2.1.9 Расчётный лист
2.2 Расчёт комплексных токов в ветвях цепи синусоидального тока
Необходимо рассчитать разными методами комплексные токи во всех ветвях (IR1 = IL1 = I1; IR2 = IL2 = I2; IR3 = IC1 = I3) исходной разветвлённой цепи синусоидального тока (рисунок 19). Расчёты производились с помощью программы Mathcad Prime 8, расчётный лист представлен в конце раздела 2.2 (пункт 2.2.9).
Рисунок 19. Схема исходной разветвлённой цепи синусоидального тока.
Исходная цепь состоит из трёх резисторов
(R1, R2,
R3) с сопротивлениями
R1 = 6
Ом, R2 = 10
Ом, R3 = 10 Ом;
двух синусоидальных источников ЭДС
(V1(E1)),
V2(E2))
с частотой f = 50 Гц
и ЭДС E1 = 100 В,
E2 = 
В;
двух катушек индуктивности (L1,
L2) с индуктивностью
L1 = 10 мГн,
L2 = 11 мГн;
конденсатора C1
ёмкостью C1 = 225 мкФ.
Расчёт вышеописанных величин производился
по следующим формулам:
|
(59) |
|
(60) |
|
(61) |
|
(62) |
|
(63) |
|
(64) |
где N – номер варианта (вариант равен 5 в рамках задач);
j – мнимая единица.
Для упрощения расчётов исходную цепь можно «свернуть», заменив в каждой ветви элементы (кроме источников ЭДС) их общим комплексным сопротивлением. «Свёрнутая» цепь представлена ниже на рисунке 20.
Рисунок 20. Схема упрощённой исходной цепи.
Тогда исследуемая цепь будет состоять из: двух синусоидальных источников ЭДС (V1(E1)), V2(E2)) и трёх резисторов (Z1, Z2, Z3) с комплексными сопротивлениями Z1 = 6+3,142j Ом, Z2 = 10+3,456j Ом, Z3 = 10-14,147j Ом.
Расчёт комплексных сопротивлений производился по следующим формулам:
|
(65) |
|
(66) |
|
(67) |
Таким образом, для нахождения токов в ветвях исходной цепи достаточно найти комплексные токи IZ1 = I1, IZ2 = I2, IZ3 = I3 в ветвях «свёрнутой» цепи.
2.2.1 Расчёт комплексных токов в ветвях методом уравнений кирхгофа
Для расчёта комплексных токов в ветвях методом уравнений Кирхгофа необходимо выбрать направления обхода контуров и направления токов в узле (в нашем случае в узле 1). Исследуемая цепь с дополнительными данными, необходимыми для расчёта методом уравнений Кирхгофа, представлена ниже (рисунок 21).
Рисунок 21. Исследуемая цепь с выбранными направлениями обхода контуров и токов в узле.
Следующим шагом необходимо рассчитать количество уравнений в системе, исходя из двух законов Кирхгофа.
Для первого закона Кирхгофа количество уравнений (y) рассчитывается по следующей формуле:
|
(68) |
где Nу – число узлов в цепи (для исследуемой цепи число узлов равно двум).
Таким образом, для исследуемой цепи число уравнений для первого закона Кирхгофа равно одному.
Для второго закона Кирхгофа количество уравнений (k) рассчитывается по следующей формуле:
|
(69) |
где NВ – число ветвей (для исследуемой цепи число ветвей равно трём);
NТ – число источников тока (для исследуемой цепи число источников тока равно нулю).
Таким образом, для исследуемой цепи число уравнений для второго закона Кирхгофа равно двум.
После расчёта количества уравнений, необходимо составить уравнения для обоих законов Кирхгофа.
Для первого закона Кирхгофа уравнения составляются по следующему правилу: все токи, выходящие из узла, имеют один и тот же знак; все токи, входящие в узел, имеют один и тот же противоположный знак, а сумма токов равна нулю. Тогда уравнение для исследуемой цепи будет иметь вид:
|
(70) |
Для второго закона Кирхгофа уравнения составляются по следующему правилу: алгебраическая сумма падений напряжений должна быть равна алгебраической сумме ЭДС:
|
(71) |
где m – число сопротивлений в ветви;
– падение напряжения в k-ой
ветви,
n – число источников ЭДС в ветви;
– сумма ЭДС в k-ой ветви.
Тогда уравнения для исследуемой цепи будут иметь вид:
для первого контура:
|
(72) |
для второго контура:
|
(73) |
Общая система уравнений имеет вид:
|
(74) |
Систему необходимо решить любым удобным способом. Решение системы – токи в ветвях.
Таким образом, комплексные токи в цепи равны: I1 = 5,437‑1,694j А, I2 = 5,307‑2,537j А, I3 = ‑0,166‑0,843j А.
Также необходимо построить векторную диаграмму токов. Векторная диаграмма построена для «свёрнутой» цепи для комплексных токов IZ1 = I1, IZ2 = I2, IZ3 = I3 и соответствующих комплексных напряжений UZ1 = U1, UZ2 = U2, UZ3 = U3.
Векторная диаграмма представлена ниже
на рисунке 22.
Рисунок 22. Векторная диаграмма для «свёрнутой» цепи.
Условные обозначения:
REI1 – действительная часть комплексного тока I1;
REI2 – действительная часть комплексного тока I2;
REI3 – действительная часть комплексного тока I3;
REU1 – действительная часть комплексного напряжения U1;
REU2 – действительная часть комплексного напряжения U2;
REU3 – действительная часть комплексного напряжения U3;
IMI1 – мнимая часть комплексного тока I1;
IMI2 – мнимая часть комплексного тока I2;
IMI3 – мнимая часть комплексного тока I3;
IMU1 – мнимая часть комплексного напряжения U1;
IMU2 – мнимая часть комплексного напряжения U2;
IMU3 – мнимая часть комплексного напряжения U3;
На ней комплексные токи и комплексные напряжения на одном и том же резисторе показаны одним цветом.