4.5. Применение методов исследования операций при разработке ур

Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены. Следовательно, цель исследования операций – количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

При решении конкретной задачи управления применение методов исследования операций (ИСО) предполагает:

• построение экономических и математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

• изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.

Примерами задач исследования операций, отражающих его специфику, могут служить следующие.

Задача 1. Для обеспечения высокого качества выпускаемых изделий на заводе организуется система выборочного контроля. Требуется выбрать такие формы его организации – например, назначить размеры контрольных партий, указать последовательность контрольных операций, определить правила отбраковки, – чтобы обеспечить необходимое качество при минимальных расходах.

Задача 2. Для реализации определенной партии сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать параметры сети – число точек, их размещение, количество персонала так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

Задача 3. К заданному сроку необходимо провести массовое медицинское обследование группы населения с целью выявления определенных заболеваний. На обследование выделены материальные средства, оборудование, персонал. Требуется разработать такой план обследования – установить число медпунктов, их размещение, вид и количество анализов, – чтобы выявить как можно больший процент из числа заболевших.

К методам ИСО относят задачи об использовании ресурсов (планировании производства), о смесях, об использовании мощностей (загрузке оборудования), о раскрое материалов, транспортную задачу и др., в которых требуется найти решение, когда некоторый критерий эффективности (например, прибыль, выручка, затраты ресурсов и т.п.) принимает максимальное или минимальное значение.

Приведенные задачи относятся к разным областям практики, но в них есть общие черты: в каждом случае речь идет о каком-то управляемом мероприятии (операции), преследующем определенную цель. В задаче 1 это организация выборочного контроля с целью обеспечить качество выпускаемой продукции; в задаче 2 – организация временных точек с целью проведения сезонной распродажи; в задаче 3 – массовое медицинское обследование с целью определения процента заболевших. В каждой задаче заданы некоторые условия проведения этого мероприятия, в рамках которых следует принять решение – такое, чтобы мероприятие принесло определенную выгоду. Условиями проведения операции в каждой задаче оказываются средства, которыми мы располагаем: работники, время, оборудование, технологии. Решение в задаче 1 заключается в выборе формы контроля – размера контрольных партий, правил отбраковки; в задаче 2 – в выборе числа точек размещения, количества персонала; в задаче 3 – в выборе числа медпунктов, вида и количества анализов.

Основные понятия и определения исследования операций сводятся к следующим:

1. Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа ее проведения, организации, иначе – от выбора некоторых параметров.

2. Всякий определенный выбор параметров называется решением. Оптимальными, рациональными считаются те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

3. Само принятие решений выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица (ЛПР) или группы лиц, которые могут учитывать и другие соображения, отличные от математически обоснованных.

4. Если в одних задачах исследования операций оптимальным является решение, при котором некоторый критерий эффективности принимает максимальное или минимальное значение, то в других задачах это не обязательно. Так, в задаче 2 рациональным можно считать такое количество торговых точек и персонала в них, при котором среднее время обслуживания покупателей не превысит, например, 5 мин, а длина очереди в среднем в любой момент окажется не более 3 человек.

5. Модель операции. Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции. При построении модели операция, как правило, упрощается, схематизируется и схема операции описывается с помощью того или иного математического аппарата. Модель операции – это достаточно точное описание операции с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.). Составление модели операции требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата.

6. Эффективность операции – степень ее приспособленности к выполнению задачи – количественно выражается в виде критерия эффективности – целевой функции. Например, в задаче об использовании ресурсов критерий эффективности – прибыль от реализации произведенной продукции, которую нужно максимизировать, в транспортной задаче – суммарные затраты на перевозку грузов от поставщиков к потребителям, которые нужно минимизировать. Выбор критерия эффективности определяет практическую ценность исследования. (Неправильно выбранный критерий может принести вред, ибо операции, организованные под углом зрения такого критерия эффективности, приводят порой к неоправданным затратам. Достаточно вспомнить пресловутый «вал» в качестве основного критерия хозяйственной деятельности предприятия.)

Общая постановка задачи исследования операции. В дальнейшем важно усвоить методологию построения моделей задач исследования операций. Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:

1. постоянные факторы (условия проведения операции), на которые мы влиять не можем. Обозначим их через а₁, а₂, …;

2. зависимые факторы (элементы решения) х₁, х₂, …, которые в известных пределах мы можем выбирать по своему усмотрению.

Например, в задаче об использовании ресурсов к постоянным факторам следует отнести запасы ресурсов каждого вида, производственную матрицу, элементы которой определяют расход сырья каждого вида на единицу выпускаемой продукции каждого вида. Элементы решения – план выпуска продукции каждого вида.

Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэтому целевую функцию Z можно записать в виде

Z = f (x₁, x₂, …,a₁,a₂,…).

Все модели исследования операций могут быть классифицированы в зависимости от природы и свойств операции, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов.

Следует отметить прежде всего большой класс оптимизационных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизировать планирование и управление сложными системами, в первую очередь экономическими системами. Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде: найти переменные x₁, x₂,…,x_n, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

, ;

, ;

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

.

Как известно, упорядоченная совокупность значений n переменных x₁, x₂, …, x_n представляется точкой n-мерного пространства. Эту точку обозначим X = (x₁, x₂, …, x_n), а само оптимальное решение X^* = (x₁^*, x₂^*,…,x_n^*).

Рассмотрим еще одну, характерную для исследования операции, задачу – классическую задачу потребления, имеющую важное значение в экономическом анализе.

Пусть имеется n видов товаров и услуг, количества которых (в натуральных единицах) x₁, x₂, …, x_n по ценам соответственно p₁, p₂, …, p_n за единицу. Суммарная стоимость этих товаров и услуг составляет .

Уровень потребления Z может быть выражен некоторой функцией Z = f(x₁, x₂, …, x_n), называемой функцией полезности. Необходимо найти такой набор товаров и услуг x₁, x₂, …, x_n при данной величине доходов I, чтобы обеспечить максимальный уровень потребления, т.е.

Z = f(x₁, x₂, …, x_n) max,

при условиях

;

.

Решения этой задачи, зависящие от цен p₁, p₂, …, p_n и величины дохода I, называются функциями спроса.

Очевидно, что рассмотренная задача потребления, так же как и многие другие, является частным случаем сформулированной выше общей задачи на определение экстремума функции n переменных при некоторых ограничениях, т.е. задачей на условный экстремум.

В зависимости от вида целевой функции и функций ограничений (линейные, нелинейные, динамические, стохастические, дискретные) методы нахождения решений таких задач носят названия методов линейного, нелинейного, динамического, стохастического, дискретного программирования.

Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но, с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Задачи распределения ресурсов возникают при определенном наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций.

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным.

Задачи составления расписания (календарного планирования) состоят в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.

Задачи планировки и размещения состоят в определении оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов.

Среди моделей исследования операций особо выделяются модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях, изучаемые теорией игр.

К конфликтным ситуациям, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные цели, можно отнести ряд ситуаций в области экономики, права, отношений регионального уровня управления и местного самоуправления и др. В задачах теории игр необходимо выработать рекомендации по разумному поведению участников конфликта, определить их оптимальные стратегии.

На практике в большинстве случаев успех операции оценивается не по одному, а по нескольким критериям одной либо разных направленностей (на max и min). Такие задачи получили название многокритериальных задач исследования операций.

Для того чтобы из множества критериев, в том числе и противоречащих друг другу (например, прибыль и расход), выбрать целевую функцию, необходимо установить приоритет критериев. Обозначим критерии f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) (здесь x – условный аргумент). Пусть они расположены в порядке убывания приоритетов. В зависимости от определенных условий возможны в основном два варианта:

• в качестве целевой функции выбирается критерий f₁(x), обладающий наиболее преобладающим приоритетом;

• рассматривается комбинация

,

где – некоторые коэффициенты (веса).

Величина f(x), учитывающая в определенной степени все критерии, выбирается в качестве целевой функции.

В условиях определенности – числа, f_i(x) – функции. В условиях неопределенности f_i(x) могут оказаться случайными и вместо f(x) в качестве целевой функции следует рассматривать математическое ожидание суммы частных критериев.

Попытка сведения многокритериальной задачи к задаче с одним критерием эффективности (целевой функцией) в большинстве случаев не дает удовлетворительных результатов. Другой подход состоит в отбрасывании («выбраковке») из множества допустимых решений заведомо неудачных решений, уступающих другим по всем критериям. В результате такой процедуры остаются так называемые эффективные (или «паретовские») решения, множество которых обычно существенно меньше исходного. А окончательный выбор «компромиссного» решения (не оптимального по всем критериям, которого, как правило, не существует, а приемлемого по этим критериям) остается за человеком – лицом, принимающим решение [85, с. 10 – 16].

Математическое моделирование в исследовании операций является практически не поддающимся научной формализации процессом. Поэтому полезно знакомство с техникой математического моделирования на конкретных примерах.

