§ 1. Этапы построения исчисления высказываний. Понятие формулы исчисления высказываний

Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавита), формул, являющихся конечными конфигурациями символов, и определение выводимых формул.

Алфавит исчисления высказываний состоит из символов трех категорий:

1. Символы первой категории: х, у, z, ... x₁, х₂, ... . Эти символы будем называть переменными высказываниями.

2. Символы второй категории: v, &, , – . Они носят общее название логических связок. Первый из них – знак дизъюнкции или логического сложения, второй – знак конъюнкции или логического умножения, третий – знак импликации или логического следования и четвертый – знак отрицания.

3. Третью категорию составляет пара символов ( ), называемая скобками.

Других символов исчисление высказывания не имеет. Формулы исчисления высказываний представляют собой последовательности символов алфавита исчисления высказываний. Для обозначения формул будем пользо­ваться большими буквами латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления. Они представляют собой только условные обозначения формул.

Определение формулы исчисления высказываний:

1. Всякая переменная х, у, z, ... является формулой.

2. Если А и В - формулы, то слова (А& В), (A v В), (А В), - также формулы.

3. Никакая другая строчка символов не является формулой.

Переменные высказывания будем называть элементарными формулами.

Например:

Переменные высказывания х, у, z являются формулами согласно п. 1 определения формулы. Cлова (х&у), (xvz), (уz), являются формулами согласно п. 2 определения. По этой же причине будут формулами слова: (х&у), ((х z)&(yz)), ((х& у) (у )).

Очевидно, не являются формулами слова: , &х, (х&у, xу.

Одновременно с понятием формулы вводится понятие подформулы или части формулы.

1. Подформулой элементарной формулы является только она сама.

2. Если формула имеет вид , то ее подформулами являются: она сама, формула А и все подформулы формулы А.

3. Если формула имеет вид (А * В) (здесь и в дальнейшем под символом * будем понимать любой из трех символов v, &, ), то ее подформулами являются: она сама, формулы А и В и все подформулы формул А и В.

Например, для формулы ее подформулами будут:

подформула нулевой глубины,

, подформулы первой глубины,

подформулы второй глубины,

подформулы третьей глубины,

z подформула четвертой глубины.

Очевидно, что на самой большой глубине находятся лишь элементарные формулы. Однако элементарные формулы могут быть и на других глубинах.

Введем в запись формул некоторые упрощения. Будем опускать в записи формул скобки по тем же правилам, что и в алгебре высказываний.

§ 2. Определение доказуемой формулы. Правила вывода и заключения

Следующим этапом в построении исчисления высказываний является выделение класса доказуемых формул.

Определение доказуемых формул имеет тот же характер, что и определение формулы.

Сначала определяются исходные доказуемые формулы (аксиомы), а затем определяются правила вывода, которые позволяют из имеющихся доказуемых формул получить новые доказуемые формулы.

Образование доказуемой формулы из исходных доказуемых формул путем применения правил вывода, называется выводом данной формулы из аксиом.

Система аксиом исчисления высказываний.

Система аксиом исчисления высказываний состоит из 11 аксиом, которые делятся на четыре группы.

Первая группа аксиом

I₁

I₂

Вторая группа аксиом

II₁

II₂

II₃

Третья группа аксиом

III₁

III₂

III₃

Четвертая группа аксиом

IV₁

IV₂

IV₃

Приведенные аксиомы считаются исходными доказуемыми формулами. Введем правила, с помощью которых можно получать новые доказуемые формулы.

Правила вывода

1. Правило подстановки.

Если формула А доказуема в исчислении высказываний, х переменная, В – произвольная формула исчисления высказываний, то формула, полученная в результате замены в формуле А переменной х всюду, где она входит, формулой В, является также доказуемой формулой.

Операция замены в формуле А переменной х формулой В носит название подстановки и символически записывается так:

.

Уточним сформулированное правило.

а) Если формула А есть переменная х, то подстановка

дает В.

б) Если формула А есть переменная у, отличная от х, то подстановка

дает А.

в) Если А – формула, для которой подстановка уже определена, то подстановка В вместо х в отрицание А есть отрицание подстановки, то есть подстановка дает .

г) Если А₁ и А₂ – формулы, для которых подстановки в уже определены, то подстановка дает .

Если А – доказуемая формула, то будем писать ├А.

2. Правило заключения.

Если формулы А и АВ доказуемы в исчислении высказываний, то формула В также доказуема.

3. Определение доказуемой формулы.

а) Всякая аксиома является доказуемой формулой.

б) Формула, полученная из доказуемой формулы путем применения подстановки вместо переменной х произвольной формулы В есть доказуемая формула.

в) Формула В, полученная из доказуемых формул А и АВ путем применения правила заключения, есть доказуемая формула.

г) Никакая другая формула исчисления высказываний не считается доказуемой.

Процесс получения доказуемых формул будем называть доказательством.

Приведем пример доказательства.

Доказать, что ├ АА (рефлексивность импликации).

Воспользуемся аксиомой I₂:

├

и выполним подстановку . Тогда получим

├ (1)

Применяя правило заключения к аксиоме I₁ и формуле (1), получим

├ (2)

В формуле (2) осуществим подстановку

В результате получим доказуемую формулу

├ (3)

Применим правило заключения к аксиоме IV₂ и формуле (3). В результате получим доказуемую формулу ├.