§ 5. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построения отрицания предложений

Язык логики предикатов используется в математике для записи математических предложений и определений. Например:

1. Определение предела числовой последовательности:

> 0 <).

Здесь использован трехместный предикат

Q:<).

2. Определение предела функции в точке:

> 0 > 0 (0 < < < ).

Здесь использован трехместный предикат

P: (0 < < < ).

3. Определение непрерывности функции в точке: Функция f (x), определенная на множестве Е, непрерывная в точке х₀ Е, если

> 0 > 0 (< < ).

Здесь использован трехместный предикат

P:(< < ).

4. Определение возрастающей функции: Функция f(x), определенная на множестве Е, возрастает на этом множестве, если

(х₁ < х₂ f(x₁) < f(x₂)).

Здесь использован двухместный предикат Q(x₁, x₂): (x₁ < x₂ f (x₁) < f(x₂)).

§ 6. Замечание об аксиоматическом исчислении предикатов

Аналогично тому, как была построена аксиоматическая теория высказываний, может быть построена и аксиоматическая теория предикатов. При этом необходимо отметить следующее:

1. Определение формулы исчисления предикатов совпадает с определением формулы логики предикатов, которое вводилось нами ранее.

2. Выбор системы аксиом исчисления предикатов, как и в случае исчисления высказываний, может осуществляться по-разному. Одной из таких систем аксиом может быть система, в которую включены одиннадцать аксиом исчисления высказываний, использованные нами, и две дополнительные аксиомы:

;

;

где t не содержит переменной х.

3. К правилам вывода, которые использовались в исчислении высказываний, добавляются еще два правила:

а) Правило введения квантора общности

;

б) Правило введения квантора существования

;

если F не зависит от х.

4. Понятие вывода и доказуемой формулы определяются аналогично этим понятиям в исчислении высказываний.

5. Как и во всякой аксиоматической теории, рассматриваются проблемы:

а) разрешимости,

б) непротиворечивости,

в) полноты,

г) независимости.

Задачи и упражнения

1. Даны предикаты Р(х): «х² – 9 = 0» и Q(х): «5х – 3 = 18». Найти области истинности этих предикатов, если их область определения есть: 1) R; 2) N.

2. Изобразите на диаграммах Эйлера-Венна области истинности предикатов:

а) ;

б) .

3. Показать, что кванторы общности и существования не перестановочны, то есть высказывания и могут иметь различные значения.

4. Доказать равносильности:

а) ;

б) ;

в) .

5. Доказать, что формулы и не равносильны.

Глава 4 математические теории

В алгебре высказываний и исчислении высказываний использование таблиц истинности давало достаточно эффективный способ решения вопроса о том, является ли данная формула тавтологией.

Ситуация принципиально меняется при переходе к логике предикатов. Здесь нет эффективного способа, позволяющего для каждой формулы решить вопрос о том, является ли она общезначимой. В связи с этим в математических теориях, которые используют понятие предиката и связанные с ним понятия кванторных операций, необходимым становится аксиоматический метод.

Имеются и другие доводы в пользу аксиоматического метода, и они состоят в следующем: аксиоматический метод базируется на простых отношениях между символами и выражениями точных формальных языков и использует достаточно простые арифметические методы. Это обстоятельство обеспечивает надежность аксиоматического метода.

В этой главе рассматривается сущность аксиоматического метода и те проблемы, которые возникают при его использовании.

Под аксиоматической теорией, построенной на основе данной системы аксиом, понимается совокупность всех теорем, доказываемых исходя из этой системы аксиом.

Аксиоматические теории делятся на формальные и неформальные.

Неформальные аксиоматические теории наполнены теоретико-множественным содержанием, понятие выводимости в них довольно расплывчато и в значительной степени опирается на здравый смысл.

Формальная аксиоматическая теория считается определенной, если выполнены следующие условия:

1. Задан язык теории.

2. Определено понятие формулы в этой теории.

3. Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами.

4. Определены правила вывода в этой теории.

Среди математических теорий выделяют теории первого порядка (элементарные теории). Они отличаются от теорий высших порядков тем, что не допускают в своем изложении предикаты, которые имеют в качестве возможных значений своих аргументов другие предикаты и функции. Кроме того, они не допускают кванторные операции по предикатам или функциям.

Теорий первого порядка достаточно для выражений большинства известных математических теорий.