1. Основные равносильности
–законы
идемпотентности.
–закон
снятия двойного отрицания.
–законы
поглощения.
Докажем формулу 4.
Пусть
А
≡ 
при x
= 1, значение
А
= 1, при х
= 0, значение А
= 0. Итак во всех случаях значения формулы
А
совпадают со значениями х,
следовательно, А
≡ х.
2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Замечание. Формулы 5 и 6 получаются из 3 и 4, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания.
Докажем формулы 1–4.
Докажем формулу 1.
1)
при одинаковых
логических значениях x
и y
формулы 
и
– истинны,
следовательно, истинной будет и коньюнкция
т. е. обе части равносильности имеют
одинаковые истинные значения.
2)
пусть теперь x
и y
имеют разные логические значения,
тогда будут ложными 
и одна из 
или 
При этом будет ложной и коньюнкция 
т. е. обе части равносильности имеют
одинаковые ложные значения. Что и
требовалось доказать.
Докажем формулу 3.
1)
пусть x
и y
одновременно принимают истинные
значения,
тогда будет истинной и коньюнкция 
и ложным ее отрицание 
В то же время будут ложными 
и 
,
следовательно, будет ложной и дизьюнкция
2)
пусть хотя
бы одна из переменных x
или y
принимает значение ложь,
тогда 
тоже ложь, а 
– истина. В то же время отрицание хотя
бы одной из переменных будет истинным,
следовательно, будет истиной и дизьюнкция
Следовательно, во всех случаях обе части равносильности 3 принимают одинаковые логические значения.
Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.
Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: коньюнкцию и отрицание или дизьюнкцию и отрицание.
3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики
–коммутативность
коньюнкции и дизьюнкции.
–ассоциативность
коньюнкции и дизьюнкции.
–дистрибутивность
коньюнкции относительно дизьюнкции и
наоборот.
Докажем формулу 6.
При
х
= 1, формулы 
и 
будут истинны, тогда и 
– тоже истинна.
При
х
= 0, 
≡ 
≡ 
≡ 
следовательно, 
≡
Таким
образом, обе части формулы 6 равносильны
одной и той же формуле 
и поэтому принимают одинаковые логические
значения. Что и требовалось доказать.
Равносильности 3-ей группы выражают основные законы алгебры логики: коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность (относительно логических операций – коньюнкции и дизьюнкции). Эти же законы имеют место в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел, т. е.
1) раскрытие скобок;
2) заключение в скобках;
3) вынесения за скобки общего множителя.
Кроме этих преобразований над формулами алгебры логики можно производить и преобразования, основанные на использовании равносильностей.
Равносильные преобразования формул используют
1) для доказательства равносильностей,
2) для приведения формул к заданному виду,
3) для упрощения формул.
Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций коньюнкции и дизьюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.
Пример.
1.
Доказать равносильность 
Доказательство:
2.
Упростить формулу 
3. Доказать тождественную истинность формулы
Запишем цепочку равносильных формул:
Что и требовалось доказать.