Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Представление линейных стационарных непрерывных и дискретных систем в фазовом пространстве. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

567 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

1=3 1=3 exp( 3 t)

Решим теперь с помощью MATLAB задачу 4.14. Формируем строку p коэффициентов числителя передаточной функции, упорядоченных по

убыванию степени, и так же упорядоченную строку q коэффициентов

знаменателя. Разделителями между коэффициентами являются пробелы.

p = [ 3	27	60 ];
q = [ 3	6	9 15 ];

Формируем (lti) object в подклассе tf

W = tf(p; q)

Transfer function:

3sb2 + 27s + 60

3sb3 + 6sb2 + 9s + 15

Преобразуем (lti) object в подкласс ss

sys = ss(W ) a =

	x1	x2	x3
x1	2	0:75	0:625
x2	4	0	0
x3	0	2	0

b =

u1 x1 2 x2 0 x3 0

c =

x1	x2	x3
y1 0:5	1:125	1:25

d =

u1 y1 0

Continous-time model

Таким образом, уравнения движения системы имеют вид

8 x =	0 4	0	0	1x +	0 0 1u
>	2	0:75	0:625		2
>	0	2	0		0
>
<				xA	@ A
> y = @0:5		1:125	1:125	xA	@ A
>
:

Если для дальнейшей работы нам нужны матрицы A; B; C; D коэффициентов этой системы, то извлечь данные об ss-модели можно выпол-

нив команду

[A; B; C; D] = ss data(sys)

A =

2:0000 0:7500		0:6250
4:0000	0	0
0	2:0000	0
b =
	2
	0
	0

c =

0:5000 1:1250 1:2500

d =

Отметим, что здесь мы получили координатное представление в пространстве состояний линейной стационарной непрерывной системы, отличное от представления, полученного выше. Это связано с другим выбором системы координат в пространстве состояний. Матрицы системы в этих двух представлениях подобны. Они имеют, в частности, одинаковые характеристические полиномы, в чем можно убедиться, продолжив вычисления в командном окне MATLAB следующим образом.

poly(A) ans =

1:0000 2:0000 3:0000			5:0000
Aold = [ 0 1 0; 0 0 1;	5	3	2 ]
Aold =
0	1	0
0	0	1
5	3	2

poly(Aold) ans =

1:0000 2:0000 3:0000 5:0000

Ответы и решения к занятию 4

4.1 Составим матрицу sI A:

sI A =	0 2		1 + s	2	1
	@	2 + s	1	2
	@	1	1	1 + s A

Найдем определитель этой матрицы

det(sI A) = s3 s = s(s2 1)

составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы sI A:

s2	+ 2s 1	2s s 1	1
0	1 s	s2 s 1 s	1
@	2s	2s s2 s	A

Транспонируем полученную матрицу из алгебраических дополнений и разделим на определитель:

		1		0	s2 + 2s	1	2s s 1	1
(sI	A) 1 =				1 s		s2 s 1 s
(sI	A) 1 =	s(s2	1)		1 s		s2 s 1 s
				@	2s		2s s2 s	A

В соответствии с (33) имеем

			1			s2 + 2s 1				2s		s 1			1
X(s) =						0	1 s			s2 s 1 s				10	0	1	=
		s(s2			1)
						@	2s			2s s2 s				A@	1	A
	1					s2	1		1		1		1
=						0	0	1 =		0	0	1 : 0	0	11(t)
	s(s2			1)					s
						@ s2 1		A	@		1	A @	1	A

Таким образом,

0 1

x(t) = @ 0 A äëÿ t 0 1

4.2 В соответствии с (33)

X(s) =

s + 1

2 s + 4

s + 3

s2 + 5s + 6

s 2

s + 4

= (s + 2)(s + 3)

+ 1

s + 3

		= s + 2						1						: e 2t				1 1(t):
					1					1								1
4.3 Как следует из (35),									2 s + 4								[ 1 + 1						s + 2 =
X(s) = s2 + 5s + 6									2 s + 4								[ 1 + 1						s + 2 =
	1							s + 1						1					1			1			1
	= (s + 2)(s + 3)												s + 3					(1s + 2) =
					1									s + 3					1
			= s + 2 1											+	(s + 2)2				1
						1				1						1			1
Таким образом,						x(t) = e 2t(1 + t) 1
						x(t) = e 2t(1 + t) 1
																		1
4.4 Обращая матрицу							0 2 1 + s															1;
	sI A =						0 2 1 + s												2			1;
							@				2 + s					1			2
получим							@				1					1			1 + s A
					1						0		s2 + 2s					1			2s	s 1			1
(sI	A) 1	=													1 s						s2 s 1 s
(sI	A) 1	=			s(s2				1)						1 s						s2 s 1 s
											@				2s						2s s2 s				A
Òàê êàê x0 = 0
										1						1					s2	1	2
X(s) = (sI				A) 1 0						0	1			=						0		0	1		=
X(s) = (sI				A) 1 0						0	1			=	s(s2			1)		0		0	1	s3	=
							@			1	A										@ s2 1		A
												2		0	1	1
										=		2			0
										=		s4			0
														@	1	A