Пример 1. Управление портфелем активов. Рассмотрим проблему принятия инвестором решения о вложении имеющегося у него капитала. Набор характеристик потенциальных объектов инвестирования, имеющих условные имена от А до F, приведен в табл. 6.

Таблица 6

Характеристики потенциальных объектов инвестирования

Название	Доходность, %	Срок выкупа, год	Надежность, баллы
А	5,5	2003	5
В	6,0	2005	4
C	8,0	2010	2
D	7,5	2004	3
E	5,5	2003	5
F	7,0	2003	4

Предположим, что при принятии решения о приобретении активов должны быть соблюдены условия:

а) суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет 100 000$;

б) доля средств, вложенная в один объект, не может превышать четверти от всего объема;

в) более половины всех средств должны быть вложены в долгосрочные активы (допустим, на рассматриваемый момент к таковым относятся активы со сроком погашения после 2004 г.);

г) доля активов, имеющих надежность менее 4 баллов, не может превышать трети от суммарного объема.

Приступим к составлению экономико-математической модели для данной ситуации. Целесообразно начать процесс с определения структуры управляемых переменных. В рассматриваемом примере в качестве таких переменных выступают объемы средств, вложенные в активы той или иной фирмы. Обозначим их как x_A, x_B, x_C, x_D, x_E, x_F. Тогда годовая прибыль от размещенных активов, которую получит инвестор, может быть представлена в виде

P = 0,055x_A + 0,06x_B + 0,08x_C + 0,075x_D + 0,055x_E + 0,07x_F.

На следующем этапе моделирования мы должны формально описать перечисленные выше ограничения a-r на структуру портфеля.

а) ограничение на суммарный объем активов:

x_A + x_B + x_C + x_D + x_E + x_F 100 000;

б) ограничение на размер доли каждого актива:

x_A 25 000, x_B 25 000; x_C 25 000;

x_D 25 000, x_E 25 000; x_F 25 000;

в) ограничение, связанное с необходимостью вкладывать половину средств в долгосрочные активы:

x_B + x_C 50 000;

г) ограничение на долю ненадежных активов:

x_C + x_D 30 000.

Система ограничений в соответствии с экономическим смыслом задачи должна быть дополнена условиями неотрицательности для искомых переменных:

x_A 0; x_B 0; x_C 0; x_D 0; x_E 0; x_F 0.

Таким образом, сформулирована математическая модель выбора решения инвестором. В рамках этой модели может быть поставлена задача поиска таких значений переменных x_A, x_B, x_C, x_D, x_E, x_F, при которых достигается наибольшее значение прибыли и одновременно выполняются ограничения на структуру портфеля активов [84, с. 8 – 10].

Пример 2. Определить оптимальный план выпуска изделий, при котором предприятие будет иметь наибольшую прибыль. Исходные данные приведены в табл. 7. Формулируем экономико-математическую модель задачи. Она будет иметь следующий вид:

обеспечить

при условиях

Модель по своему виду относится к стандартной задаче линейного программирования. Такие задачи решаются симплекс-методом. Преобразуем ее с заменой неравенств в условиях на уравнения:

.

Переменные Х₄…Х₇ – дополнительные. Экономический смысл дополнительных переменных состоит в том, что они обозначают количество неиспользуемого ресурса, когда объем ресурсов ограничен сверху, или количество недостающего ресурса, когда объем задан по нижнему пределу.

После введения дополнительных переменных модель подготовлена к решению симплекс-методом. На первом шаге в симплексной таблице все основные переменные приравниваются к нулю. Это означает, что производство не начато, ресурсы пока не используются, а дополнительные переменные равны своему предельному значению.

На следующем шаге вводим производство изделия, соответствующего одной из основных переменных. В принципе можно вводить в базис любую переменную, но целесообразнее начать с той, которая входит в целевую функцию с наибольшим показателем эффективности. То же повторяется в следующих итерация, пока не будет получено оптимальное решение.

Таблица 7

Исходные данные для оптимального планирования производства

Виды ресурсов	Нормы затрат на единицу изделия			Объем ресурсов	Дополнительный выпуск 4-го изд.
	1-е изд.	2-е изд.	3-е изд.
Сталь, кг	5	7	4	24	6
Пластмасса, кг	10	5	20	80	4
Оборудование механического цеха (станко-ч.)	5	2	1	10	3
Оборудование гальванического цеха (станко-ч.)	2	1	1	6	2
Прибыль на единицу изделий, руб.	18	12	8		14
Объем выпуска	Х1	Х2	Х3		Х4

В предельной интерпретации в столбцах дополнительных переменных в (m + 1)-й строке получаем экономико-математические оценки соответствующих ограничивающих факторов, то есть решение двойственной задачи.

