Апория о линии и поверхности

Если линия — это длина без ширины и одновременно граница поверхности, возникают противоречия:

При соединении двух поверхностей:

•Если их линии сливаются в одну, то и поверхности, и тела тоже должны слиться в одно — но это невозможно для многих тел.

•Если линии идут рядом, то их объединение должно быть шире одной линии → значит, каждая линия имеет ширину → противоречит определению линии как «длины без ширины».

Движение стороны четырёхугольника

•Если боковая сторона четырёхугольника — «длина без ширины», она не может отмерить плоскость в виде параллелограмма.

•Чтобы «отмерить ширину», объект сам должен обладать шириной.

•Следовательно, либо геометрическая теорема неверна, либо

не существует длины без ширины.

Вывод: Представление о линии как о «длине без ширины» приводит к логическим противоречиям. Поэтому либо нужно пересмотреть базовые принципы геометрии, либо признать, что линия имеет ширину

Линия, поверхность, тело

1.Апория о цилиндре и прямой линии

Если цилиндр катится и касается плоскости по прямой линии, то:

•плоскость и поверхность цилиндра состоят из прямых;

•раз плоскость и поверхность имеют ширину, то и образующие их прямые тоже должны иметь ширину;

следовательно, не существует «длины без ширины» — а значит, и линии в классическом понимании.

2. Апория о границах тел

Если поверхность — граница тела, возникает противоречие при соприкосновении двух тел:

•если границы касаются границ, то сами тела не соприкасаются (абсурд);

•если тела касаются тел, то границы не соприкасаются — значит, тела оказываются вне своих границ (нелепость);

•если и то, и другое одновременно, противоречия объединяются.

•если границы — тела, то они должны иметь глубину и порождают бесконечную цепочку границ.

•если границы бестелесны, они не могут соприкасаться — значит, и тела не могут соприкасаться.

Апория о теле и его измерениях

Тело определяется как объект с тремя измерениями (длина, ширина, глубина). Но:

Невозможно отделить тело от его измерений: где нет длины/ширины/глубины, нет и тела.

Если тело — это сочетание измерений, то:

•если измерения бестелесны, их объединение тоже будет бестелесным — не получится твёрдого тела;

•если каждое измерение уже содержит телесность, то оно само — тело, что приводит к абсурду: длина должна иметь ширину и глубину, ширина — длину и глубину и т. д.

Если тело возникает только после объединения измерений:

•либо измерения сохраняют свою природу (остаются бестелесными) — тогда не образуется тело;

•либо они «превращаются» в тело — но тогда они уже были телом до объединения.

Вывод: базовые понятия геометрии (линия, поверхность, тело) оказываются логически противоречивыми и не могут существовать в строгом смысле.

Прямая

1. Крах основ геометрии

Если не существует линии как родового понятия, то:

•не существует никакой линии (прямой, ломаной и т. д.)

•рушатся все геометрические положения — они доказываются через линии

2. Проблема определения прямой линии

Геометры определяют прямую как «линию, одинаково расположенную всеми своими частями». Но слово «одинаково» имеет два смысла:

• одинаковая величина — бессмысленно применительно к частям прямой;

•равномерное расположение — ведёт к кругу в доказательстве: чтобы понять, что части расположены «по прямой», нужно уже иметь понятие о прямой.

3.Нелепость альтернативных определений

Другие определения прямой тоже противоречивы:

•«Прямая — та, что одинаково обращается в своих пределах»: не работает в пустоте (где нет движения).

•«Прямая касается всеми частями плоскости»: создаёт взаимозависимость с понятием плоскости:

плоскость определяют через прямую, прямую — через плоскость.

Операции с прямой

1. Проблема деления линии

•Линия на доске имеет ширину, а геометрическая прямая — «длина без ширины». Их нельзя отождествить, значит, и делить «геометрическую» линию по образцу доски нельзя.

