§ 4. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае

Формулы логики предикатов, также как и формулы алгебры логики высказываний делятся на тождественно истинные, ложные, выполнимые, не выполнимые и общезначимые.

Формула А логики предикатов называется выполнимой в области М, если существуют значения переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М, при которых формула А принимает истинные значения.

Формула А называется выполнимой, если существует область, на которой эта формула выполнима.

Из этого определения следует, что, если формула выполнима, то это еще не означает, что она выполнима в любой области.

Формула А называется тождественно истинной в области М, если она принимает тождественно истинные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.

Формула А называется общезначимой, если она тождественно истинная на всякой области.

Формула А называется тождественно ложной в области М, если она принимает ложные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.

Из приведенных определений следует:

1. Если формула А общезначима, то она и выполнима на всякой области.

2. Если формула А тождественно истинная в области М, то она и выполнима в этой области.

3. Если формула А тождественно ложная в области М, то она не выполнима в этой области.

4. Если формула А не выполнима, то она тождественно ложна на всякой области.

В связи с данными определениями естественно выделить два класса формул логики предикатов: выполнимых и не выполнимых формул.

Приведем соответствующие примеры:

Пример 1. Формула выполнима. Действительно, если Р(х,у) – предикат «х < у», определенный в области М = ЕЕ, где Е = {0,1,2,...,n,...}, то формула тождественно истинная в области М, и, следовательно, выполнима в этой области. Однако, если предикат «х < у» рассматривается в конечной области M₁ = Е₁E₁, где E₁ = {0,1,2,..., k, то формула будет тождественно ложной в области M₁, и, следовательно, не выполнима в области М₁. При этом ясно, что формула не общезначима.

Пример 2. Формула выполнима.

Действительно, если Р(х) – предикат «Число х – четно», определенный в области М = ЕЕ, где Е= {0, 1, 2, ..., n,..., то эта формула тождественно истинная в области М, и, следовательно, выполнима в области М. Однако, если предикат «Число х – четно» рассматривать в области M₁ = Е₁E₁, где Е₁ – множество четных чисел, то формула будет тождественно ложной в области М₁, и, следовательно, не выполнимой.

Пример 3. Формула \ тождественно истинная в любой области М. Значит, она является общезначимой, то есть является логическим законом (закон исключенного третьего).

Пример 4. Формула тождественно ложная в любой области М, и поэтому она не выполнима.

Cвязь между общезначимостью и выполнимостью формул логики предикатов устанавливается с помощью следующих теорем.

Теорема 1. Для того, чтобы формула А была общезначима, необходимо и достаточно, чтобы ее отрицание было не выполнимо.

Доказательство. Необходимость. Пусть формула А общезначима. Тогда, очевидно, – тождественно ложная формула в любой области, и поэтому формула не выполнима.

Достаточность. Пусть формула не выполнима в любой области. Тогда по определению невыполнимой формулы - тождественно ложная в любой области. Значит, формула А - тождественно истинная формула в любой области, и, следовательно, она общезначима.

Теорема 2. Для того, чтобы формула А была выполнимой, необходимо и достаточно, чтобы формула была не общезначима.

Доказательство. Необходимость. Пусть формула А выполнима. Это означает, что существует область М и набор значений переменных, входящих в формулу А, при которых формула А принимает истинное значение. Очевидно, что на этом наборе значений переменных формула принимает ложное значение, и, следовательно, формула необщезначима.

Достаточность. Пусть формула не общезначима. Тогда существует область М и набор значений переменных, входящих в формулу, при которых формула принимает ложное значение. На этом наборе значений переменных формула А принимает значение «истина», и поэтому формула А выполнима.

Отметим, что общезначимую формулу называют логическим законом.

Проблема разрешимости в логике предикатов также как и в алгебре логики состоит в том, чтобы определить к какому классу относится формула – т. е. является ли она общезначимой, выполнимой или тождественно ложной. Если бы такой алгоритм существовал, то как и в алгебре высказываний, он сводился бы к критерию тождественной истинности любой формулы логики предикатов.

Замечание. В отличие от алгебры логики в логике предикатов не применим метод перебора всех вариантов значений переменных, входящих в формулу, так как таких вариантов может быть бесконечно много.

В 1936 году американский математик А. Черч доказал, что проблема разрешимости логики предикатов в общем виде алгоритмически не разрешима, то есть не существует алгоритма, который бы позволил установить, к какому классу формул относится любая формула логики предикатов.

Проблема разрешимости в логике предикатов достаточно сложная задача и решается лишь в отдельных частных случаях.