Окончательно

0 1

1 x(t) = 13t3 @ 0 A

4.5 Составим матрицу sI A:

0	2	s + 2	1	1
@	s 1	1	1	A
@	1	1	s + 1	A

Найдем ее определитель det(sI A) = s(s + 1)2. Построим матрицу из алгебраических дополнений


0	s3 + 3s + 1			( 2s 2 + 1) 2 + s + 2				1
	(s + 1 1)			s2 1 + 1		(s 1 + 1)			=
@ 1 s 2			(s 1 + 2) s2 + s 2 + 2					A
	3		+ s		s2	s	1
	0 s
	@		3s + 1		2s + 1)	s
		s 1			s 1 s2 + s A

Транспонируя эту матрицу и разделив ее на определитель, найдем обратную:

		1		s2	+ 3s + 1 s		s 1
(sI	A) 1	=		0	2s + 1	s2	s 1	1
			s(s + 1)2
				@	s	s	s2 + s	A

Найдем изображение входного сигнала:

e t1(t) : s +1 1 = U(s)

Построим изображение вектора состояния по формуле

X(s) = (sI A) 1x0 + (sI A) 1BU(s) :

s2 + 3s + 1

s2 + s

X(s) = s(s + 1)2 0 s2

+ 3s + 1

+ s(s + 1)2 0 s2 + s

@ s2 + s A

= s

0 1 1

(s + 1)2 0 1 1

Переходим к оригиналу

0 1 1 + te t 0 1 1

x(t) =

s + 1

4.6Число строк передаточной функции равно числу выходов, а число столбцов - числу входов линейной стационарной системы.

4.7	В соответствии с (38)
			1		s + 1		1		0
	W (s) =		s + 1		1				1	=
	s2 + 2s + 2				0						s+1
	s2 + 2s + 2	1 s + 1			0					s2		+2s+2
	1	s + 1	1			1				s2		s+2
4.8	Ответ:							=			+21
4.8	Ответ:
		W (s) =			s + 1

					2
				s + 2s + 2
4.9	Ответ:

W (s) = s2 + 2s + 2

4.10 Ответ:

W (s) =	s2 + 2s + 2;		s2 + 2s + 2		:
		2s + 2	3

4.11 Так как u = S(t), то U(s) = 1. Изображение выходного сигнала по (39) будет совпадать с передаточной функцией: Y (s) = W (s).

Выделяя полный квадрат и обращаясь к таблицам соответствия между оригиналами и изображениями, находим для системы из задачи 4.7

		s+1
Y (s) =		(s+1)2+1
			1
				2	+1
	(s+1)

:	cos t		e t 1(t)
		sin t

Для системы задачи 4.8 импульсная характеристика равна: e t cos t1(t),

àäëÿ 4.9 - e t sin t1(t).

4.12По условию на первый вход системы поступает -функция, а на второй - нулевой сигнал. Изображение входного сигнала будет иметь вид

U(s) =	0
	1

В соответствии с (39) импульсная характеристика по первому входу имеет изображение

Y (s) =	s2 + 2s + 2;		s2 + 2s + 2		0	= (s + 1)2 + 1
		2s + 2	3		1		2(s + 1)

Переходя к оригиналу, найдем y(t) = 2e t cos t1(t). 4.13 Находим передаточную функцию системы

W (s) =	1 0 s	+ 3	1		1		1	=
		0	s + 3				0

= (s + 3)2		1 0	0	s + 3	0	= s + 3
1			s + 3	1	1	1

Изображением единичного скачка 1(t) является 1s , поэтому по (39) переходная характеристика будет иметь изображением 1

(s+3)s . Разлагаем это изображение на простейшие дроби и переходим к оригиналу.

