Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Точное аналитическое решение уравнения незатухающих колебаний струны имеет вид:

Анализ результатов расчетов безмерного натяжения по формуле (3.101) с учетом формулы (3.102) позволяет заключить, что колебания натяжения происходят скачкообразно во времени. Этот факт свидетельствует о мгновенном изменении натяжения, т.е. скорость изменения натяжения в данном случае оказывается бесконечно большой, что исключается в случае реальных затухающих колебаний струны.

Найдем изменение натяжения во времени для случая релаксированной формулы закона Гука вида (3.62), которая в безразмерном виде будет:

где C − постоянная интегрирования, определяемая из начального усло-

вия (3.104).

Формула (3.105) аналогична формуле (3.55).

Анализ результатов расчетов перемещений струны по формуле (3.94) позволяет заключить, что для For ≤ 10-4 практически получаются незатухающие колебания. Варианты расчетов с затухающими колебаниями

– 131 –

0,25

Θ

ξ = 0,5

0,2

0,3

0,15

0,2

0,1

0,1

0,05

Рис. 3.18. Изменение перемещений различных точек струны во времени. Расчет по формуле (3.94) (For = 10). n = 20

3.3.Математическая модель продольных волн в жидкостях

сучетом их релаксационных свойств

В основе вывода дифференциальных уравнений продольных волн в жидкости лежат закон Гука и второй закон Ньютона. Согласно закону Гука нормальное напряжение в жидкости. Пропорционально величине

Учитывая, что напряжение в жидкости пропорционально действующей силе σ = F/S, для элементарного участка оси х можно записать:

где e = E /ρ - скорость распространения волны в капельной жидкости.

Так как скорость волны в жидкости зависит от относительного изменения давления с изменением плотности, то e2 = ∂p/∂ρ [17].

Уравнение (3.110) представляет классическое волновое уравнение свободных (незатухающих) колебаний. Для учета затухания колебаний волновое уравнение должно содержать слагаемые, учитывающие релаксационные свойства среды и силы внутреннего трения.

Согласно дифференциальному уравнению (3.106) закона Гука, напряжение, вызванное некоторой силой, мгновенно (скачком) достигает соответствующих этой силе величин. То есть в основе этого закона оказывается заложенной бесконечная скорость распространения возмущения, о чем свидетельствует мгновенный скачок напряжения (см. рис. 3.19). Однако скорости распространения любых физических величин не могут принимать бесконечных значений и, следовательно, как напряжение, так и перемещение (или величина du/dx), не могут мгновенно достигать любых конкретных величин. В реальной физической среде их изменения происходят с некоторым запаздыванием во времени согласно релаксационным свойствам среды, учитываемым некоторым коэффициентом τr (коэффициентом релаксации).

– 136 –

Для учета релаксационных свойств среды скорости изменения во времени напряжения σ и производной от перемещения du/dx в формуле (3.106) будем представлять в виде следующих соотношений [11 – 15]:

где частные производные применены по той причине, что как напряжение, так и перемещение, являются функциями координаты х и времени t.

Вторые слагаемые соотношений (3.111) представляют скорости изменения напряжения и производной от перемещения во времени, где коэффициент релаксации τr учитывает реакцию среды на изменение этих величин, то есть он учитывает время, необходимое для рассеивания (выравнивания) упругой энергии, возникающей в деформируемом среде (и вызывающей появление напряжений и перемещений), и перехода её в теплоту.

Формула (3.106) с учетом (3.111) будет:

Уравнение (3.113) описывает изменение перемещения с учетом релаксационных свойств среды. Однако в нем отсутствует члены, учитывающее внутреннее сопротивление среды при воздействии на неё нагрузки, вызы-

– 137 –

вающей упругие перемещения. Для учета сопротивления среды примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости изменения перемещения во времени:

где знак «минус» означает, что сила сопротивления имеет направление, противоположное скорости изменения перемещения;

r = e2 τr / δ2 – коэффициент сопротивления, имеющий размерность 1/с; δ – длина канала.

Таким образом, коэффициент r при фиксированных значениях e и δ зависит лишь от коэффициента релаксации τr.

Для выполнения второго закона Ньютона (являющегося уравнением закона сохранения энергии в механике жидкости) применительно к затухающим колебаниям среды соотношение (3.114) подставим в правую часть уравнения (3.113):

Отметим, что размерность коэффициента r принята такой, чтобы размерность слагаемого rdu/∂t совпадала с размерностью всех других членов уравнения (3.115).

Очевидно, что при τr = 0 уравнение (3.115) приводится к уравнению незатухающих колебаний (3.110).

Найдем точное аналитическое решение краевой задачи о затухающих колебаниях неподвижной жидкости, находящейся в трубопроводе длиной δ, перекрытом задвижкой в точке x = δ. В начальный момент времени (τ= 0) перемещения по длине трубы изменяются линейно:

где b – коэффициент, учитывающий начальное перемещение в жидкости по длине трубы.

Согласно (3.116) максимальное перемещение наблюдается в сечении x = 0, а минимальное (равное нулю) – в сечениях x = δ.

– 138 –

Сечение при x = 0 принимается свободным от нагрузки в течение всего времени нестационарного процесса 0 < τ < ∞. Таким образом, в процессе решения задачи необходимо определить распространение перемещений в жидкости по длине трубы во времени от действия лишь начального неравномерного по длине трубы распределения перемещения.

Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид:

где δ – длина трубы;

b – коэффициент, учитывающий начальное перемещение жидкости.

Из начального условия (3.118) следует, что при t = 0 перемещение жидкости в трубе линейно зависит от координаты x, принимая максимальное значение u(0, 0) = bδ в точке x = 0 и минимальное u(δ, 0) = 0 – в точке x = δ. Согласно условиям (3.119) и (3.120) начальные скорости и ускорения всех точек жидкости равны нулю. Граничное условие (3.121) означает отсутствие нагрузки в сечении трубы при x = 0, а условие (3.122) характеризует отсутствие перемещений при x = δ.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

где Θ – безразмерное перемещение; ξ – безразмерная координата;

Fo – число Фурье (безразмерное время);

For = const; u0 = bδ.

– 139 –

С учетом обозначений (3.123) задача (3.117) – (3.122) приводится к виду:

Соотношение (3.124) представляет уравнение плоской затухающей волны перемещения, распространяющейся вдоль положительного направления оси ξ. Его отличие от уравнения (3.110) заключается в наличии трех дополнительных слагаемых, характеризующих релаксационные свойства жидкости (способность жидкости оказывать сопротивление сдвигающим усилиям). Эти три слагаемые позволяют учесть инерционность изменения во времени напряжения σ и градиента перемещения ∂u/∂x в формуле закона Гука (вторые слагаемые в левой и правой части уравнения (3.124)), а также сопротивление, оказываемое упругой средой перемещениям её участков при воздействии на нее некоторой нагрузки (первое слагаемое

влевой части этого уравнения). Все эти слагаемые находятся в произ-

ведении с безразмерным коэффициентом релаксации For , включающим комплекс величин, характеризующих способность среды оказывать сопротивление усилиям, вызывающим ее деформацию. Очевидно, что при

For = 0 уравнение (3.124) приводится к уравнению незатухающих колебаний, представленному в безразмерном виде.

Задача (3.124) – (3.129) полностью совпадает с задачей (3.23) – (3.28) (см. П.3.1) для стержня. Поэтому все результаты и выводы, полученные

вП.3.1, справедливы и для задачи (3.124) – (3.129).

–140 –