Задачи и упражнения
1. Какие из следующих предложений являются высказываниями:
а) Москва – столица России;
б) студент ФИСУ;
в)
г) а > 0;
д) Сегодня – понедельник.
2. Приведите примеры предложений, а) являющихся высказываниями; б) не являющихся высказываниями.
3. Установите, истинно или ложно следующие высказывания:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
,
где 
– множество всех подмножеств множества
N;
д)
Ø 
Ø;
е)
Ø 
{Ø}.
4. Среди следующих высказываний указать элементарные и составные. В составных высказываниях выделить грамматические связки:
а) число 32 делится на 4;
б) число 28 делится на 4 и на 7;
в) если число 125 делится на 25, то оно делится на 5;
г) число 7 является делителем числа 42;
д) число 1 269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9.
5. Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:
а) 27 кратно 3 и 15 кратно 3;
б) 27 кратно 3 и 9 не кратно 3;
в)
или 
;
г) если число 120 делится на 3 и на 5, то оно делится на 15.
6. Пусть p и q обозначают высказывания:
p – «Я учусь в школе»,
q – «Я люблю математику».
Прочтите следующие сложные высказывания:
а)
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
.
7. Проверить, не составляя таблиц истинности, являются ли следующие формулы тождественно истинными:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
.
8. Найдите логические значения x и y, при которых выполняются равенства:
1)
;
2) 
.
9. Пусть x = 0, y = 1, z = 1. Определить логические значения нижеследующих сложных высказываний:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
10. а) Постройте с помощью отрицания и дизьюнкции формулу, таблица истинности для которой совпала бы с таблицей для импликации.
б) Аналогично этому постройте с помощью отрицания и импликации формулу, таблица истинности для которой совпадает с таблицей для дизьюнкции, и вторую формулу с таблицей, совпадающей с таблицей для коньюнкции.
11. Составить таблицы истинности для формул:
а)
;
б)
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
12. Установить, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
13. Доказать равносильность:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
14. Упростить формулу:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
15. Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
16. Для следующих формул найти СДНФ и СКНФ, каждую двумя способами (путем равносильных преобразований и таблиц истинности):
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
17.
Докажите равносильность формул 
и 
сравнением их совершенных нормальных
форм (коньюнктивных и дизьюнктивных).
18. Составить РКС для формул, предварительно упростив их:
а)
;
б)
.
19. Построить РКС для F(x,y,z), если известно, что
а) F(1,1,0)=F(1,1,1)=1;
б) F(0,0,1)=F(1,0,1)= F(1,0,0)=1.
Глава 2 исчиление высказываний
В алгебре высказываний, мы пользовались логическими значениями высказываний (истина, ложь). Но понятия истинности и ложности не математические. Эти понятия во многих случаях субъективны и скорее относятся к философии.
Учитывая это построим математическую логику, не пользуясь понятиями истинности и ложности. Необходимо также при этом построении не применять самих законов логики.
Исчисление высказываний – это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.