Представление линейных стационарных непрерывных и дискретных систем в фазовом пространстве. Учебное пособие

0 1

1

h = @ 1 A 0

Строим матрицу

и обращаем ее:

[ 2(2 + 1) + 1] + [ 2 + + 2] = ( 2 + 2 + 1) = ( + 1)2

II. Находим собственные числа: 1 = 0; 2 = 3 = 1.

III. Для собственных чисел 1 è 2 ищем собственные векторы:

1 6= 0), то ищем столбец, являющийся решением уравнения

31

IV. Составляем матрицу S, столбцами которой будут векторы h(1); h(2) è h:

V. Строим матрицу S 1, обратную к S:

2.16 Ответ:

x1(t) = 2e 3t; x2 = e 3t; x3(t) = 0

2.17 Вводим матрицу системы

A = [ 0:3 0:7 0:7; 0:2 1:2 0:7; 0:2 0:2 0:3 ]

A =

0:3000 0:7000 0:7000 0:2000 1:2000 0:70000:2000 0:2000 0:3000

Вводим столбец начального состояния системы

x0 = [ 1; 0 0 ] x0 =

1

0

0

32

вычисляем собственные числа и собственные векторы

[S; R] = eig(A)

S =

Описываем символьные переменные

syms k Rk

Rk = [ 0:3bk 0 0; 0 0:5bk 0; 0 0 1 ];x = S Rk inv(S) x0;

k = 3subs(x) ans =

0:0270

0:09800:0989

2.18 Вводим исходные данные

A = [ 2 3 1; 1 2 1; 3 3 2 ]

A =

2 3 11 2 13 3 2

x5 = [ 1; 0; 1 ] x5 =

1

0

1

syms t

x = expm(A (t 5)) x5 x =

[exp( t + 5)]

[0]

[exp( t + 5)]

33

3Занятие третье. Общие решения уравнений состояния непрерывной и дискретной линейных стационарных систем

Решение уравнения состояния

линейной стационарной дискретной системы, находящейся в момент k0 в состоянии x(k0) при известном входном сигнале u(k) для k k0 можно записать в следующем виде:

3.1

Найти решение уравнения состояния x(k +1) = 0:1x(k)+u(k) при x(0) = 1 и u(k) = 0:1k.

3.2

Найти решение уравнения состояния для системы из задачи 2.14 при u(k) = 0:5k

3.3

Найти выходной сигнал дискретной системы из задачи 1.1 при x(0) = 0; u(k) = 1

3.4

линейной стационарной непрерывной системы, находящейся в момент t0 в состоянии x(t0) при известном входном сигнале u(t) для t t0 можно записать в следующем виде:

34

Решить задачу 3.5 при входном сигнале вида u(t) = e 2t äëÿ t 0.

3.7

Для системы с уравнением состояния

найти x(t) при t 0, если x(0) = 0 и u(t) = t2 äëÿ t 0.

3.8

Решить задачу 3.7 при входном сигнале вида u(t) = sin 5t для t 0.

3.9

На входе системы с уравнением состояния

35

при t 0 действует входной сигнал u(t) = eT . Найти x(t) для t 0, если x(0) = 1 0 1 T .

3.10

Система с уравнение состояния x = x + 2u находится в нулевом состоянии при t = 0. Найти x(t) для t 0, если u(t) = e t ïðè t 0.

Рассмотрим применение программы MATLAB для построения решения уравнения состояния в символьной форме на примере решения задачи 3.5.

Вводим матрицу системы A, матрицу входного сигнала B и вектор-

столбец начального состояния x0, помня, что разделители между элементами строки - пробелы, а разделители строк - точки с запятыми.

A = [ 1 1; 2 4 ]

A =

1 1

24

B = [ 1; 1 ]

B =

1

1

x0 = B x0 =

1

1

Декларируем две символьные переменные t и s (переменная s соответствует переменной в решении задачи 3.5, приведенном выше).

syms t s

Находим собственное движение системы x1 = eAtx0.

x1 = expm(A t) x0 x1 =

[exp( 2 t)]

[exp( 2 t)]

Для нахождения вынужденной составляющей

Z t

x2 = eAt e AtBu(s)ds

0

вычислим подынтегральную функцию

36

F s = e AtBu(s)

F s = expm(A ( s)) B s F s =

[s exp(2 s)] [s exp(2 s)]

Проинтегрируем эту функцию на промежутке от 0 до t, обозначив результат int F

int F = int(F s; s; 0; t) int F =

Умножим eAt на интеграл R0t e AtBu(s)ds

x2 = expm(A t) int F ; поскольку после оператора поставлена

точка с запятой, результат на экран не выводится.

x = x1 + x(2);

После упрощения получим

simple(x) ans =

3.11

Решить задачу 3.6 в командном окне MATLAB

3.12

Решить задачу 3.7 в командном окне MATLAB

37

3.13

Решить задачу 3.8 в командном окне MATLAB.

Ответы решения к занятию 3

3.1 В соответствии с (24)

3.2 При решении задачи 2.14 найдено

Окончательно имеем

0 1

0

x(k) = @ 0:5k + k 0:5k 1 A: 0:5k + k 0:5k 1

3.3

3.4

38

3.5 Строим матрицу eAt (см. решение задачи 2.10):

Интегрируем его от нуля до t:

3.9 Ответ:

1 + tet x(t) = tet1

3.10 В соответствии с (28)

Z t

x(t) = e t x0 + e 2e d

0

Òàê êàê x0 = 0, получим x(t) = 2te t.

39

3.11

A = [ 1 1; 2 4 ];B = [ 1; 1 ];

x0 = B;

x1 = expm(A t) x0;

F s = expm(A ( s)) B exp(( 2)s)

F s =

[exp( 2 s) exp(2 s)] [exp( 2 s) exp(2 s)]

F ss = simple(F s)

F ss =

[1]

[1]

int F = int(F ss; s; 0; t) int F =

[t] [t]

x2 = expm(A t) int F ;

x2 = simple(x2)

x2s =

[t= exp(t)]b2 [t= exp(t)]b2

x = x1 + x2s x =

B = [ 1; 0; 1 ]

40