Представление линейных стационарных непрерывных и дискретных систем в фазовом пространстве. Учебное пособие

5.9

Определить передаточную функцию систему с уравнениями движения

y(k) = 0 1 x(k):

Пусть линейная стационарная дискретная система с одним входом и одним входом задана своей передаточной функцией

у которой степень знаменателя совпадает с порядком системы и коэф- фициент в знаменателе при zn равен единице. Уравнение состояния и

выхода такой дискретной системы можно представить в виде

(54)

y(k) = 1 0 0 ::: 0 x(k) + du(k);

где коэффициенты d; b1; ; b2; :::; bn находятся как решение системы

Если уравнения движения линейной стационарной дискретной системы имеют вид (54), то ее передаточную функцию можно записать в виде (53), найдя коэффициенты числителя из (55).

5.10

Представить линейную стационарную дискретную систему третьего порядка уравнением состояния и выхода. Система имеет передаточную функцию вида

W (z) =

2:5 1:25z + z2

0:625 + 0:5z 1:25z2 + z3

61

5.11

Найти передаточную функцию дискретной системы с уравнением движения

y(k) = 1 0 x(k):

Рассмотрим на примере задачи 5.2 построение решения уравнения состояния в символьной форме с применением z-преобразования в ко-

мандном окне MATLAB.

Вводим матрицу системы A и вектор начального состояния x0.

A = [ 5 4; 4 3 ]

A =

5 4

4 3

x0 = [ 1; 1 ] x0 =

1

1

Декларируем символьную переменную z

syms z

В соответствии с (47) находим z-изображение вектора состояния и переходим к оригиналу, предварительно упростив z-изображение

I = eye(2)

I =

1 0

01

Xz = inv(z I A) X0 z;

simple(Xz)

ans =

[z=(z 1)]

[z=(z 1)]

xk = iztrans(Xz) xk =

[1]

62

[1]

При решении задачи 5.7 передаточная функция была найдена по формуле (52). В командном окне MATLAB эту передаточную функцию можно найти следующим образом. Вводим матрицу A системы, матрицу

B входного сигнала и матрицу C выходного сигнала.

A = [ 5 4; 4 3 ]

A =

5 4

4 3

B = [ 1; 1 ]

B =

1

1

C = eye(2)

C =

1 0

0 1

Назовем дискретную линейную стационарную систему из задачи 5.7 sys57 и сформируем ее модель с помощью функции ss(A; B; C; D; 1)

sys57 = ss(A; B; C; D; 1)

Преобразуем эту модель в подкласс tf

W = tf(sys57)

Transfer function from input to out put...

b

N2 = z 1

zb2 2z+1

Sampling time: unspeci ed

Решим с помощью MATLAB задачу 5.10. Формируем строку p коэф-

фициентов числителя передаточной функции, упорядоченных по убыванию степени, и так же упорядоченную строку q коэффициентов знаме-

нателя.

Формируем дискретный lti object в подклассе tf

W = tf(p; q; 1)

Transfer function

zb2 1:25z + 2:5

zb3 1:25zb2 + 0:5z 0:0625

Sampling time: unspeci ed Преобразуем lti object в подклассе ss

63

ss(W ) a =

b =

u1 x1 2 x2 0 x3 0

c =

d =

u1 y1 0

Таким образом, система может быть представлена уравнениями движения

Извлечь данные об этой модели можно с помощью той же команды,

что и для непрерывной системы (см. занятие 4).

Ответы и решения к занятию 5

5.1 Подвергнем уравнение собственных движений

x(k + 1) = 0:5x(k); x(0) = 1

z-преобразованию:

zX(z) z = 0:5X(z):

Из полученного уравнения найдем, что

z X(z) = z 0:5

Переход к оригиналу дает x(k) = 0:5k.

64

5.2 Построим матрицу

и найдем ее определитель

det(zI A) = z2 2z + 1 = (z 1)2

Матрица из алгебраических дополнений к zI A имеет вид

Транспонирование этой матрицы и деление ее на найденный выше определитель дает обратную к zI A матрицу

!

В соответствии с (47) имеем

найден при решении задачи (2.14)

det(zI A) = (z 1)(z 0:5)2

Вычисляем алгебраические дополнения Aij к элементам матрицы zI A:

65

66

5.5 В соответствии с (49)

Матрица (zI A) 1 вычислена при решении задачи (5.3):

5.6Число строк передаточной функции равно числу выходов, а число столбцов - числу входов линейной стационарной системы.

5.7В соответствии с (5.10)

y(k) = 1 0 0 x(k)

5.11

1

W (z) = z2 + 0:3z + 0:02

67

Содержание

Занятие первое. Уравнения состояния и выхода линейных стационарных непрерывных и дискретных систем. Собственные числа и собственные векторы.

Занятие второе. Собственные движения непрерывных и дискретных линейных стационарных систем.

Занятие третье. Общие решения уравнений состояния непрерывной и дискретной линейных стационарных систем.

Занятие четвертое. Применение преобразования Лапласа к построению решения уравнений движения непрерывной линейной стационарной системы.

Занятие пятое. Применение z-преобразования для построения решения уравнений движения дискретной линейной стационарной системы.

68