§ 4. Дизьюнктивная нормальная форма и совершенная дизьюнктивная нормальная форма. Коньюнктивная нормальная форма и совершенная коньюнктивная нормальная форма

Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить дизьюнктивную нормальную форму (ДНФ).

Дизьюнктивной нормальной формой формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизьюнкцию элементарных коньюнкций.

Совершенной дизьюнктивной нормальной формой формулы А (СДНФ), содержащей п различных переменных, называется дизьюнктивная нормальная форма, удовлетворяющая следующим условиям:

1) в ней нет двух одинаковых слагаемых;

2) ни одно слагаемое не содержит двух одинаковых множителей;

3) ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание;

4) ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

ДНФ для любой формулы алгебры логики высказываний не единственная, но среди этих всех ДНФ будет такая, для которой выполняются условия 1) – 4) (свойства совершенства).

Пример.

1. Преобразовать формулу к СДНФ.

.

2. Преобразовать формулу к СДНФ.

Коньюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой коньюнкцию элементарных дизьюнкций.

Аналогичным образом определяется совершенная коньюнктивная нормальная форма (СКНФ). Это определение приводится в терминах двойственных тем, которые мы употребляли при определении совершенной дизьюнктивной нормальной формы.

Совершенной коньюнктивной нормальной формой формулы А (СКНФ), содержащей п различных переменных, называется коньюнктивная нормальная форма, обладающая следующими свойствами:

1) в ней нет двух одинаковых множителей;

2) ни один множитель не содержит двух одинаковых слагаемых;

3) ни один логический множитель формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание;

4) ни один логический множитель формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

Для любой формулы алгебры логики высказываний с помощью равносильных преобразований можно получить ее КНФ (причем не единственную), но среди этих всех КНФ будет такая, для которой выполняются условия 1) – 4) (свойства совершенства). Такая КНФ называется совершенной коньюнктивной нормальной формой формулы А (СКНФ).

Все формулы алгебры логики делятся на три класса:

1) тождественно истинные;

2) тождественно ложные;

3) выполнимые.

Формула А называется выполнимой, если она принимает значение «и», хотя бы на одном наборе значений, входящих в нее переменных и не является тождественно истинной.

Задача, состоящая в определении к какому классу относится формула, носит название проблемы разрешимости.

Один из способов решения этой проблемы – это составление таблиц истинности. По таблице можно определить к какому классу принадлежит формула.

Другой способ основан на приведении формулы к КНФ или ДНФ и использовании алгоритма, который позволяет определить, является ли данная формула тождественно истинной или не является.

Одновременно с этим решается вопрос: будет ли данная формула выполнимой.

Сформулируем критерии тождественной истинности и тождественной ложности формул алгебры логики.

Теорема 1. Для того чтобы элементарная дизьюнкция была тождественно истинной, необходимо и достаточно чтобы в ней содержалась переменная и ее отрицание.

Теорема 2. Для того чтобы формула алгебры логики А была тождественно истинна, необходимо и достаточно чтобы любая элементарная дизьюнкция, входящая в КНФ А, содержала переменную и ее отрицание.

Теорема 3. Для того чтобы элементарная коньюнкция была тождественно ложной, необходимо и достаточно чтобы в ней содержалась переменная и ее отрицание.

Теорема 4. Для того чтобы формула алгебры логики А была тождественно ложной, необходимо и достаточно чтобы любая элементарная коньюнкция, входящая в ДНФ А, содержала переменную и ее отрицание.

Используя критерии тождественной истинности и тождественной ложности можно решать проблему разрешимости, то есть определять, к какому из трех классов принадлежит рассматриваемая формула.