Представление линейных стационарных непрерывных и дискретных систем в фазовом пространстве. Учебное пособие

0

0:0000

0:5000

0:5000

Найдем сумму квадратов координат вектора S2 и извлечем из этой

суммы квадратный корень. Тем самым будет вычислена длина или норма вектора S2:

normS2 = sqrt(sum(kvS2)) normS2 =

1:0000

Длину или норму столбца S3 вычислим, применяя специальную функ-

öèþ MATLAB:

normS3 = norm(S(:; 3)) normS3 =

1:0000

Таким образом, норма и третьего столбца матрицы S равна единице.

1.19

Найти собственные векторы и собственные числа системы

в командном окне MATLAB.

1.20

Найти собственные числа и собственные векторы для системы из задачи

1.14 в командном окне MATLAB.

Ответы и решения к занятию 1

1.1Непрерывная система имеет второй порядок, один вход и два выхода. Дискретная система имеет третий прядок, один входи и три выхода.

1.2Система имеет два входа и один выход.

1.3

11

= ( 0:3) + 0:2 = 2 0:3 + 0:02

1.4

P ( ) = 2 0:3 + 0:02 = ( 0:1)( 0:2); 1 = 0:1; 2 = 0:2

1.5 Для непрерывной системы

1 1

1 0:7 0:7

= 0 0:5 0 = 0:15

0 0:2 0:3

При вычислении определителя сначала из 1-го столбца вычтен 2-й столбец, затем ко 2-й строке прибавлена 1-я.

1.6 Для непрерывной системы tr A = 5. Для дискретной системы tr A = 1:8.

1.7

1.8 Для непрерывной системы

Для дискретной системы

1.9 Для непрерывной системы

12

P ( ) = 2 + 5 + 6

Для дискретной системы сумма всех главных миноров первого порядка есть след матрицы A : c1 = tr A = 1:8. Сумму всех главных миноров второго порядка матрицы A найдем, воспользовавшись результатом решения задачи 1.8:

Сумма всех главных миноров третьего порядка есть определитель матрицы A. Он вычислен при решении задачи 1.5:

c3 = det A = 0:15

Таким образом,

P ( ) = 3 c1 2 + c2 c3 = 3 1:8 2 + 0:95 0:15

13

1.12

A2 = [ 0:3 0:7 0:7; 0:2 1:2 0:7; 0:2 0:2 0:3 ] A2 =

0:3000 0:7000 0:7000 0:2000 1:2000 0:70000:2000 0:2000 0:3000

p2 = poly(A2) p2 =

1:0000 1:8000 0:9500 0:1500

r2 = roots(p2)

r2 =

1:0000

0:5000

0:3000

A3 = [ 0:23 0:2 0:2; 0:2 0:6 0:2; 0:2 0:2 0:2 ] A3 =

0:2000 0:2000 0:2000 0:2000 0:6000 0:20000:2000 0:2000 0:2000

p3 = poly(A3) p3 =

1:0000 1:0000 0:3200 0:0320

r3 = roots(p3)

r3 =

0:4000

0:4000

0:2000

1.13 Собственный вектор h, отвечающий собственному числу 1 =2, определится как решение однородной системы (12)

которую можно переписать так:

h1 h2 = 0; 2h1 2h2 = 0

14

личное от нуля. Собственный вектор l, отвечающий собственному числу3 = 3, находится как решение системы

6[ ( + 3) 12] + [ 6 + 6( + 3)] = 3 + 2 2 + 9 + 18 =

2( + 2) + 9( + 2) = ( + 2)(2+9) = ( + 2)( + 3i)( 3i)

Собственные числа системы 1 = 2, 2 = 3i, 3 = 3i. Определим собственный вектор, отвечающий собственному числу 1 = 2, как решение системы

В качестве одного из решений можно взять систему трех алгебраи- ческих дополнений к элементам первой строки:

15

ственный вектор, отвечающий собственному числу 2 = 3i, как решение системы

66 3 + 3i

Одно из решений этой системы образуют алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы системы:

1 3 + 3i

В качестве собственного вектора, отвечающего собственному числу3 = 3i, возьмем вектор, комплексно-сопряженный с l:

0 1

12 + 18i m = g @ 15 + 3i A

12 + 18i

1.17Обе системы имеют кратные собственные числа 1 = 2 = 2.

