Задачи и упражнения

1. Выписать все подформулы формул:

а) ;

б) ;

в) .

2. Для формулы выполнить подстановки

а) ; б) .

3. Применяя правило подстановки и заключения установить доказуемость формул:

а) ;

б) ;

в) .

4. Применяя производные правила вывода, показать, что доказуемы формулы:

а) ;

б) .

5. Доказать, что

а) Н=АВ, ВС ├ АС;

б) Н=АВ ├ (СА)(СВ).

6. Дана формула и наборы значений переменных

1) (1, 0, 0); 2) (0, 1, 1). Записать вывод формулы А или ее отрицания из соответствующей совокупности формул.

Глава 3 логика предикатов

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности, при этом не учитывается ни структура, ни содержание. В связи с тем, что в науке и в практике используются заключения, зависящие как от структуры, так и от содержания используемых высказываний, возникла необходимость построения такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру и содержание тех высказываний, которые в рамках логики рассматриваются как элементарные. Такой логической системой является логика предикатов, содержащая логику высказываний в качестве своей части.

§ 1. Понятие предиката. Логические операции над предикатами. Кванторные операции.

Логика предикатов – это такая логика, которая рассматривает элементарное высказывание, не только с точки зрения его истинности или ложности, но и с точки зрения его структуры и содержания.

Логика предикатов делит элементарное высказывание на субъект (подлежащее) и предикат (сказуемое).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании.

Предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Пример.

Высказывание – «7 простое число».

«7» – субъект, «простое число» – предикат.

Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в этом примере заменить число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывание «х – простой число». При разных значениях х это высказывание будет принимать различные значения – {0, 1}.

Можно сказать, что это высказывание определяет функцию одной переменной и принимающую значения из множества {0, 1}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенного на множестве М и принимающая значения из множества {0, 1}.

Множество М на котором определен предикат Р(х), называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х М, при которых предикат принимает значение «и», называется множеством истинности предиката Р(х):

.

Пример.

1. Р(х) – «х – простое число», определен на множестве N, а множество истинности I_P для него есть множество всех простых чисел.

2. Q(x) – «sin x = 0» определен на множестве R, а множество истинности I_Q =

3. F(x) – «Диагонали параллелограмма х перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множество истинности I_F – множество всех ромбов.

Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным, если I_P = M, и тождественно ложным, если I_P = Ø.

Двухместным предикатом Р(x, y) называется функция двух переменных x и y, определенная на множестве M = M₁ M₂ и принимающая значения из множества {1, 0}.

Пример.

1. Бинарное отношение «меньше» на множестве целых чисел Z.

Это отношение между двумя предметами, оно может быть записано в виде высказывания «x < y», где x, yZ, т. е. является функцией двух переменных Р(х, y), определенный на множестве Z Z с множеством значений {1, 0}.

2. Q(x, y) – «x = y» предикат равенства, определенный на множестве

R² = R R.

Аналогично определяется n – местный предикат.

Далее рассмотрим логические и кванторные операции над предикатами. Формулы логики предикатов, основные равносильности.

Предикаты, так же, как высказывания, принимают значения «и» и «л» (или 1 и 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Коньюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)Q(x), который принимает значение «и» при тех и только тех значениях xM, при которых каждый из предикатов принимает значение «и», и принимает значение «л» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката P(x)Q(x) является общая часть областей истинности предикатов P(x) и Q(x), т. е. пересечение

Пример.

P(x) – «х – четное число», Q(x) – «х кратно 3», тогда P(x)Q(x) – «х – четное число и кратное 3», или «х – делится на 6».

Дизьюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)Q(x), который принимает значение «л» при тех и только тех значениях xM, при которых каждый из предикатов принимает значение «л» и принимает значение «и» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката P(x)Q(x) является объединение областей истинности предикатов P(x) и Q(x), т. е.

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат который принимает значение «и» при всех значениях xM, при которых предикат P(x) принимает значение «л» и наоборот.

Областью истинности предиката является

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)Q(x), который является «л» при тех и только тех значениях xM, при которых одновременно P(x) принимает значение «и», а Q(x) – значение «л» и принимает значение «и» во всех остальных случаях.

Областью истинности будет

Квантор всеобщности.

Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Выражение – есть высказывание, которое является «и» для каждого xM и «л» в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Оно читается следующим образом: «Для всякого х, Р(х) истинно». Символ называется квантором всеобщности. Переменную х в предикате Р(х) называют свободной, а в высказывании называют связанной квантором всеобщности

Квантор существования.

Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Выражение – есть высказывание, которое является истинным, если существует элемент xM, для которого Р(х) истинно, и ложно, в противном случае.

Читается: «Существует х для которого Р(х) истинно». Символ называется квантором существования. В высказывании переменная х считается связанной квантором существования .

Примеры употребления кванторов.

Пусть на множестве N задан предикат Р(х) – «число х кратно 5».

Используя кванторы и можно получить следующие высказывания:

1) – «Все натуральные числа кратны 5». Это высказывание всегда ложно;

2) – «Существует натуральное число, кратное 5». Это высказывание всегда истинно.

Очевидно, что высказывание истинно тогда и только тогда, когда Р(х) – тождественно-истинный предикат, а высказывание ложно тогда и только тогда, когда Р(х) – тождественно-ложный предикат.

Рассмотрим предикат Р(х), определенный на множестве М=а₁, а₂, …, а_n, содержащем конечное число элементов.

Если предикат является тождественно-истинным, то истинными будут

и коньюнкция .

Если же, хотя бы для одного элемента а_kМ, – ложно, то ложными будут и коньюнкция .

Отсюда следует равносильность .

Аналогично можно показать, что справедлива и равносильность

. Эти две равносильности можно оспользовать в дальнейшем для преобразований формул.

Кванторные операции можно применять и к многоместным предикатам.

Например, на множестве М задан 2-местный предикат Р(х,у). Применение кванторной операции к предикату Р(х,у) по переменной х ставит в соответствие двухместному предикату Р(х,у) одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной у и не зависящий от переменной х. К ним можно применить кванторные операции по переменной у, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

, , , .

Например, рассмотрим предикат Р(х,у): «х делится на у», определенный на множестве N. Применение кванторных операций к предикату Р(х,у) приводит к восьми возможным высказываниям:

1. – «Для всякого у и для всякого х, у является делителем х»;

2. – «Существует у, которое является делителем всякого х»;

3. – «Для всякого у существует х такое, что х делится на у»;

4. – «Существует у и существует х такие, что у является делителем х»;

5. – «Для всякого х и для всякого у , у является делителем х»;

6. – «Для всякого х существует такое у, что х делится на у»;

7. – «Существует х и существует у такие, что у является делителем х»;

8. – «Существует х такое, что для всякого у, х делится на у».

Высказывания 1, 5 и 8 – ложны, а 2, 3, 4, 6, и 7 – истинны.

Из рассмотренных примеров видно, что в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, а значит и его логическое значение (например 3 и 8).