- •Т. А. Сливина математическая логика и теория алгоритмов
- •Глава I. Логика высказываний 6
- •Глава 1 логика высказываний
- •§ 1. Логические операции над высказываниями
- •§ 2. Формулы логики высказываний. Основные равносильности и преобразования
- •1. Основные равносильности
- •2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие
- •3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики
- •§ 3. Алгебра Буля. Функции Буля. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики
- •§ 4. Дизьюнктивная нормальная форма и совершенная дизьюнктивная нормальная форма. Коньюнктивная нормальная форма и совершенная коньюнктивная нормальная форма
- •§ 5. Приложения алгебры логики в технике и других областях
- •Задачи и упражнения
- •Глава 2 исчиление высказываний
- •§ 1. Этапы построения исчисления высказываний. Понятие формулы исчисления высказываний
- •§ 2. Определение доказуемой формулы. Правила вывода и заключения
- •§ 3. Производные правила вывода
- •§ 4. Выводимость формул из совокупности формул
- •§5. Доказательство некоторых законов логики
- •3. Закон разъединения посылок
- •5. Закон исключенного третьего: ├
- •§6. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний
- •§7. Проблемы аксиоматического исчисления высказываний
- •1. Проблема разрешимости исчисления высказываний.
- •3. Проблема полноты исчисления высказываний.
- •4. Проблема независимости аксиом исчисления высказываний.
- •Задачи и упражнения
- •Глава 3 логика предикатов
- •§ 1. Понятие предиката. Логические операции над предикатами. Кванторные операции.
- •§ 2. Понятие формулы логики предикатов. Значение формулы логики предикатов
- •§ 3. Равносильные формулы логики предикатов. Предваренная нормальная форма
- •§ 4. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае
- •§ 5. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построения отрицания предложений
- •§ 6. Замечание об аксиоматическом исчислении предикатов
- •Задачи и упражнения
- •Глава 4 математические теории
- •§ 1. Теории первого порядка. Основные понятия
- •§ 2. Примеры математических теорий из алгебры, анализа, геометрии
- •1. Теория частичного упорядочения.
- •2. Теория групп.
- •3. Аффинная геометрия.
- •§ 3. Интерпретация языка теории
- •§ 4. Проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теории
- •2. Проблема полноты.
- •3. Проблема разрешимости.
- •Глава 5 алгоритмы
- •§ 1. Понятие алгоритма и его характерные черты
- •§ 2. Разрешимые и перечислимые множества
- •§ 3. Уточнение понятия алгоритма
- •§ 4. Вычислимые функции. Частично рекурсивные и общерекурсивные функции
- •1. Суперпозиция функций.
- •2. Схема примитивной рекурсии.
- •§ 5. Машины Тьюринга
- •§ 6. Нормальные алгоритмы Маркова
- •§ 7. Неразрешимые алгоритмические проблемы (обзор)
- •1.Неразрешимость проблемы распознавания выводимости в математической логике.
- •3. Проблема эквивалентности слов для ассоциативных исчислений.
- •4. Неразрешимость десятой проблемы Гильберта о диофантовых уравнениях.
- •Задачи и упражнения
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Математическая логика и теория алгоритмов
- •660014, Красноярск, просп. Им. Газ. «Красноярский рабочий», 31.
- •660028, Г. Красноярск, ул. Водопьянова, 2-241.
3. Проблема эквивалентности слов для ассоциативных исчислений.
Первые результаты об алгоритмической неразрешимости были установлены для проблем, возникающих в самой математической логике и в теории алгоритмов. Сюда относятся и рассмотренные проблемы «Проблема выводимости» и «Проблема самоприменимости». Но позже выяснилось, что аналогичные проблемы возникают в самых различных специальных разделах математики. Сюда относятся, в первую очередь, алгебраические проблемы, приводящие к различным вариантам проблемы слов.
Рассмотрим некоторый алфавит А = {а,b,с,... и множество слов в этом алфавите. Если слово L является частью слова М, то говорят, что слово L входит в слово М. Так, слово аса входит в слово bcacab, начиная с буквы а.
Будем рассматривать преобразование одних слов в другие с помощью некоторых допустимых подстановок вида
P — Q или P Q,
где Р и Q два слова в том же алфавите А.
Применение ориентированной подстановки Р Q к слову R возможно в том случае, когда в нем имеется хотя бы одно вхождение левой части Р; оно заключается в замене любого одного такого вхождения соответствующей правой частью Q.
Применение неориентированной подстановки Р — Q допускает как замену вхождения левой части правой, так и замену вхождения правой части левой.
Будем рассматривать, в основном, неориентированные подстановки.
Пример. Подстановка ас – аса применима к слову ЬсасаЬ двумя способами; замена вхождения аса в это слово дает слово bсасаb, а замена вхождения ас дает слово bсасааb.
К слову abcab эта подстановка не применима.
Определение. Ассоциативным исчислением называется совокупность всех слов в некотором алфавите вместе с какой-нибудь конечной системой допустимых подстановок.
Дли задания ассоциативного исчисления достаточно указать соответствующие алфавит и систему подстановок.
Если слово R может быть преобразовано в слово S посредством однократного применения допустимой подстановки, то и S может быть преобразовано в R таким же путем. В таком случае R и S называют смежными словами. Последовательность слов
Rl, R2, ..., Rn-1, Rn
таких, что каждая пара слов Ri и R.i+1 (i = 1,2,...,n-l)
являются смежными, называют дедуктивной цепочкой, ведущей от слова R к слову S.
Если существует дедуктивная цепочка, ведущая от слова R к слову S, то, очевидно, существует и дедуктивная цепочка, ведущая от слова S к слову R, в этом случае слова R и S называют эквивалентными и обозначают: R-S.
Для каждого ассоциативного исчисления возникает своя специальная проблема эквивалентности слов:
Для любых двух слов в данном исчислении требуется узнать, эквивалентны они или нет.
Проблема эквивалентности слов для ассоциативных исчислений была сформулирована в 1911 году. Тогда же был предложен алгоритм для распознания эквивалентности слов в некоторых ассоциативных исчислениях специального вида.
Естественно возникла задача об отыскании такого общего алгоритма, который был бы применим к любому ассоциативному исчислению.
В 1946 и 1947 годах российский математик А. А. Марков и американский математик Э. Пост, независимо один от другого, построили конкретные примеры ассоциативных исчислений, для каждого из которых проблема эквивалентности слов алгоритмически не разрешима, и, следовательно, не существует алгоритма для распознания эквивалентности слов в любом исчислении
В 1955 году российский математик П. С. Новиков доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы тождества групп, формально эта проблема представляет собой частный случай проблемы эквивалентности слов в ассоциативном исчислении.
Примеры, построенные А. А. Марковым и П. С. Новиковым для опровержения алгоритмической разрешимости исследуемых проблем были громоздкими и насчитывали сотни допустимых подстановок.
Петербургскому математику Г. С. Цейтину удалось построить пример алгоритмически неразрешимого исчисления, в котором используется лишь семь допустимых подстановок.