любой ненулевой вектор является собственным.

1.18 Собственные числа рассматриваемой системы: 1 = 0:1 è 2 = 0:2. Собственный вектор h, отвечающий собственному числу 1 = 0:1, определяем как решение однородной системы (12)

которую можно переписать так:

0:1h1 0:1h2 = 0; 0:2h1 0:2h2 = 0:

16

Отсюда h1 = h2. Таким образом, h = 1 1 T , где k - любое число, отличное от нуля. Собственный вектор l, отвечающий собственному числу 0.2, находим как решение системы

Имеем l2 = 2l1 è l = g 1 2 T , где g - любое число, отличное от нуля.

1.19 A = [ 0:3 0:7 0:7; 0:2 1:2 0:7; 0:2 0:2 0:3 ]

A =

0:3000 0:7000 0:7000 0:2000 1:2000 0:70000:2000 0:2000 0:3000

[S; R] = eig(A)

S =

0:5774 0:0000 0:7071 0:5774 0:7071 0:70710:5774 0:7071 0:0000

R =

1.20

A = [ 5 2; 0 3 ]

A =

5 2

03

S =

1:000 0:7071

00:7071

17

2Занятие второе. Собственные движения непрерывных и дискретных линейных стационарных систем

Движение системы на промежутке времени, на котором входное воздействие равно нулю, называется собственным.

Собственное движение линейной стационарной дискретной системы можно найти при известном начальном состоянии x(k0) = x0 из уравне- íèÿ

2.1

Найти состояние в момент k = 2 системы с уравнением состояния

2.2

Найти собственное движение системы с уравнением состояния x(k+1) = 0:5x(k) + 2u(k) при x(0) = 1

Решение уравнения (14), удовлетворяющее условию x(k)0) = x0, èìå- åò âèä

2.3

Найти собственное движение системы

ïðè x(1) = 1 1 1

В общем случае, когда матрица A системы не является диагональной, Ak Можно вычислять следующим образом.

I. Составить характеристический полином матрицы A.

II. Найти собственные значения 1; 2; ::: n матрицы A (здесь будем предполагать, что все они различны).

18

III. Для каждого собственного числа j найти по одному собственно- му вектору h(j)(j = 1; 2; :::n).

IV. Составить матрицу S, столбцами которой будут собственные векторы h(j) : S = [h(1); h(2); :::h(n)].

V. Найти матрицу S 1, обратную к S (такая матрица всегда существует в силу невырожденности S).

VI. Выписать Ak:

Следует обратить внимание на то, что собственные числа j, íà äèà-

гонали в этой формуле упорядочены так же, как и отвечающие им собственные векторы h(j) в матрице S.

2.4

Найти собственное движение системы из задачи 2.1 Собственное движение линейной стационарной непрерывной системы

может быть найдено как решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений

с начальным условием x(t0) = x0.

2.5

Найти собственное движение системы с уравнением состояния x = 3x+ 2u при условии x(0) = 1

Решение x(t) уравнения (16), удовлетворяющее начальному условию

x(t0) = x0, имеет вид

Ряд (18) сходится для любой квадратной матрицы A равномерно на любом конечном промежутке времени.

19

2.6

Найти собственное движение системы

для которого

0 1

1 x(1) @ 1 A

0

В общем случае, когда матрица A системы не является диагональной, eAt можно вычислять следующим образом. Выполнить последовательно

первые пять пунктов (I - V), которые указаны выше в алгоритме вычисления степени матрицы Ak. Далее выписать eAt.

2.7

Найти собственное движение системы

2.8

Найти собственное движение системы задачи 2.7, удовлетворяющее на- чальному условию x(0) = 1 1 1 T

2.9

Найти собственное движение системы задачи 2.7, если эта система при t = 2 находилась в состоянии 2 1 2 T

2.10

Найти собственное движение

20