Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Рис 1.41. Распределение температуры в пластине. Fo1 = 10-7; Fo2 = 10-20; n = 105

Рис. 1.42. Распределение температуры в пластине. Fo1 = 10-3; Fo2= 10-20; n = 104

Рис. 1.43. Распределение температуры в пластине. Fo1 = 5; Fo2= 10-20; n = 104

Рис. 1.44. Распределение температуры для различных Fo2 при Fo1 = 1

– 91 –

Глава 2 Аналитические решения гиперболических уравнений

огидравлическом ударе в трубопроводах

2.1.Распределение давлений по длине трубопровода в условиях гидравлического удара

Фундаментальный вклад в решение проблемы исследования нестационарного течения идеальной упругой жидкости внесен Н.Е. Жуковским [5, 29]. В случае идеальной жидкости решение краевой задачи о распределении давления в трубопроводе по пространственной переменной и времени сводится к интегрированию классического линейного гиперболического уравнения, методы решения которых в настоящее время хорошо разработаны. Трудности решения краевых задач о течении реальных вязких жидкостей связаны с нелинейностьюэтихзадачввидузависимостикоэффициентагидравлическогосопротивления от скорости. Уравнения, описывающие распределение давления и скорости для несжимаемой жидкости, в данном случае имеют вид:

где Р – давление;

x – продольная координата;

ϑ− скорость;

τ− время;

ρ = const − плотность;

λ(ϑ) − коэффициент гидравлического сопротивления (коэффициент трения), зависящий от скорости течения среды;

текущей в трубе с упругими стенками (скорость распространения ударной волны – волны гидравлического возмущения (соотношение справедливо

при ϑ/c < 1 и ((p – p0) / E <1);

k − модуль упругости жидкости; δ − толщина стенки трубы;

d − диаметр трубы;

E − модуль упругости материала стенки трубы.

– 93 –

Решение нелинейных уравнений (2.1), (2.2) возможно лишь путем численного интегрирования [4, 29]. Для упрощения нелинейного уравнения (2.1) И.А. Чарный [29] предложил способ линеаризации второго слагаемого в правой его части, приняв множитель λϑ/(2d ) постоянным и равным его среднему значению по длине трубы и времени:

Величина 2a для ламинарного режима, учитывая формулу Пуазейля:

где Re = (ϑd ) / v − число Рейнольдса; v − кинематическая вязкость.

При турбулентном режиме течения второе слагаемое в правой части уравнения (2.1) осредняется в некотором интервале скорости ϑ0 < ϑ < ϑ1 с заменой кривой изменения функции y = λ(ϑ)ϑ2 /(2d ) некоторым эквивалентным отрезком прямой. Тогда формула для величины 2a приводится к виду [29]:

где принимается λ = const .

С учетом рассмотренной линеаризации уравнение (2.1) принимает вид:

Уравнения (2.2), (2.6) обычно решаются операционными методами [4, 29] либо методом контурного интегрирования [4], являющегося разновидностью операционных методов.

Сцельюупрощенияполученияаналитическогорешенияуравнения(2.2), (2.6) в некоторых случаях сводятся к одному гиперболическому уравнению

– 94 –

где p0 – начальное давление в трубе; p1 – давление, приложенное в точке

x = 0 и действующее в течение всего времени процесса вплоть до установления стационарного состояния (p1 > p0);

l − длина трубопровода.

Из решения задач (2.10) – (2.14) можно получить полную информацию о распределении скорости и давления по длине трубопровода во времени. Распределение скорости при известном давлении может быть найдено путем интегрирования уравнения (2.2).

Последовательность получения точного аналитического решения задачи (2.10) – (2.14) путем использования метода разделения переменных Бернулли-Фурье дана в [29]. Однако изложенный в [29] процесс получения аналитического решения технически сложен, и к тому же решение получено в размерах переменных, что не позволяет сделать выводы наиболее общего характера.

В настоящей работе излагается более простой путь получения точного аналитического решения путем совместного использования классического аналитического метода разделения переменных и ортогональных методов взвешенных невязок.

С целью упрощения математической постановки задачи и процесса получения аналитического решения, а также для нахождения решения наиболее общего введем следующие безразмерные переменные и параметры:

где Θ − безразмерное давление;

Fo − число Фурье (безразмерное время); ρ− безразмерная координата;

For = const − параметр, характеризующий гидравлическое сопротивление жидкости, учитывающий ее вязкость, скорость звука в ней, коэффициент гидравлического сопротивления, а также длину трубопровода.

– 96 –

Сучетомпринятыхобозначенийзадача(2.10)–(2.14)приводитсяквиду:

Для удобства получения аналитического решения сделаем замену неза-

– 97 –

РешениекраевойзадачиШтурма-Лиувилля(2.29)–(2.31)принимаетсяввиде:

с точностью до постоянного множителя (который в данном случае можно принять равным единице [24]) находятся из (2.32).

Очевидно, что соотношение (2.32) удовлетворяет граничным условиям

Если дискриминант D = (4For λk – 1) < 0, то из (2.35) для каждого собственного числа будем иметь два действительных отрицательных корня z1k и z2k (k =1, ∞). С учетом найденных значений z1k и z2k решение уравнения (27) для каждого собственного числа будет:

(r = 2k -1; k =1,∞).

– 98 –

Каждое частное решение (2.37) точно удовлетворяет уравнению (2.22) и граничным условиям (2.25), (2.26), но не одно из них не удовлетворяет начальным условиям (2.23), (2.24).Для их выполнения составим сумму частных решений:

Неизвестные коэффициенты c1k и c2k определяются из начальных усло-

вий (2.23), (2.24). Подставляя (2.38) в (2.24), получаем:

Соотношение (2.45) представляет разложение единицы в ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке [0; 1]. Умножим обе части соотношения (2.40) на cos(jπξ / 2) и найдем интеграл в пределах от ξ = 0 до ξ = 1: