§ 3. Интерпретация языка теории

Под интерпретацией языка теории Т понимают всякую систему, включающую в себя:

1. Непустое множество М, называемое областью интерпретации.

2. Какое-либо соответствие, которое каждому элементу языка теории Т ставит в соответствие единственный элемент множества М, то есть функцию f с областью определения (А(Т), Е(Т)) и множеством значений, содержащимся в М.

В частности, каждой предикатной букве (А(Т), Е(Т)) ставится в соответствие некоторое n-местное отношение в М, каждой функциональной букве (А(Т), Е(Т)) ставится в соответствие некоторая n-местная операция в М, то есть функция Мⁿ М и каждой предметной постоянной а_i – некоторый элемент из М.

При заданной интерпретации предметные переменные рассматриваются как переменные, пробегающие область М, а символам логических и кванторных операций придается их обычный смысл.

Для такой интерпретации всякая формула без свободных переменных, т. е. замкнутая формула, представляет собой высказывание, которое истинно или ложно, а всякая формула со свободными переменными выражает некоторое отношение на области интерпретации. Это отношение может быть истинно для одних значений из области интерпретации и ложно для других.

Например, если взять в качестве области интерпретации множество целых положительных чисел и интерпретировать как отношение x₁ < х₂, то истинно для всех упорядоченных пар (а,b) положительных чисел таких, что а < b, а формула представляет собой отношение «для каждого целого положительного х₂, x₁< x₂», которое истинно только для одного числа 1.

И, наконец, формула утверждает существование наименьшего положительного числа и является истинной на множестве целых положительных чисел.

Определение 1. Формула А называется истинной (в данной интерпретации) тогда и только тогда, когда она выполнена на всякой последовательности из G.

Определение 2. Формула А называется ложной (в данной интерпретации), если она не выполнена ни на одной последовательности из G.

Моделью теории называется интерпретация языка этой теории.

Проще говоря, имея некоторую теорию Т, мы приписываем первоначальным понятиям этой теории некоторый новый смысл. Если некоторая совокупность предметов и отношений между ними, выбранных в качестве значений первоначальных понятий аксиоматической теории, т. е. в качестве ее интерпретации, удовлетворяет всем аксиомам теории, то она называется моделью данной аксиоматической теории.

Так, ранее мы определили алгебру Буля и получили две ее модели: алгебру логики и алгебру множеств.

Определение 3. Интерпретация 1₁ данной теории Т первого порядка изоморфна другой интерпретации 1₂ теории Т, если существует такое взаимно однозначное отображение g (называемое изоморфизмом) области М_х интерпретации 1₁ на область М₂ интерпретации I₂, что

1. Если и интерпретации предикатной буквы соответственно в 1₁ и I₂, то каковы бы ни были b₁, b₂,..., b_п из М₁, (b₁,b₂,...,b_n) выполнено тогда и толь­ко тогда, когда выполнено(g(b₁), g(b₂),…,g(b_n));

2. Если и – интерпретации функциональной буквы соответственно в 1₁ и I₂, то для любых b₁, b₂, ..., b_n из М₁ (b₁, b₂, ..., b_n)= (g(b₁), g(b₂),…,g(b_n));

3. Если и – интерпретации предметной постоянной соответственно в I₁ и I₂, то = g().

Ясно, что если интерпретации 1₁ и 1₂ изоморфны, то их области имеют одинаковую мощность.

Определение 4. Математическая теория Т называется категоричной, если все ее модели изоморфны.

Определение 5. Пусть  – мощность некоторого множества. Теория Т первого порядка называется  -категоричной, если

1) теория Т имеет хотя бы одну модель мощности .

2) всякие две модели теории Т, имеющие мощность , изоморфны.

Например, теория групп некатегорична, т.к. существуют неизоморфные группы. Однако можно говорить, что теория групп категорична в некоторых мощностях, в частности, в мощности  = 3 .

Геометрия Евклида является категоричной математической теорией. Любые ее две модели изоморфны. Действительно, нетрудно показать, что любая модель геометрии Евклида изоморфна арифметической модели.

Возьмем в данной модели прямую и на ней фиксируем точку 0, затем на этой прямой выбираем точку l, отличную от точки 0. Отрезок 0l примем за единицу. Выбирая положительное направление на прямой, получим числовую ось.

Две взаимно перпендикулярные числовые прямые (прямоугольная декартова система координат) позволяют каждой точке плоскости поставить во взаимно однозначное соответствие координаты этой точки, а каждой прямой на плоскости – уравнение этой прямой. Точно также поступаем и в другой модели геометрии Евклида на плоскости.

Установить изоморфизм между разными моделями геометрии Евклида позволяет однозначное введение аналитической геометрии.