§ 2. Формулы логики высказываний. Основные равносильности и преобразования
Определим понятие формулы логики высказываний.
Алфавит
логики высказываний состоит из трех
групп символов: высказывательные
переменные a,
b,
c,
d,
…, x,
y,
z;
логические символы 
,
,
→, ↔, −; символы скобок ( , ). Словом в
алфавите называется произвольная
конечная последовательность символов.
Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:
1) любая высказывательная переменная – формула;
2)
если А и В формулы, то слова 
,
,
,
,
– формулы;
3) только те слова являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).
Например:
(
)
или 
Скобки указывают порядок выполнения действий.
Скобки в формулах можно опускать, придерживаясь следующего порядка выполнения действий: коньюнкция, дизьюнкция, импликация и эквиваленция.
Пример.
1)
равносильно 
2)
равносильно 
.
Логическое значение формулы полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний.
Пример.
При
x
= 1, y
= 1, z
= 0 формула 
Логическое значение формулы изменяется в зависимости от изменений значений элементарных высказываний, входящих в формулу. Все возможные логические значения формулы могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.
Пример.
Таблица
истинности логических значений формулы
будет следующая:
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Если формула содержит n элементарных высказываний, то она принимает 2n значений. Таблица истинности будет содержать 2n строк.
Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений, входящих в формулы элементарных высказываний.
Обозначается равносильность ≡, т. е. A ≡ B.
Пример.
Следующие формулы являются равносильными:
Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.
Пример.
Следующие формулы являются тавтологиями:
Формула А называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.
Пример.
Формула
является тождественно ложной.
Отношение равносильности обладает следующими свойствами: оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Между
понятиями равносильности и эквивалентности
существует следующая связь: если формулы
А
и В
равносильны, то формула 
– тавтология, и обратно, если формула
– тавтология, то формулы А
и В
равносильны.
Равносильности алгебры логики используются для того, чтобы любую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой.
Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.