§ 4. Проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теории

1. Проблема непротиворечивости.

Теория Т называется противоречивой (или несовместной), если она содержит такое высказывание S, что и S, и его отрицание являются теоремами. В противном случае теория Т называется непротиворечивой. Таким образом, теория Т называется непротиворечивой, если в ней нет такого высказывания S, что и S, и являются теоремами.

Так как теория Т одним из правил вывода содержит правило заключения, то в противоречивой теории любое предложение такой теории является теоремой. Действительно, для любого предложения А теории Т S (А) есть теорема, т.к. это высказывание тавтология. Учитывая, что здесь S и – теоремы и пользуясь дважды правилом заключения, приходим к выводу, что А – теорема.

Для аксиоматических теорий вопрос об их непротиворечивости во многих случаях удается решить с помощью понятия модели. В самом деле, если теория Т противоречива, то каждая ее модель содержит противоречие, т.к. пара противоречащих друг другу теорем теории переводится в два противоречащих друг другу высказывания о модели. Значит, теория непротиворечива если для нее можно указать свободную от противоречий модель. Именно так доказывается непротиворечивость исчисления высказываний.

Если для теории Т можно найти такую интерпретацию, что интерпретацией Т является конечное множество, то вопрос об отсутствии противоречий в интерпретации решается прямым рассмотрением конечного множества. Так, одноэлементное множество, содержащее единственный элемент l, вместе с определенной на нем операцией является моделью теории групп, лишенной противоречий, и, следовательно, теория групп непротиворечива. Однако часто доказательство непротиворечивости модели требует очень сложных рассуждений. В частности, это бывает в случае, когда теория Т имеет только бесконечные модели.

Вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского можно свести к вопросу о непротиворечивости геометрии Евклида, если использовать для интерпретации геометрии Лобачевского средства геометрии Евклида, или к вопросу о непротиворечивости множества действительных чисел, если использовать соответствующую интерпретацию.

Непротиворечивость геометрии Евклида и непротиворечивость теории действительных чисел до сих пор не доказана.

2. Проблема полноты.

Определение 1. Теория Т называется абсолютно полной, если для любого высказывания S этой теории или S или есть теорема.

Это определение учитывает то обстоятельство, что любое высказывание S теории Т будучи интерпретированной в некоторой модели оказывается или истинным, или ложным. Но тогда или S, или должно быть теоремой в теории Т.

Теория, являющаяся одновременно непротиворечивой и полной, будет максимальной в отношении непротиворечивости – в том смысле, что добавление к такой теории в качестве аксиомы любого предложения, которое можно сформулировать в этой теории, но не являющегося ее теоремой, приводит к противоречивой теории.

Отметим, что для многих математических теорий наличие одновременно обоих качеств (непротиворечивости и полноты) не имеет места.

Определение 2. Аксиоматическая теория называется полной в узком смысле если добавление к ее аксиомам любого недоказуемого в ней утверждения с сохранением в ней всех правил вывода приводит к противоречивой теории. Всякая абсолютно полная теория будет полна и в узком смысле. Действительно, пусть некоторая абсолютно полная теория не полна в узком смысле. Тогда найдется такое утверждение U этой теории, недоказуемое в ней, что новая теория, построенная на основе прежних аксиом и утверждения U в качестве новой аксиомы, непротиворечива. Тогда U принадлежит новой теории. Кроме того, в связи с абсолютной полнотой исходной теории и недоказуемостью в ней утверждения U будет доказуемо утверждение . Таким образом, в новой теории оказались доказуемыми U и , т.е. получили противоречие.