Представление линейных стационарных непрерывных и дискретных систем в фазовом пространстве. Учебное пособие
.pdf
B =
1
0
1
syms t s
F s = exp(A ( s)) B sb2
F s =
[sb2]
[0]
[sb2]
int F = int(F s; s; 0; t) int F =
[13 tb3]
[0]
[13 tb3]
x = expm(A t) int F ;
simple(x)
ans =
|
|
|
|
|
|
[ |
1 |
t 3] |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
[0]b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
[ |
t 3] |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
3.13 |
|
A = [ 2 |
|
1 |
|
2; 2 |
|
1 |
b |
2; 1 |
|
1 |
1 |
]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B = [ 1; 0; |
1 ]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
syms t s
F s = exp(A ( s)) B sin(5 s)
F s =
[sin(5 s)]
[0]
[sin(5 s)]
int F = int(F s; s; 0; t) int F =
41
[ 15 cos(5 s) + 15]
[0]
[ 15 cos(5 s) + 15]
x = expm(A t) int F ;
simple(x)
ans =
[ 15 cos(5 s) + 15]
[0]
[ 15 cos(5 s) + 15]
4Занятие четвертое. Применение преобразования Лапласа к построению решения уравнений движения непрерывной линейной стационарной системы
Для нахождения собственного движения непрерывной линейной стационарной системы нужно решить систему дифференциальных уравнений
x = Ax |
(29) |
с начальным условием x(0) = x0.
Пусть x(t)1(t) : X(s). Тогда по второй теореме о дифференцировании оригинала x(t)1(t) : sX(s) x0. Преобразуем уравнение (29) по Лапласу:
sX(s) x0 = AX(s) |
(30) |
Перенесем столбец x0 в правую часть равенства (30), а произведение AX(s) - в левую:
sX(s) AX(s) = x0 |
(31) |
Вынесем столбец X(s) вправо за скобки:
(sI A)X(s) = x0 |
(32) |
умножим правую и левую части равенства (32) слева на матрицу
(sI A) 1:
42
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(s) = (sI A) 1x0 |
(33) |
||||||||||||||
Теперь, применяя таблицу соответствий: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 : S(t); |
1 |
: 1(t); |
1 |
|
: e t1(t); |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
s + |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
: |
|
|
|
sin t1(t); |
|
|
|
|
|
: |
|
e t sin t1(t); |
||||||||
s2 + 2 |
|
(s + )2 + 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
s |
|
|
: cos t1(t); |
|
|
s + |
|
: e t |
cos t1(t); |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
s2 + 2 |
(s + )2 + 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
: |
|
|
|
tn 1 |
1 |
|
: |
|
tn 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1(t); |
|
|
|
|
e t1(t) |
|||||||||||||
|
|
|
sn |
(n 1)! |
|
(s + )n |
(n 1)! |
|||||||||||||||||
и т.п., можно найти x(t).
4.1
Решить задачу 2.7, применяя преобразование Лапласа.
4.2
Найти собственное движение, применяя преобразование Лапласа:
|
2 |
4 |
|
|
1 |
|
x = |
1 |
1 |
x; x(0) = |
|
1 |
|
Применяя преобразование Лапласа к решению уравнения состояния в общем случае
x = Ax + Bx; x(0) = x0 |
(34) |
найдем sX(s) x0 = AX(s) + BU(s), откуда
X(s) = (sI A) 1x0 + (sI A) 1Bu(s): |
(35) |
Первое слагаемое в правой части (35) является изображением собственного движения, второе - изображением вынужденной составляющей.
4.3
Применяя преобразование Лапласа, найти состояние системы для t > 0:
|
2 |
4 |
|
1 |
|
1 |
|
x = |
1 |
1 |
x + |
1 |
u; x(0) = |
1 |
; u(t) = e 2t |
43
4.4
Решить задачу 3.7, применяя преобразование Лапласа.
4.5
Найти решение уравнения состояния
x = |
0 2 |
2 1 |
1x + |
0 1 1u; |
||||||
|
@ |
1 |
1 |
1 |
A |
@ |
1 |
A |
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||
|
x(0) = |
0 |
1 |
1 |
; u(t) = e t |
|
||||
|
|
|
|
@ |
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
применяя преобразование Лапласа.
