2.2.2. Расчёт комплексных токов в ветвях методом контурных токов

Для расчёта комплексных токов в ветвях методом контурных токов необходимо выбрать направления обхода контуров и направления токов в узле (в рамках задачи в узле 1). Исследуемая цепь с дополнительными данными, необходимыми для расчёта методом контурных токов, представлена ниже (рисунок 23).

Рисунок 23. Исследуемая цепь с выбранными направлениями контурных токов и токов в узле.

Следующим шагом необходимо рассчитать количество независимых контурных токов в системе (k). Расчёт производится по следующей формуле:

(75)

В рамках задачи , , . Таким образом, для исследуемой цепи число контурных токов равно двум.

Далее необходимо составить систему следующего вида:

(76)

где – общее сопротивление первого контура;

– первый контурный ток;

– сопротивление, общее для первого и второго контуров;

– второй контурный ток;

– алгебраическая сумма ЭДС первого контура;

– сопротивление, общее для второго и первого контуров;

– общее сопротивление второго контура;

– алгебраическая сумма ЭДС второго контура.

Знаки значений общих сопротивлений выбираются следующим образом: если контурные токи в ветвях совпадают, то значение сопротивления берётся с знаком плюс, иначе – со знаком минус. В рамках задачи вышеуказанные величины равны:

, , , , , .

Тогда общая система уравнений имеет вид:

(77)

Систему необходимо решить любым удобным способом. Решение системы – контурные токи в контурах.

Исходные комплексные токи в ветвях высчитываются по следующему правилу:

(78)

Где – комплексный ток i-ой ветви;

– сумма контурных токов для данной ветви.

Если комплексный ток в ветви совпадает по направлению с контурным, то контурный ток берётся со знаком плюс, иначе – со знаком минус.

Тогда исходные комплексные токи равны:

(79)

Таким образом, комплексные токи в цепи равны: I₁ = 5,437‑1,694j А, I₂ = 5,307‑2,537j А, I₃ = ‑0,166‑0,843j А.

2.2.3 Расчёт комплексных токов в ветвях методом узловых потенциалов

Для расчёта комплексных токов в ветвях методом узловых потенциалов сперва необходимо приравнять потенциал последнего узла к нулю. В рамках задачи потенциал V₂ второго узла равен нулю (V₂ = 0 В). Схема, используемая при расчёте, представлена на рисунке 24.

Рисунок 24. Исследуемая цепь с потенциалом V₂ = 0 В.

Далее необходимо рассчитать количество уравнений (N). Оно рассчитывается по следующей формуле:

(80)

где – количество ветвей, где содержатся только идеальные источники ЭДС.

В рамках задачи: , , тогда количество уравнений равно одному.

Необходимо составить систему с рассчитанным количеством уравнений, по следующему правилу:

(81)

где – сумма проводимостей ветвей, присоединённых к первому узлу;

– сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к первому узлу, на их проводимость. Если ЭДС направлена к узлу, то она положительна, иначе – отрицательна.

В рамках задачи вышеуказанные величины рассчитываются следующим образом:

	(82)
	(83)
	(84)

Далее необходимо вычислить истинные значения токов с помощью обобщённого закона Ома:

(85)

где – алгебраическая сумма ЭДС в ветви (знак ЭДС определяется аналогично формуле (81));

– общее сопротивление ветви.

Тогда значения комплексных токов I_1‑3 вычисляются по следующим формулам:

	(86)
	(87)
	(88)

Таким образом, комплексные токи в цепи равны: I₁ = 5,437‑1,694j А, I₂ = 5,307‑2,537j А, I₃ = ‑0,166‑0,843j А.