§ 2. Понятие формулы логики предикатов. Значение формулы логики предикатов

Для записи формул логики предикатов пользуются следующими символами:

1) p, q, r, … – переменные высказывания, которые принимают значения 0 или 1;

2) x, y, z, … – предметные переменные, которые принимают значения из некоторого множества М. x⁰, y⁰, z⁰, … – предметные константы, т. е. значения предметных переменных;

3) Р(·), F(·), … – одноместные предикаты,

Р(·,·, …,), F(·,·, …,) – n-местные предикаты,

Р⁰(·), Р⁰(·,·,…,) – постоянные предикаты;

4) Символы логических операций: ;

5) Символы кванторных операций:

6) Вспомогательные символы: скобки ( ), запятые.

Определение формулы логики предикатов.

1. Каждое высказывание как переменное, так и постоянное, является формулой.

2. F(x₁, x₂, …, x_n) является формулой, если F(·,·, …,) – есть n-местный предикат (переменный или постоянный), а x₁, x₂, …, x_n – предметные переменные или постоянные.

3. Если А и В формулы, то АВ, АВ, АВ – тоже формулы. Причем, переменные, которые в исходных формулах были свободными, остаются свободными, а связанные – остаются связанными.

4. Если А – формула, то – тоже формула.

5. Если А(х) – формула, в которую х входит свободно, то высказывания и являются формулами, причем переменная х входит в них связанно.

Все остальные высказывания, не удовлетворяющие 1–5, не являются формулами.

Примеры формул.

q, P(x), P(x)Q(x⁰, y),

Не является формулой следующее выражение: Здесь нарушено условие п. 3, так как в это выражение переменная х входит связанно и свободно (P(x)).

Замечание. Всякая формула алгебры логики высказываний является формулой логики предикатов.

Формула логики предикатов может принимать логическое значение, если задано множество М, на котором определены, входящие в эту формулу предикаты.

Логическое значение формулы зависит от:

1. значений, входящих в формулу переменных высказываний;

2. значений свободных переменных из множества М;

3. значений предикатных переменных.

При конкретных значениях, каждого из трех видов переменных, формула логики предикатов примет значение «и» или «л», (0, 1).

Например, рассмотрим формулу

(1)

в которой двухместный предикат Р(х,у) определен на множестве ММ, где М = {0, 1, 2, …, n, …}.

В формулу (1) входит переменный предикат Р(х,у), предметные переменные х, у, z, две из которых у и z – связанные кванторами, ах – свободная.

Возьмем за конкретное значение предиката Р(х,у) фиксированный предикат Р°(х,у): «х<у», а свободной переменной х придадим значение х°=5М. Тогда при значениях у, меньших х°=5 предикат Р°(х°,у) принимает значение ложь, а импликация Р(х, у)  Р(у,z) при всех zМ принимают значение истина, то есть высказывание имеет значение «истина».

§ 3. Равносильные формулы логики предикатов. Предваренная нормальная форма

Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М, если они принимают одинаковые логические значения при всех возможных на множестве М интерпретациях этих формул.

Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными, если они равносильны на всей области М.

Основные равносильности логики предикатов:

Пусть А(х), В(х) – предикаты, С – высказывание.

1. , если не для всех х истинно А(х), то х при котором истинно

2. если не х при котором истинно А(х), то для всех х будет истинно

3. (следствие 1).

4. (следствие 2).

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Доказательство равносильностей может быть рассмотрено на семинарских занятиях в качестве упражнений.

Формулы логики предикатов также можно приводить с помощью равносильностей к нормальной форме.

Определение. Говорят, что формула логики предикатов имеет нормальную форму, если она содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания отнесена к элементарным формулам.

Очевидно, что, используя равносильности алгебры высказываний и логики предикатов, каждую формулу логики предикатов можно привести к нормальной форме. Например, приведем к нормальной форме формулу

.

Пользуясь равносильными преобразованиями, получим

Полученная формула и есть нормальная форма.

Среди нормальных форм формул логики предикатов важное значение имеют так называемые предваренные нормальные формы (п.н.ф.). В них кванторные операции либо полностью отсутствуют, либо они используются после всех операций алгебры логики, то есть предваренная нормальная форма формулы логики предикатов имеет вид:

(x₁)(x₂)...(x_n)A(x₁, x₂, ..., x_m), n  т, где под символом (x_i) понимается один из кванторов или , а формула А кванторов не содержит.

Теорема. Всякая формула логики предикатов может быть приведена к предваренной нормальной форме.