Пусть линейная стационарная система с уравнением состояния (34) имеет уравнение выхода
y = Cx + Du |
(36) |
Преобразуем уравнение выхода (36) по Лапласу и подставим в него (35):
Y (s) = C(sI A) 1x0 + [C(sI A) 1B + D]U(s) |
(37) |
Введем обозначение |
|
W (s) = C(sI A) 1B + D |
(38) |
Матрица (38) называется передаточной функцией линейной стационарной системы. Знание этой матрицы достаточно для нахождения выходного сигнала по известному входному при x0 = 0, так как (37) в этом случае принимает вид
Y (s) = W (s)U(s) |
(39) |
4.6
Сколько строк и сколько столбцов имеет передаточная функция линейной стационарной системы?
44
4.7
Найти передаточную функцию линейной стационарной системы с уравнениями состояния и выхода
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
x = |
1 |
1 |
|
x + |
1 |
u; y = x: |
4.8
Найти передаточную функцию системы с уравнениями движения
x = |
1 |
|
1 |
x + |
0 u; y = 1 0 |
x: |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.9
Найти передаточную функцию системы с уравнениями движения
x = |
1 |
|
1 |
x + |
0 u; y = 0 1 |
x: |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.10
Определить передаточную функцию системы с уравнениями движения
x = |
1 |
|
1 |
x + |
0 |
3 u; y = 1 0 |
x: |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть система имеет один вход. Назовем реакцию находящейся в нулевом состоянии линейной стационарной системы на -функцию им-
пульсной характеристикой этой системы.
4.11
Найти импульсные характеристики систем в задачах 4.7 - 4.9
4.12
Найти импульсную характеристику системы из задачи 4.10 по первому входу.
Назовем реакцию находящейся в нулевом состоянии линейной стационарной системы с одним входом на единичный скачок переходной характеристикой.
45
4.13
Найти переходную характеристику системы с уравнениями движения
|
0 3 |
|
|
0 |
|
|
|
x = |
3 1 |
|
x + |
1 |
|
u; y = 1 0 x: |
|
Пусть непрерывная линейная стационарная система с одним входом и одним выходом задана своей передаточной функцией
|
S0 + S1s + S2s2 |
+ ::: + Snsn |
|
|||
W (s) = |
|
|
|
|
; |
(40) |
0 |
+ 1s + 2s |
2 |
n |
|||
|
|
+ ::: + s |
|
|
||
у которой степень знаменателя совпадает с порядком системы и коэф- фициент в знаменателе при sn равен единице. Уравнение состояния и
выхода для такой системы можно представить в виде (задача решается
не однозначно)
0 |
0 |
0 |
1 |
::: |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
b2 |
||
x = B |
0 |
1 |
0 |
::: |
|
0 |
|
Cx + B b |
b1 |
||||
0 |
0 |
0 |
::: |
|
1 |
|
n 1 |
||||||
B |
::: |
::: |
::: |
::: |
|
::: |
|
C |
B |
|
|||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
B |
|
0 |
|
1 |
2 |
::: |
|
n |
1 |
C |
B |
bn |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
1
C
C
Cu (41)
C
A
y = 1 0 0 ::: 0 x + du;
где коэффициенты d; b1; b2; :::; bn находятся как решение системы
0 |
1 |
2 |
3 |
::: |
1 |
|
0 |
10 |
|
b1 |
1 |
|
0 |
S1 |
1 |
|
||
B |
0 |
1 |
2 |
::: |
n |
1 |
1 |
CB b |
d |
C |
|
B |
S0 |
C |
|
|||
|
1 |
1 |
0 |
::: |
0 |
|
0 |
n 1 |
= |
S |
n 1 |
(42) |
||||||
B |
|
::: |
::: |
::: |
::: |
|
::: |
CB |
|
C B |
|
C |
|
|||||
B |
::: |
|
CB |
|
::: |
C |
|
B |
|
::: |
C |
|
||||||
B |
1 |
0 |
0 |
::: |
0 |
|
0 |
CB |
bn |
C |
|
B |
Sn |
C |
|
|||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A@ |
|
|
A |
|
@ |
|
|
A |
|
Если уравнения движения линейной стационарной системы имеют вид (41), то ее передаточную функцию можно записать в виде (53), найдя коэффициенты числителя из (42).
4.14
Представить непрерывную линейную стационарную систему третьего порядка уравнением состояния и выхода. Система имеет передаточную функцию вида
W (s) =
60 + 27s + 3s2
15 + 9s + 6s2 + 3s3
46
4.15
Найти передаточную функцию системы с уравнениями движения
x = |
0 0 |
0 |
1 |
1x + |
0 7 1u |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
A |
|
@ 5 3 2 A @ 3 |
|||||
y = 1 0 0 x:
Рассмотрим на примере задачи 4.3 построение решения уравнения состояния в символьной форме с применением преобразования Лапласа в командном окне MATLAB.