1	=	1	1	+	1 1	:	1	(1	e 3t)1(t)

(s + 3)s		3 s + 3			3 s		3

4.14 Делим числитель и знаменатель передаточной функции на 3 с тем, чтобы коэффициент при s3 в знаменателе был равен единице:

W (s) =

20 + 9s + s2

5 + 3s + 2s2 + s3

Составляем матрицу системы (42), записывая в ее первую строку коэффициенты знаменателя передаточной функции, а последующие образуя сдвигом предыдущих строк:

5	3	2	1	C
B 3	2	1	0	C

@	2	1	0	0	A
@	1	0	0	0	A

Выписываем и решаем систему (42)

0 3		2	1	0	10 b1	10	9	1
B	5	3	2	1	d	CB	20	C
B	2 1 0			0	CB b2	CB	1	C
B	1	0	0	0	CB b3	CB	0	C
@					A@	A@		A

Система легко решается последовательно, начиная с последнего уравнения: d = 0, b1 = 1, b2 = 7, b3 = 3. Выписываем уравнение состояния и выхода

x =	0 0	0	1	1x +	0 7 1u; y( 1 0 0	)x
	0	1	0		1

@ A @ A

5 3 2 3

4.15 Знаменатель передаточной функции можем выписать сразу. Его коэффициенты противоположны по знаку коэффициентам последней строки матрицы A:

W (s) = S0 + S1s + S2s2 + S3s3

5 + 3s + 2s2 + s3

Коэффициенты числителя найдем из (42)

0 3		2	1	0 10		1 10		9	1
B	5	3	2	1	CB	0	CB	20	C
B	2 1		0 0		CB	7	CB	1	C
B	1	0	0	0	CB	3	CB	0	C
@					A@		A@		A

Таким образом

20 + 9s + s2 W (s) = 5 + 3s + 2s2 + s3

5Занятие пятое. Применение z-преобразования

для построения решения уравнений движения дискретной линейной стационарной системы

Для нахождения собственного движения дискретной линейной стационарной системы нужно решить систему разностных уравнений

x(k + 1) = Ax(k)

(43)

с начальным условием x(0) = x0.

Пусть x(k) . Тогда по второй теореме смещения оригинала

x(k + 1) z(X(z) x0)

Подвергнем уравнение (43) z-преобразованию

zX(z) zx0 = AX(z):

(44)

Перенесем столбец zx0 в правую часть равенства (44), а произведение AX(z) - в левую:

zX(z) AX(z) = zx0

(45)

Вынесем столбец X(z) вправо за скобки:

(zI A)X(z) = zx0

(46)

Умножим правую и левую части равенства (46) слева на матрицу

(zI A) 1:

			X(z) = (zI A) 1zx0:				(47)
Теперь применяя таблицу соответствий
	z			z		z
		1;			( 1)k;		k;
z 1				z + 1		(z 1)2

z(z + 1)

;

ak;

k k 1;

1)3

az sin

ak sin k ;

z( a cos )

ak cos k ;

z2 2az cos + a2

2az cos + a2

az sinh

ak sinh k ;

z( a cosh )

ak cosh k ;

z2 2az cosh + a2

2az cosh + a2

и т.п., можно найти x(k).

5.1

Решить задачу 2.2, применяя z-преобразование.

5.2

Найти решение уравнения

	4	3			1
x(k) =	5	4	x(k); x(0) =		1

с помощью z-преобразования.

5.3

Применяя z-преобразование, решить задачу 2.14.

Применяя z-преобразование к решению уравнения состояния дискретной линейной стационарной системы в общем случае

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k); x(0) = x0

(48)

найдем

zX(z) zx0 = AX(z) + BU(z);

откуда

X(z) = (zI A) 1zx0 + (zI A) 1BU(z)

(49)

Первое слагаемое в правой части (49) является изображением собственного движения, второе - изображением вынужденной составляющей.

5.4

Решить задачу 3.1, применяя z-преобразование.

5.5

Решить задачу 3.2, применяя z-преобразование.

Пусть дискретная линейная стационарная система с уравнением состояния (48) имеет уравнение выхода

y(k) = Cx(k) + Du(k)

(50)

Переход в (50) к z-изображению и подстановка в него (49) дает

Y (z) = C(zI A) 1zx0 + [C(zI A) 1B + D]U(z)	(51)
Введем обозначение
W (z) = C(zI A) 1B + D:	(52)

Матрица (52) называется передаточной функцией дискретной линейной стационарной системы. Знания этой матрицы достаточно для нахождения выходного сигнала для k 0 по известному входному при

x(0) = 0, так как (51) в этом случае принимает вид

Y (z) = W (z)U(z)

5.6

Сколько строк и столбцов имеет передаточная функция линейной стационарной дискретной системы?

5.7

Найти передаточную функцию линейной стационарной дискретной системы с уравнениями движения

	4	3			1
x(k) =	5	4	x(k) +		1	u(k);

y(k) = x(k):

5.8

Найти передаточную функцию системы с уравнениями движения

	4	3			0
x(k) =	5	4	x(k) +		1	u(k);

y(k) = 1 0 x(k):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]