§ 6. Нормальные алгоритмы Маркова

Как и ранее, будем называть алфавитом А всякое непустое конечное множество символов, а сами символы алфавита будем называть буквами.

Словом в алфавите А называется всякая конечная последовательность букв алфавита А. Пустая последовательность букв называется пустым словом и обозначается через .

Если Р обозначает слово и Q обозначает слово , то PQ обозначает объединение . В частности, Р = Р = Р. Кроме того, (P₁P₂)P₃ = P₁(P₂P₃).

Алфавит А называется расширением алфавита В, если В  А. Очевидно, что в этом случае всякое слово в алфа­вите В является словом в алфавите А.

Алгоритмом в алфавите А называется эффективно вычислимая функция, областью определения которой служит какое-нибудь подмножество множества всех слов в алфавите А и значениями которой являются также слова в алфавите А. Пусть Р есть слово в алфавите А; говорят, что алгоритм U применим к слову Р, если Р содержится в области определения U. Если алфавит В является расширением алфавита А, то всякий алгоритм в алфавите В называется алгоритмом над алфавитом А.

Большинство известных алгоритмов можно разбить на некоторые простейшие шаги. Следуя А. А. Маркову, в качестве элементарной операции, на базе которой строятся алгоритмы, выделим подстановку одного слова вместо другого. Если Р и Q - слова в алфавите А, то выражения Р  Q и Р  Q будем называть формулами подстановки в алфавите А. При этом предполагается, что символы стрелка  и точка  не являются буквами алфавита А, а каждое слово Р и Q может быть и пустым словом. Формула подстановки Р  Q называется простой, а формула подстановки Р  Q называется заключительной.

Пусть Р () Q обозначает одну из формул подстановки Р  Q или Р  Q. Конечный список формул подстановки в алфавите

Р₁ () Q₁

Р₂ () Q₂

…………

Р_r () Q_r

называется схемой алгоритма и порождает следующий алгоритм в алфавите А.

Принято говорить, что слово Т входит в слово Q, если существуют такие (возможно пустые) слова W, V, что Q = WTV.

Пусть Р – слово в алфавите А. Здесь может быть одно из двух:

1. Ни одно из слов P₁,P₂,...,P_r не входит в слово Р (обозначается: U: P ).

2. Среди слов Р₁,Р₂,...,Р_r существуют такие, которые входят в Р. Пусть m – наименьшее целое число такое, что 1  m  r, и Р_m входит в Р, и R - слово, которое получается, если самое левое вхождение слова Р_m в слово Р заменить словом Q_m. Тот факт, что Р и R находятся в описанном отношении, коротко запишем в виде

U:P├ R, (a)

если формула подстановки P_m () Q_m - простая, или в виде

U:P├ R (б)

если формула Р_т () Q_m заключительная.

В случае (а) говорят, что алгоритм U просто перево­дит слово Р в слово R; в случае (б) говорят, что алгоритм U заключительно переводит слово Р в слово R.

Пусть далее, U:P╞ R означает, что существует такая последовательность R₀, R₁, R_k слов в алфавите А, что Р = R₀, R = R_k, U:R_j├ R_j+1 для j = 0, 1, …, k-2 и либо U:R_k-1├ R_k , либо U:R_k-1├ R_k R_k (в этом последнем случае вместо U:P╞ R пишут U:P╞ R )

Положим теперь U(P) = R тогда и только тогда, когда либо U:P╞ R , либо U:P╞ R и U:R .

Алгоритм, определенный таким образом, называется нормальным алгоритмом или алгоритмом Маркова.

Работа алгоритма U может быть описана следующим образом. Пусть дано слово Р в алфавите А. Находим первую в схеме алгоритма U формулу подстановки Р_т ()Q_m такую, что Р_т входит в Р. Совершаем подстановку слова Q_m вместо самого левого вхождения слова Р_т в слово Р. Пусть R₁ – и результат такой подстановки. Если Р_т ()Q_m – заключительная формула подстановки, то работа алгоритма заканчивается, и его значением является R₁. Если формула подстановки Р_т ()Q_m – простая, то применим к R₁ тот же поиск, который был только что применен к Р и т.д. Если на конечном этапе будет получено такое слово R_i, что U:R_i , то есть ни одно из слов Р₁, ..., Р_r не входит в R_i, то работа алгоритма заканчивается, и R_t будет его значением.

Если описанный процесс на конечном этапе не заканчивается, то говорят, что алгоритм U не применим к слову Р.

Пример 1. Пусть А есть алфавит {b,c} . Рассмотрим схему

b

сc.

Определяемый этой схемой нормальный алгоритм U перерабатывает всякое слово Р в алфавите А, содержащее хотя бы одно вхождение буквы b, в слово, которое получается вычеркиванием в Р самого левого вхождения буквы b.

Действительно, всякая буква с, находящаяся в слове левее самой левой буквы b, простой подстановкой с с переводится в букву с, а самая левая буква b заключительной подстановкой переводится в пустое слово .

Например, если Р = ссbbс, то PQ, где Q = ссbс.

Пустое слово U перерабатывает в само себя.

U не применим к непустым словам, не содержащим вхождения буквы b. Действительно, если слово Р содержит только буквы с, то простой подстановкой с с оно будет перерабатываться в себя, но тогда всегда Р Р, и мы не приходим к заключительной подстановке, т.е. процесс будет продолжаться бесконечно.

Пример 2. Пусть А есть алфавит { a₀, a₁,…, a_n}. Рассмотрим схему

i (a_i) (a_iA).

Эта схема определяет нормальный алгоритм U, перерабатывающий всякое слово в алфавите А в пустое слово. Например,

U: a₁a₂a₁a₃a₀ ├ a₁a₂a₁a₃ ├ a₂a₁a₃ ├ a₂a₃ ├ a₃ ├ 

и, наконец,

U: . Следовательно, U(a₁a₂a₁a₃a₀) = .