Вводим матрицы системы A, входного сигнала B и начальное состояние x0
A = [ 1 1; 2 4 ]
A =
1 1
24
B = [ 1; 1 ]
B =
1
1
x0 = B x0 =
1
1
Декларируем символьные переменные t и s
syms s t
Находим изображение по Лапласу входного сигнала u(t) = e 2t
U = laplace(exp( 2 t)) u =
1=(s + 2)
В соответствии с формулой (35) находим изображение по Лапласу вектора состояния и переходим к оригиналу.
I = [ 1 0; 0 1 ];
X = inv(S I A) (X0 + B U);
xt = ilaplace(X)
xt =
[t exp( 2 t) + exp( 2 t)]
47
[t exp( 2 t) + exp( 2 t)]
Обратим внимание на некоторые особенности символьных вычислений в командном окне MATLAB. Для этого решим задачу 4.1.
Вводим матрицу системы A и вектор начального состояния x0
A = [ 2 1 2; 2 1 2; 1 1 1 ]
A =
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
x0 = [ 1; 0; 1 ] x0 =
1
0
1
Для создания единичной матрицы того же размера, что и матрица системы A воспользуемся функцией eye
I = eye(size(A))
I =
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
В соответствии с формулой (33) находим изображение по Лапласу вектора состояния
Xs = inv(s I A) x0 Xs =
[(sb2 + 2 s 1)=s=(sb2 1) 2=(sb2 1)] [0]
[1=(s + 1)=(s + 1)=(s + 1)]
Переходим к оригиналу
xt = ilaplace(Xs) xt =
[1 + exp(t) exp( t) 2 sinh(t)] [0] [1]
48
Поскольку
exp t exp( t) = 2 sinh(t);
первая компонента вектора состояния равна единице
1 + exp(t) exp( t) 2 sinh(t) = 1
Упростим выражение для вектора состояния
simple(xt) ans =
[1 exp( t) + 1= exp(t)]
[0]
[1]
В такой форме легче обнаружить, что первая компонента вектора состояния равна единице, но в данном случае пакет SYMBOLIC MATHEMATICS TOOLBOX этого не обнаружил.
При решении задачи 4.7 передаточная функция была найдена по формуле (38). В командном окне MATLAB эту передаточную функцию можно найти следующим образом. Вводим матрицу системы A и матри-
цу входного сигнала B.
A = [ 1 1; 1 1 ]
A =
1 1
1 1
B = [ 1; 0 ]
B =
1
0
Матрица C для данной системы - единичная матрица размером 2х2.
C = eye(2)
C =
1 0
0 1
Назовем линейную стационарную непрерывную систему из задачи 4.7 sys47 и сформируем ее модель с помощью функции ss(A; B; C; D),
учитывая, что D = 0 sys47 = ss(A; B; C; D)
49
Преобразуем эту модель в модель, задаваемую передаточной функцией W
W = tf(sys47)
Передаточная функция системы есть двухкомпонентный столбец. Первая компонента этого столбца связывает единственный вход системы с первым выходом, а вторая компонента - этот вход со вторым выходом. Поэтому на экран будет выведен следующий текст
Transfer function from input to output...
N1 =: s+1
sb2+2s+2
N2 =: 1
sb2+2s+2
В том же командном окне, в котором решалась задача 4.7, будем искать теперь передаточную функцию системы из задачи 4.10. Эта система имеет два входа и один выход, и ее передаточная функция - двух компонентная строка. Первая компонента этой строки связывает первых вход с выходом, а вторая компонента - второй вход с выходом.
B = [ 2 |
0; |
0 3 ] |
C = [ 1; |
0 |
] |
sys410 = ss(A; B; C; 0)W 2 = tf(sys410)
Transfer function from input to output:
2s+2
sb2+2s+2
Transfer function from input to output:
3
sb2+2s+2
Решим в командном окне MATLAB задачу 4.13. Создаем модель линейной стационарной непрерывной системы (lti-модель) в подклассе
A = [ 3 1; 0 3 ];
B = [ 1; |
0 |
]; |
C = [ 1; |
0 |
]; |
sys413 = ss(A; B; C; 0);
Преобразуем эту модель в модель подкласса tf
W = tf(sys413)
Transfer function:
1
s+3
Декларируем символьные переменные s и t
syms s t
Умножая передаточную функцию системы 1=(s + 3) на изображение единичного скачка 1(t) : 1=s, получим изображение по Лапласу пере-
ходной характеристики.
Hs = 1=(s + 3) 1=s;
Выполняя обратное преобразование Лапласа, найдем переходную характеристику
ht = ilaplace(Hs) ht =
50