•Мыслимая линия (например, из 9 точек) тоже не поддаётся делению пополам:

•если делящее проходит между точками — части неравны;

•если делящее попадает в точку — точка делится пополам, что противоречит её определению

2. Проблема деления круга

При делении круга пополам возникает аналогичная апория:

центр круга — это точка;

•если отнести центр к одной из половин — деление уже не будет равным;

•если разделить центр пополам — это противоречит её природе

3. Природа «делящего»

«Делящее» (граница, линия, точка) не может быть:

•телом — тело не может делить бестелесное и лишённое частей;

•бестелесным:

•если это точка — она не имеет частей и не может делить;

•если это линия — её границы лишены частей, значит, она тоже не производит деления. Кроме того, граница, производящая деление:

•не может оказаться внутри точки (точка неделима);

•не может находиться между точками (непрерывное нельзя разделить без раздвижения).

4. Проблема «отнятия» от прямой

Даже если допустить деление чувственной прямой, возникают новые трудности:

•отнятие может быть от всей прямой или от части;

•отнимаемое может быть равным от

равного или неравным от неравного; но ни один из этих вариантов, как показано ранее, не осуществим без противоречий.

Вывод: базовые операции геометрии (деление, отнятие) противоречивы — и не могут быть строго осуществлены без нарушения исходных определений (точки, линии).

1. Значение числа

Пифагорейцы считали, что природа целого строится на числах, и провозглашали: «Числу же всё подобно». Высшей святыней для них была четверица (число 10) — сумма первых четырёх чисел (1+2+3+4=10). Оно считалось совершенным: достигая его, счёт возвращается к единице.

2. Символика чисел

Каждое из первых четырёх чисел несёт особый смысл:

•1 (монада) — принцип, образующий все числа; соответствует точке;

•2 (двоица) — символизирует длину (движение от одного места к другому, аналог линии);

•3 (троица) — добавляет ширину, создаёт понятие поверхности (движение в двух направлениях);

•4 — прибавление четвёртой единицы даёт глубину, то есть тело (пирамиду с ДШГ).

•Таким образом, число 4 охватывает смысл тела и души: как гармония управляет миром, так она одушевляет живое существо.

3. Числа и музыкальная гармония

Совершенная гармония строится на трёх созвучиях:

•кварта — отношение 4:3;

•квинта — полуторное отношение 3:2;

•октава — двойное отношение 2:1:

Эти пропорции соотносятся с числами 1–4:

Критика пифагорейского учения о единице

1. Идея единого (единственного?) у Платона: Это то, без чего ничто не называется единым; то, по причастности к чему каждая вещь называется единой и многим.

При этом:

•конкретные вещи (растение, животное, камень) называются едиными, но не являются единым в собственном смысле;

•единое не сводится ни к одной из исчисляемых вещей: если бы оно было, например, растением, то всё не растительное не могло бы называться единым — но это не так.

2. Апория причастности к единому

•Если вещь едина по причастности к единому, то то, что не есть эта вещь, не должно называться единым — но оно им называется. Значит, не существует такой «единицы», по причастности к которой всё именуется единым.

•То, чему причастно многое, само является многим, а не единым

— следовательно, исчисляемое не становится единым через причастность к единому.

3. Проблема идеи единого

•Единственная идея единого:

•тогда она не может содержать в себе многое;

•она неделима и лишена частей — значит, вещи не могут участвовать в её частях.

•Множество идей единого:

•если каждая вещь причастна к какой то идее единого, возникает исходная апория: как, например, «два» может быть причастно одной общей идее единого?

•если вещи не причастны идее, то единство существует вне причастности к идее — чего сторонники концепции не допускают.

4. Аналогия с идеей человека

Платон проводит параллель:

•«человек» как родовая идея не есть ни Сократ, ни Платон;

•она не существует ни сама по себе, ни вместе с конкретными людьми в виде отдельного объекта;

•аналогично и единое: если оно не мыслится ни с исчисляемыми предметами, ни само по себе — оно

недоступно мысли.