Запишем двойственную задачу:

обеспечить

при условиях

Формулировка прямой задачи: определить объем выпуска изделий j-го вида, чтобы получить максимальную прибыль.

Формулировка двойственной задачи: определить, какую надбавку y_i к стоимости единицы каждого из ресурсов можно назначить, чтобы при заданных объемах ресурсов A_i величинах P_j прибыли за единицу изделий и нормативах a_ij расходов ресурсов на изготовление продукции получить минимум общей суммы надбавки к стоимости ресурсов.

В (m + 1)-й строке последней итерации решения прямой задачи по симплекс-методу получаем следующие значения оценок ресурсов:

y₁ = 0,842 руб./кг;

y₂ = 0;

y₃ = 1,5 руб./станко/ч;

y₄ = 3,166 руб./ станко/ч.

Решение двойственной задачи y_i вектор разрешающих множителей дает оценки ограничивающих производственных факторов.

Оценки ограниченных ресурсов характеризуют возможные улучшения целевой функции при увеличении ресурсов на единицу. Чем больше по абсолютной величине значение оценки ресурса, тем более эффективно его использование, тем больший эффект даст его экономия. В данном примере оценка y₄ = 3,166 руб./ станко/ч максимальна, что означает наибольшую дефицитность четвертого вида ресурса оборудования гальванического цеха. При увеличении мощности на 1 станко/ч получим дополнительную прибыль в 3,166 руб. По величине оценки можно сделать вывод о том, что гальванический цех – узкое место производства. При уменьшении ограниченного ресурса на единицу значение целевой функции ухудшается на величину оценки данного ресурса. В этом примере уменьшение объема стали (первого ресурса) на 1 кг даст снижение прибыли на 0,842 руб.

Ресурс, имеющий нулевую оценку, находится в избытке (y₂ = 0, следовательно, второй вид ресурса, т.е. пластмасса, находится в избытке). Изменение этого ресурса не окажет влияния на целевую функцию.

По уравнению оценок двойственной задачи делается вывод о целесообразности включения переменных в оптимальный план. Для переменных, входящих в оптимальный план, справедливо равенство

.

Для переменных, которые целесообразно включать в оптимальный план, .

Обратимся к примеру, рассмотренному выше. Допустим, что министерство намечает включить в программу завода выпуск изделий четвертого вида. Указываем нормативы a_i4 и прибыль Р₄ в дополнительной графе таблицы исходных данных. Требуется определить, целесообразно ли изменение программы при тех же объемах лимитов на ресурсы. Это можно сделать без повторного решения задачи путем составления и анализа уравнения оценок для четвертого изделия:

.

Следовательно, затраты в оценках больше, чем получаемая прибыль, и включать четвертое изделие в план невыгодно.

Разработанные пакеты прикладных программ по оптимизационным методам, в том числе для ПЭВМ, позволяют не только отыскивать оптимальное решение задачи, но и проводить анализ условий производства [33, c. 42 – 44].

Методы математического программирования в совокупности с программными модулями могут найти (и находят на передовых предприятиях) обширную сферу применения в составе внедряемых автоматизированных систем управления. О возможных областях их применения свидетельствует табл. 8 [82, с. 27].

Более подробный анализ полезности применения методов исследования операций приводит Р. Шеннон [86, с. 25 – 26] (табл. 9, 10).

Таким образом, представленные примеры возможностей методов ИСО с имеющимся математическим и программным аппаратом реализации подтверждают целесообразность их более широкого применения на практике. Причины неприятия методов ИСО практиками, на наш взгляд, можно разделить на два вида: объективного характера, обусловленные дефицитом времени на разработку решения, большой трудоемкостью построения моделей, адекватно отражающих специфику функционирования социально-экономической системы (по оценкам Д. Форрестера, на разработку математической модели предприятия требуется 5 – 6 человеко-лет трудозатрат), и соответственно большой стоимостью таких разработок; субъективного характера, обусловленные недостаточной компетентностью специалистов в области построения моделей – инженеров-системотехников в знании предметной области, а также наличием факторов неопределенности и непредсказуемости воздействий внешней среды и человеческого фактора.

Интенсивно ведутся разработки математических моделей и прикладного программного обеспечения в сфере разработки решений по логистическому менеджменту. Разработаны типовые программные комплексы, в том числе на базе геоинформационных систем, позволяющие находить оптимальные и рациональные решения по товародвижению, загрузке транспортных средств и складских помещений.

Таблица 8