Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография

Уравнение (1.65) для любого конкретного Bi удовлетворяется при некоторых дискретных значениях величины v, называемых собственными значениями. Например, при Bi→ ∞ получаем:

Значения vk, определяемые по формуле (1.66), совпадают с собственными числами краевой задачи Штурма-Лиувилля при граничных условиях первого рода.

Для любых других значений числа Bi уравнение (1.65) решается численными методами или графически.

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения (1.59) будет:

Каждое частное решение (1.70) точно удовлетворяет уравнению (1.53) и граничным условиям (1.56), (1.57). Для выполнения начальных условий (1.54), (1.55) составим сумму частных решений:

– 31 –

Подставляя (1.71) в (1.55), получаем:

Подставляя (1.71) в (1.54), с учетом (1.72) находим:

∞

- ∑C2k (1- z2k / z1k )cos(νk x) =1 . (1.73)

k =1

Соотношение (1.73) представляет разложение единицы в ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи Штурма-Лиувилля (1.60) – (1.62). Умножим обе части уравнения (1.73) на cos(vkξ) и проинтегрируем полученное соотношение в пределах от ξ = 0 до ξ = 1:

Соотношение(1.74)ввидуортогональностикосинусовприводитсяквиду:

Определяя интегралы в (1.75), находим:

Если дискриминант D = (4For ν2k −1)> 0,то будем иметь следующие два комплексных корня:

z1k = γ +iβ; z2k = γ -iβ,

– 32 –

где B1k; B2k − постоянные интегрирования.

Подставляя (1.63) и (1.77) в (1.58) и составляя сумму частных решений, находим:

Θ(ξ, Fo) = ∑∞ {[exp(γFo)(B1k cos(βFo)−B2k sin(βFo))]cos(νk ξ)} . (1.78)

k =1

Константы интегрирования B1k и B2k находятся из начальных условий

(1.54), (1.55).

Результаты расчетов по формулам (1.71), (1.78) позволяют заключить, что при Bi→ ∞полученное решение полностью совпадает с решением аналогичной задачи при граничных условиях первого рода.

При малых значениях For, т.е. когда вторым слагаемым в уравнении (1.53) можно пренебречь, результаты расчетов по формуле (1.71), (1.78) полностью совпадают с решением параболического уравнения теплопроводности при граничных условиях третьего рода.

С увеличением числа For для одних и тех же чисел Bi на температурных кривых появляется излом, фронт которого перемещается по координате ξ во времени (рис. 1.14). При этом обнаруживаются прямая и обратная температурные волны. Излом на прямой волне заключается в том, что температурные кривые составляют некоторый угол с линией температуры Θ = 1,0 (начальная температура пластины). Отметим, что в случае параболического уравнения до моментов времени, когда фронт температурного возмущения не достигает центра пластины, температурные кривые являются касательными к линии Θ = 1,0.

После того как фронт температурного возмущения достигает центра пластины, наблюдается обратная тепловая волна, также характеризующаяся изломом температурных кривых (рис. 1.14, 1.15). После достижения фронтом излома обратной тепловой волны поверхности пластины наблюдается новая (вторая) прямая волна, которая также имеет излом. Причем температура на фронте излома в процессе его движения к центру пластины остается большей температуры как в центре, так и на поверхности. В процессе движения прямых и обратных волн охлаждения пластины темпера-

– 33 –

тура на ее поверхности может оказаться ниже температуры окружающей среды. Таким образом, температура поверхности пластины в процессе её охлаждения совершает колебательное изменение относительно нулевого значения температуры среды, стабилизируясь вблизи этого значения при больших величинах числа Фурье (Fo → ∞).

С увеличением числа Био угол излома температурных кривых уменьшается и при Bi→ ∞ он становится равным 90, т.е. излом температурных кривых переходит в скачок температуры, имеющий место как на прямых, так и обратных температурных волнах. Распределение температуры в данном случае полностью совпадает с решением аналогичной задачи при граничных условиях первого рода (см. рис. 1.16. 1.17). В этом случае температура любой внутренней точки пластины при больших значениях числа Фурье совершает колебательные изменения относительно нулевого значения температуры поверхности, принимая в отдельные моменты времени отрицательные значения.

2

2,5

0,5

Fo = 3

0,25

Рис. 1.14. Распределение температуры в пластине. Bi = 1; For = 3; n = 1000 – число членов ряда (1.71)

−0,8

−1,0

Рис. 1.15. Изменение температуры в пластине. Bi = 10; For = 3; n = 190 – число членов ряда (1.71)

– 34 –

Рис. 1.16. Распределение температуры в пластине. ξ = 1; For = 3; n = 1000 – число членов ряда (1.71)

Рис. 1.17. Распределение температуры в пластине. Bi = 106; For = 3; n = 1000 – число членов ряда (1.71)

1.3.Гиперболические уравнения, полученные

сучетом релаксации теплового потока и градиента температуры

Как указывалось выше (см. П. 1.1), необходимость получения гиперболических уравнений связана с так называемыми парадоксами теории теплопроводности, следующими из решений классического параболического уравнения нестационарной теплопроводности, выведенного

