Представление линейных стационарных непрерывных и дискретных систем в фазовом пространстве. Учебное пособие

2.11

Найти собственное движение

2.12

Построить собственное движение x = 10x; x(3) = 4

2.13

Построить собственное движение

x1 = x1 x2; x2 = 2x1 4x2; ; x1(0) = x2(0) = 1:

Рассмотрим построение матриц Ak è eAT при наличии у A кратных

собственных значений не выше второй кратности. Можно поступить следующим образом.

I. Найти характеристический полином матрицы A.

II. Найти собственные числа 1; 2; ::: n (для определенности будем полагать 1 6= 2 6= ::: 6= n 1, n 1 = n = ).

III. Для каждого собственного числа j(j = 1; 2; :::; n 1) найти по одному собственному вектору h(j). Если ранг матрицы A I равен n 1,

то у матрицы A имеется только n 1 линейно независимых собственных векторов и следует найти корневой вектор h, удовлетворяющий уравнению

дальнейший ход построения Ak èëè eAt такой же, как и в случае отсут-

ствия кратных корней.

IV. Составить матрицу S, столбцами которой будут векторы h(1); h(2); :::; h(n

S= fh(1); h(2); :::; h(n 1); hg

V.Найти матрицу S 1.

VI. Выписать Ak èëè eAt

21

Найдем для примера A1000, åñëè

Характеристический полином

этой матрицы имеет кратный корень 1 = 2 = 1. Ранг матрицы A I равен единице, поэтому имеется только один линейно независимый собственный вектор матрицы A, принадлежащий собственному значению

= 1. Компоненты этого вектора удовлетворяют системе

Обратная матрица имеет вид

22

В качестве второго примера найдем eAt, åñëè

Характеристический полином этой матрицы

равен единице. Следовательно, линейно независимая система собствен-

ных векторов содержит один вектор. Собственным является столбец h(1) = 1 1 . Найдем теперь вектор-столбец h из уравнения

(A I)h = h(1)

которое в развернутом виде представляется как

Вектор-столбец h = 1 0 T является его решением. Строим мат- ðèöó

Обращая матрицу S, находим

23

2.14

Найти собственное движение системы

2.15

Найти собственное движение системы

2.16

Найти собственное движение системы

Рассмотрим реализацию приведенной выше схемы вычисления матриц Ak è eAt для матрицы A, имеющей различные собственные числа, в

командном окне MATLAB на примере матрицы

A =

1 1 2 4

Вводим элементы матрицы A

A[ 1 1; 2 4 ]

A =

1 1

24

24

Обозначая через S матрицу, столбцами которой являются собственные векторы A, и через R диагональную матрицу, образованную соб-

ственными числами этой матрицы, находим эти матрицы

[S; R] = eig(A)

S =

0:7071 0:4472

0:7071 0:8944

R =

2 0

03

Описываем символьные переменные t и k.

tk

Обозначаем матрицу Rk через Rk, eAt через eAt и вычисляем

eAt = S expm(R t)inv(S) eAt =

[2 exp( 2 t) exp( 3 t); exp( 2 t) + exp( 3 t)]

[2 exp( 2 t) 2 exp( 3 t); exp( 2 t) + 2 exp( 3 t)]

Rk = [ ( 2)bk 0; 0 ( 3)bk ]

Rk =

одну команду

B = expm(A t)

Чтобы вычислить матрицу Ak, например, при k = 4, выполним ко-

манды

k = 4 subs(Ak) ans =

49 65130 146

25

2.17

Найти состояние системы из задачи 2.1 в момент k = 3

2.18

Решить задачу 2.11 с помощью MATLAB

Ответы и решения к занятию 2

2.1 Из (14) находим

Зная x(1) из (14) находим

2.2x(k) = (0:5)k.

2.3В силу диагональности матрицы A ее степень вычисляется непосредственно:

00 1

Âсоответствии с (refS:2.2) имеем

2.4 Характеристический полином и собственные числа этой системы найдены при решении задачи 1.12:

1 = 0:3; 2 = 0:5; 3 = 1

Им отвечают собственные векторы

26

и обратим ее:

Таким образом

x1(k) = 0:3k; x2(k) = 0:3k + 0:5k; x3(k) = 0:3k 0:5k

2.5Собственное движение x(t) = e 3t.

2.6В силу диагональности матрицы A системы непосредственная подстановка ее в (18) дает

В соответствии с (2.4) имеем

2.7 I. Составляем характеристический полином

II. Находим собственные числа системы: 3 = ( 1)( +1) ; 1 = 1; 2 = 1; 3 = 0.

27

III. Ищем собственный вектор, отвечающий собственному числу 1 =

1:

Ищем собственный вектор, отвечающий собственному числу 2 = 1:

Ищем собственный вектор, отвечающий собственному числу 3 = 0:

28

Проверка:

1+ e t+2

2.10Ответ: x1(t) = x2(t) = e 2t.

I. Характеристический полином 2 + 5 + 6.

II. Собственные числа 1 = 2; 2 = 3.

III. Собственные векторы

IV.

S =

1 1

1 2

V.

29