течения было:

For = 6,648.10-3; For = 0,1662, For = 1662,0277.

– 101 –

Для турбулентного режима:

For = 0,8964.10-3; For = 0,02241; For = 224,1.

Анализрезультатоврасчетовпозволяетзаключить,прилюбыхзначениях числа For изменение давления характеризуется движением гидравлической волны, на фронте которой наблюдается скачок давления от его значения на фронте до величины давления нововозмущенного потока. Область, находящаяся за пределами фронта гидравлической волны, оказывается невозмущенной и давление здесь равно начальному давлению p0. Отмечается линейная закономерность движения фронта гидравлического возмущения по пространственной переменной во времени ξ = FoFor0,5 (см. рис. 2.1), что подтверждается исследованиями решения уравнения вида (2.10), выполненными другими авторами [2] применительно к определению температуры в теле с учетом конечной скорости распространения теплоты.

В зависимости от величины числа For наблюдается существенное отличие получаемых результатов. Так, при очень малых его значениях скачок кривых давления имеет место лишь на некоторых начальных участках трубопровода. Например, при For = 6,648.10-3 скачок давления наблюдается лишь в диапазоне 0 ≤ Fo ≤ 0,07 (см. рис. 2.1). Для всех Fo > 0,07 для этого значения For решение для безразмерного давления полностью совпадает с решением параболического уравнения теплопроводности вида (1.1), то есть возрастание давления не сопровождается возникновением его скачков. Для очень малых значений For скачок давления наблюдается лишь на незначительном по длине участке трубопровода вблизи сечения x = l и при малых значениях времени. Например, при For = 10-7 скачки давления практически заканчиваются при Fo ≈ 10-6. Фронт гидравлического возмущения для данного момента времени перемещается лишь на величину ξ = 0,003, что составляет 0,3 % от всей длины трубопровода (см. рис. 2.2).

0,2

Рис. 2.1. Перемещение фронта гидравлической волны по координатеξ во времени Fo (For = 6,648 10-3)

– 102 –

На всей остальной части трубопровода при Fo > 10-6 повешение давления происходит без скачков вплоть до достижения стационарного состояния, когда давление в сечении x = l становится равным давлению, заданному граничным условием первого рода в сечении x=0. Решение задачи (2.22) – (2.26) на временнóм участке10-6 ≤ Fo < ∞ (при For = 10-7) полностью совпадает с классическим точным аналитическим решением параболического уравнения теплопроводности при симметричных граничных условиях первогорода[18](см.рис. 2,3).ЗначенияFor,близкиекнулевым, могутбыть вследующихслучаях:большаядлинатрубопровода;высоковязкаяжидкость; большое значение коэффициента гидравлического сопротивления.

При значениях числа For > 0,07 скачок давления в трубопроводе наблюдается вплоть до момента времени, когда фронт возмущения достигает координаты ξ = x / δ (см. рис. 2.4 – 2.9). Например, для For = 0,3 фронт гидравлического возмущения достигает координаты ξ = 0 при Fo ≈ 0,5477 (см. рис. 2.4, 2.4а). Давление на фронте в этот момент времени составляет Θ = 0,6, которое оказывается меньшим давления Θ = 0, задаваемого граничным условием первого рода при ξ = 1.

Рис. 2.2. Распределение давления в трубопроводе при For = 6,648.10-3

При дальнейшем увеличении времени наблюдается обратная волна гидравлического возмущения со скачком давления в сторону, противоположную скачку давления в прямой волне. По сути, это есть скачок давления, вызывающий гидравлический удар. Причем давление в обратной волне может превышать давление, заданное на входе в трубопровод. С увеличением времени участки трубопровода, на которых наблюдается превышение давления по сравнению с давлением p1 = 100 атм, перемещаются по направлению к точке, где задано это давление, то есть к точке ξ = 1.

– 103 –

С увеличением времени наблюдается периодическое изменение давления в каждой точке трубопровода во времени вплоть до наступления стационарного состояния, при котором давление по всей длине трубопровода становится равным давлению р1 = 100 атм, заданному на входе, то есть в сечении х = 0 (см. рис. 2.7, 2.9).

Рис. 2.4. Распространение давления в трубопроводе при For = 0,1662

Рис. 2.5. Распределение давления в точке x = 0 во времени Fo при For = 0,1662. n = 100; где n – число членов ряда решений (38), (49)

– 104 –

Рис. 2.6. Распределение давления в трубопроводе при For = 0,1662. (n = 100)

Рис. 2.6 а. Распределение давления в трубопроводе при For = 0,1662. (n = 100)

1,0

Θ

0,8

0,6

0,4

0,2

0

–0,2

–0,4

–0,6

–0,8

–1,0

Рис. 2.7. Распределение давления в точке x = 0 во времени Fo при For = 0,1662. (n = 100)

– 105 –

тельно,скоростьжидкостивэтомсечениистановитсяравнойнулю.Требуется определить распределение скорости по длине трубопровода в любой момент времени вплоть до наступления стационарного состояния, при котором скорость течения жидкости по всей длине трубопровода будет равна нулю.

Математическая постановка задачи о распределении скорости по длине трубопровода во времени в данном случае включает уравнение (2.9) со следующими начальными и граничными условиями:

где ϑ0 − начальная скорость, одинаковая по всей длине трубопровода.

После нахождения решения задачи (2.9), (2.54) – (2.57) изменение давления во времени в сечении x = l , в котором происходит максимальное увеличение давления при гидравлическом ударе, находится путем интегрирования уравнения (2.1), то есть:

где p(0, t) = p1 = const − давление в сечении x=0 (предполагается известным). Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

Сучетомпринятыхобозначенийзадача(2.9),(2.54)–(2.57)приводитсяквиду:

– 107 –

Задача (2.59) – (2.63) полностью совпадает с задачей (2.22) – (2.26), поэтому все результаты исследований применительно к задаче (2.22) – (2.26), представленные на рисунках 2.1 – 2.9, могут быть применены и к задаче (2.59) – (2.63).

– 108 –

Глава 3 Математические модели затухающих колебаний

упругих тел с учетом релаксационных свойств материалов

3.1.Продольные колебания стержня

Воснове вывода дифференциальных уравнений продольных колебаний стержней, пружин, струн и проч. лежат закон Гука и второй закон Ньютона.

Согласно закону Гука нормальное напряжение, вызванное действием в направлении оси x некоторой силы F, пропорционально величине относительной деформации ε = ∂u/∂x то есть:

Сила, действующая на некотором элементарном участке (x + x) тела, равна произведению площади поперечного сечения тела на разность нормальных напряжений в сечениях:

– 109 –

Подставляя(3.4)в(3.2),получаемуравнениединамикидляперемещения[30]:

Подставляя (3.1) в (3.5), находим:

где e = E /ρ - скорость распространения продольного возмущения.

Уравнение (3.6) называется дифференциальным уравнением плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ох (волновое уравнение).

Использование частных производных в уравнении (3.6) связано с тем, что функция u зависит от координаты x и от времени t.

Известно, что функция, описывающая любую плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси Ох (плоская прогрессивная волна), имеет вид [17]:

где u(x, t) – перемещение волны по координате x во времени t ; а – амплитуда волны (не зависит от x – незатухающая волна); ω = 2π – циклическая частота;

k = ω/c волновое число;

c = dx/dt – скорость перемещения фазы волны (фазовая скорость);

α – начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета x и t).

Соотношение (3.7) является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид этого уравнения, сопоставим вторые частные производные от соотношения (3.7) по пространственной переменной x и времени t:

Учитывая, что k = ω/c, уравнение (3.8) приводится к виду:

– 110 –