§ 3. Производные правила вывода

Производные правила вывода, как и рассмотренные правила подстановки и заключения, позволяют получать новые доказуемые формулы. Они получаются с помощью правил подстановки и заключения, а поэтому являются производными от них.

1. Правило одновременной подстановки.

Пусть А – доказуемая формула; х₁, х₂, ..., х_n – переменные, а В₁, В₂, …, В_п – любые формулы исчисления высказываний. Тогда результат одновременной подстановки в А вместо х₁, х₂, ..., х_n соответственно формул В₁, В₂, ..., В_n является доказуемой формулой.

2. Правило сложного заключения.

Второе производное правило применяется к формулам вида и формулируется так: если формулы A₁, A₂, ..., А_n и доказуемы, то и формула L доказуема.

Это утверждение легко доказывается последовательным применением правила заключения.

3. Правило силлогизма.

Если доказуемы формулы и , то доказуема формула .

4. Правило контрпозиции.

Если доказуема формула , то доказуема формула .

5. Правило снятия двойного отрицания.

а) Если доказуема формула , то доказуема формула .

б) Если доказуема формула , то доказуема формула .

§ 4. Выводимость формул из совокупности формул

Будем рассматривать конечную совокупность формул Н = {A₁, A₂,...,A_n}.

Определение формулы, выводимой из совокупности Н.

1. Всякая формула А_iН является формулой, выводимой из Н.

2. Всякая доказуемая формула выводима из Н.

3. Если формулы С и С  В выводимы из совокупности Н, то формула В также выводима из Н.

Если некоторая формула В выводима из совокупности Н, то записывают Н├В .

Нетрудно видеть, что класс формул, выводимых из совокупности Н, совпадает с классом доказуемых формул в случае, когда совокупность Н содержит только доказуемые формулы, и в случае, когда Н пуста.

Если же совокупность формул Н содержит хотя бы одну не доказуемую формулу, то класс формул, выводимых из Н, шире класса доказуемых формул.

Пример:

Доказать, что из совокупности формул Н={А,В} выводима формула .

Доказательство: так как АН и ВН, то по определению выводимой формулы

Н├А, (1)

Н├В. (2)

Возьмем аксиомы II₃ и I₁ и выполним подстановки

и

В результате получим доказуемые формулы, которые выводимы из H по определению выводимой формулы, то есть

Н├ (3)

Н├ (4)

Так как формула АА доказуема, то

Н├ АА (5)

Из формул (5) и (3) по правилу заключения получаем:

H├ (6)

Из формул (2) и (4) по правилу заключения получаем:

Н├ АB (7)

Из формул (7) и (6) по правилу заключения получаем:

Н├ (8)

И, наконец, из формул (1) и (8) получаем

Н├ (9)

Ясно, что при доказательстве выводимости формулы из совокупности формул можно пользоваться не только основным правилом заключения, но и правилом сложного заключения. Тогда, пользуясь этим правилом, предложение (9) можно получить из предложений (5), (7), (1) и (3).

Определение. Выводом из конечной совокупности формул Н называется всякая конечная последовательность формул В₁, В₂, ..., B_k , всякий член которой удовлетворяет одному из следующих трех условий:

1. он является одной из формул совокупности Н,

2. он является доказуемой формулой,

3. он получается по правилу заключения из двух любых предшествующих членов последовательности В₁, В₂, ..., В_k.

Как было показано в предыдущем примере, выводом из совокупности формул Н = {А, В является конечная последовательность формул:

А, В, ,,АА, ,АB, , .

Если же здесь воспользоваться правилом сложного заключения, то вывод можно записать так:

А, В, ,, АА, АB, .

Из определений выводимой формулы и вывода из совокупности формул следуют очевидные свойства вывода:

1) Всякий начальный отрезок вывода из совокупности Н есть вывод из Н.

В самом деле, все формулы начального отрезка вывода удовлетворяют определению вывода.

2) Если между двумя соседними членами вывода из Н (или в начале, или в конце его) вставить некоторый вывод из Н, то полученная новая последовательность формул будет выводом из Н.

3) Всякий член вывода из совокупности Н является формулой, выводимой из Н.

Всякий вывод из Н является выводом его последней формулы.

4) Если Н  W , то всякий вывод из Н является выводом из W.

5) Для того, чтобы формула В была выводима из совокупности Н, необходимо и достаточно, чтобы существовал вывод этой формулы из Н.

Правила выводимости

Пусть Н и W – две совокупности формул исчисления высказываний. Будем обозначать через Н, W их объединение, то есть H,W = HW.

В частности, если совокупность W состоит из одной формулы С, то будем записывать объединение Н{С} в виде Н,С.

Рассмотрим основные правила выводимости:

1. Если Н├А, то H,W├A.

Это правило следует непосредственно из определения вывода из совокупности формул.

2. Если Н,С├А и Н├С, то Н├А.

3. Если Н,С├А и W├С, то Н,W├А.

4. Если Н├, то Н,С├А.

5. Теорема дедукции: Если Н,С├А, то Н├.

Важным следствием из теоремы дедукции является обобщенная теорема дедукции: Если ├ А, то ├ .

6. Правило введения конъюнкции: Если Н├А и Н├В, то Н├.

7. Правило введения дизъюнкции: Если Н,А├С и Н,В├С, то Н,├С.