– 35 –

на основе закона Фурье для теплового потока. Для преодоления трудностей классических аналитических решений параболических уравнений, путем учета релаксации теплового потока было выведено гиперболическое уравнение (вида 1.4), содержащее вторую производную от искомой функции по времени. Аналитические и численные решения уравнения (1.4) для конечных и полубесконечных областей при граничных условиях 1-го, 2-го и 3-го рода получены во многих работах [1, 2, 3, 8 – 27, 30 – 33]. Их анализ позволяет заключить, что, устраняя одни парадоксы теории теплопроводности, оно порождает другие. И в частности распределение температуры характеризуется движением по пространственной координате во времени тепловой волны, на фронте которой наблюдается скачок температуры. В решениях для тел конечных размеров наблюдается обратная волна со скачком температуры на ее фронте противоположного знака по сравнению со скачком в прямой волне. Наличие скачка температуры в обратной тепловой волне приводит к возникновению отрицательных температур в процессе охлаждения, то есть температура тела может оказаться ниже температуры, задаваемой граничным условием первого рода на поверхности пластины. Указанные факты свидетельствуют о локальном нарушении как первого, так и второго законов термодинамики.

Анализируя вероятные причины получения такого рода результатов, можно заключить, что уравнение (1.4) неадекватно описывает тепловой баланс в процессе теплообмена, согласно которому количество поступающей энергии извне должно быть равно изменению внутренней энергии выделенного объема тела. Следовательно, в формуле (1.3), на основе которой выведено уравнение (1.4), отсутствует та дополнительная информация, без которой получаемое гиперболическое уравнение оказывается неадекватным уравнению закона сохранения энергии, а также допускает уменьшение энтропии в неравновесном термодинамическом процессе. В связи с чем рассмотрим вывод формулы (1.3) согласно [19, 20]. В этих работах на основе гипотезы о конечной скорости диффузии массы и теплоты получена обобщенная система уравнений Онзагера, которая для одномерной задачи переноса теплоты приводится к одному уравнению вида [19]:

где J − поток субстанции (тепловой поток);

X − термодинамическая движущая силы (градиент температуры ∂T/∂x); L(r), L, L’− постоянные феноменологические коэффициенты переноса.

– 36 –

Если пренебречь производной по времени от движущей силы X (∂X/∂τ = 0), как это предлагается в [19, 20] (см., например, [19], стр. 290; [20], стр. 449), то из (1.79) для одномерного потока теплоты получается формула (1.3), где L = – λ; L(r) = –τr. Однако если величиной ∂X/∂τ не пренебрегать, то формула для теплового потока будет иметь вид:

где L’ =– λτr.

Для вывода гиперболического уравнения на основе формулы (1.80) воспользуемся уравнением теплового баланса применительно к одномерному температурному полю:

Таким образом, гиперболическое уравнение (1.84) получено с учетом всехчленов уравнения,получаемогоизпредложеннойА.В.Лыковымобобщенной системы дифференциальных уравнений Онзагера применительно к одномерному процессу переноса теплоты.

– 37 –

Рассмотрим еще один метод вывода формулы (1.80), не связанный с соотношением (1.79). Применительно к формуле (1.1) введем релаксационную поправку не только для теплового потока, но и для градиента температуры, то есть соотношения для q и ∂ T/∂x будем представлять в виде q + τr∂q/∂τ и ∂T/∂x+ τr∂2T/(∂x∂τ). Тогда формула (1.1) приводится к виду [3]:

Формула (1.85) полностью совпадает с формулой (1.80).

Рассмотрим еще один способ вывода гиперболического уравнения (1.84), основанный на учете релаксационных поправок для теплового потока и градиента температуры. Формула (1.1) с учетом релаксационной поправки τr∂2T/(∂x∂τ) для градиента температуры примет вид:

Подставляя в уравнение теплового баланса (1.81) вместо q соотношение (1.86), а вместо T – соотношение, содержащееся в скобках правой части формулы (1.86), будем иметь:

Уравнение (1.87) при λ = const приводится к уравнению (1.84). Таким путем уравнение (10) получено в работе [3]. Однако автором этой работы производной третьего порядка предлагается пренебрегать, что равносильно пренебрежению слагаемым L’∂X/∂τ в системе уравнений (1.79). Но, как показали приведенные ниже исследования, учет слагаемого с производной третьего порядка в уравнении (1.84) приводит к существенному не только количественному, но и качественному отличию получаемых результатов по сравнению со случаем его отсутствия.

Начальныеиграничныеусловиядляуравнения(1.84)вслучаебесконечнопротяженной пластины при симметричных граничных условиях первого рода записываются следующим образом:

– 38 –

Для получения точного аналитического решения задачи (1.84), (1.88) – (1.91) введем следующие безразмерные переменные и параметры:

– 39 –

Подставляя (1.98) в (1.93), находим:

где v − некоторая постоянная.

Граничные условия для уравнения (1.100), исходя из (1.96), (1.97), будут:

РешениекраевойзадачиШтурма-Лиувилля(1.100),(1.101)принимаетсяввиде:

Очевидно, что соотношение (1.102) удовлетворяет граничным условиям (1.101). Подставляя (1.102) в (1.100), для нахождения собственных чисел полу-

чаем формулу:

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения (1.99) имеет вид:

Решение уравнения (1.104) для каждого собственного числа будет:

– 40 –