Глава 1 логика высказываний

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мышления. Предметом математической логики является изучение законов человеческого мышления. Основным понятием математической логики является понятие высказывания.

Высказыванием называется всякое повествовательное предложение, о котором мы можем сказать – истинно оно или ложно, т. е. логическими значениями высказывания являются истина или ложь.

Примеры высказываний:

1) г. Красноярск расположен на р. Енисей,

2) Число 10 делится на 2,

3) Число 10 делится на 5,

4) Париж – столица Англии.

5) Карась – это не рыба.

Высказывания 1), 2) и 3) принимают значения истина, высказывания 4) и 5) – ложь.

В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний.

Очевидно, что не каждое предложение может быть высказыванием.

Пример: «Да здравствуют спортсмены нашей страны!» – это не высказывание, оно не может принять значение истина или ложь.

Высказывания, повествующие только об одном объекте, и рассматривающие только один аспект этого объекта, можно назвать простыми. Простые высказывания обозначаются пропозициональными переменными, принимающими только два значения – «истина» или «ложь» (английский термин proposition как раз и означает «высказывание», «предложение»).

В дальнейшем высказывания условимся обозначать малыми буквами латинского алфавита a, b, c, d, …, x, y, z. А их значения «и» и «л» или «1» и «0». Например, если высказывание а – истинно, то будем писать а = 1, а если ложно, то а = 0.

Из простых высказываний с помощью логических связок «и», «или», «не», «если …, то», «тогда и только тогда» можно получать новые высказывания, которые называют составными или сложными. Например из высказываний 2) и 3) можно получить сложное высказывание «число 10 делится на 2 и на 5».

§ 1. Логические операции над высказываниями

Над высказываниями можно выполнять логические операции, которые играют важную роль в математических доказательствах.

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое является истинным, если х – ложно и ложным, если х – истинно.

Обозначается и читается «не х».

Логические значения высказывания можно представить следующей таблицей, которую в дальнейшем будем называть таблицей истинности:

х
1	0
0	1

Если х – высказывание, то – тоже высказывание. Можно образовать отрицание высказывания т. е. которое называется двойным отрицанием. Значения и совпадают.

Коньюнкцией двух высказываний x и y (логическим умножением) называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x и y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Обозначается символом x y или (x & y). Читается «x и y».

Логические значения коньюнкции описываются следующей таблицей истинности:

x	y	xy
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Из определения операции коньюнкции и отрицания следует, что высказывание всегда ложно.

Дизьюнкцией двух высказываний x и y (логическим сложением) называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x или y – истинно, и ложным, если они оба – ложны.

Обозначается . Читается «x или y».

Логические значения описываются следующей таблицей истинности:

x	y
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Из определения операции дизьюнкции и отрицания следует, что высказывание всегда истинно.

Импликацией двух высказываний x и y называется новое высказывание, которое считается ложным, если x – истинно, а y – ложно, и истинным, во всех остальных случаях.

Обозначается Читается «если x, то y» или «из x следует y».

Высказывание x называют условием, а y – следствием или заключением.

Логические значения этой операции описываются следующей таблицей истинности:

x	y
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы в условной форме формулируются «если x, то y».

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний x и y называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания x и y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным, во всех остальных случаях.

Обозначается Читается «для того, чтобы x, необходимо и достаточно, чтобы y» или «x тогда и только тогда, когда y».

Логические значения этой операции описываются следующей таблицей истинности:

x	y
1	1	1
0	0	1
1	0	0
0	1	0

Логические операции играют важную роль в математических доказательствах, так как значительное число теорем формулируется в условной форме «если х, то у» или в форме необходимых и достаточных условий «для того чтобы x, необходимо и достаточно чтобы y».