§5. Доказательство некоторых законов логики

Правила выводимости, и особенно теорема дедукции, позволяют доказать ряд законов логики.

1. Закон перестановки посылок:

├ (1)

Доказательство: Так как из совокупности формул Н = {х(уz),у,х следует вывод х(уz), у, х, у  z, z, то из совокупности Н выводима формула z. Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема формула (1).

Из закона перестановки посылок вытекает правило перестановки посылок в доказуемых формулах:

Если ├ , то ├

Действительно, если ├ (2)

то из формул (1) и (2) по правилу заключения следует, что ├ .

2. Закон соединения посылок:

├ (3)

Доказательство: Так как из совокупности формул Н = , } следует вывод , , ,, , х, у, уz, z, то из совокупности Н выводима формула z. Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема формула (3).

Из закона соединения посылок вытекает правило соединения посылок в доказуемых формулах: Если ├ , то ├

Действительно, если ├ (4),

то из формул (3) и (4) по правилу заключения следует

├

3. Закон разъединения посылок

(5)

Доказательство: Так как из совокупности формул Н = {х, у, } следует вывод х, у,, , z, то из совокупности формул Н выводима формула z. Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема формула (5).

Из закона разъединения посылок вытекает правило разъединения посылок в доказуемых формулах: Если ├ , то ├ .

Действительно, если

├ (6)

то из формул (5) и (6) по правилу заключения следует ├ .

4. (7)

Доказательство: Сделаем подстановки в аксиомы I₁ и IV₁

и

В результате получим доказуемые формулы

├ (8)

├ (9)

Из формул (8) и (9) по правилу силлогизма следует ├.

Используя закон соединения посылок, получим ├.

Используя правило снятия двойного отрицания, получим ├.

И, наконец, применяя закон разъединения посылок, получим формулу (7).

5. Закон исключенного третьего: ├

Доказательство: Воспользуемся доказуемой формулой

├ (10)

и, сделав в ней подстановку , получим

├ (11)

Также сделаем подстановку в формуле (7), заменяя х на , а у на :

├ (12)

Используя закон соединения посылок, будем иметь

├ (13)

Из формул (11) и (13) по правилу силлогизма получим

├ (14)

Из формулы (14) по правилу контрпозиции следует ├

Используя оба правила снятия двойного отрицания, получаем

├ (15)

Пусть теперь у – любая доказуемая формула R, тогда из формул ├R и ├ по правилу заключения получаем

├

6. ├

Доказательство: Сделаем подстановку в аксиоме III₃, заменяя в ней z на :

├ (16)

Из аксиом II₁ и II₂ имеем:

├ (17)

├ (18)

Применяя к формулам (17) и (18) правило контрпозиции, получим

├ (19)

├ (20)

Используя правило снятия двойного отрицания, будем иметь:

├ (21)

├ (22)

Применяя к формулам (16), (21) и (22) правило сложного заключения, получим

├ (23)

Применяя к формуле (23) правило контрпозиции, а затем правило снятия двойного отрицания, получаем ├ .

§6. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний

Формулы исчисления высказываний можно интерпретировать как формулы алгебры высказываний. Для этого будем трактовать переменные исчисления высказываний как переменные алгебры высказываний, то есть переменные в содержательном смысле, принимающие два значения: истина и ложь (1 и 0).

Операции , , , – определим так же, как в алгебре высказываний. При этом всякая формула исчисления высказываний при любых входящих в нее переменных будет принимать одно из значений 1 или 0, вычисляемое по правилам алгебры высказываний.

Введем понятие значения формулы исчисления высказываний.

Пусть А – формула исчисления высказываний, x₁, х₂, ..., х_п – попарно различные переменные, среди которых находятся все переменные, входящие в формулу А.

Обозначим через а₁, а₂, ..., a_n набор значений этих переменных, состоящий из 1 и 0, длины n. Очевидно, что вектор (а₁, а₂, …, а_n) имеет 2ⁿ значений.

Определим значение формулы А на одном таком наборе значений переменных, обозначая его через :

1. Если для формулы А ее подформула самой большой глубины есть x_i, то .

2. Если определены значения всех подформул глубины (k+1), то подформулы глубины k, полученные в результате операций , , и будут иметь значения:

,

,

,

.

Например, формула на наборе значений (0,1,1,0) переменных х₁, х₂, х₃, х₄ имеет значение R₀₁₁₀() = 1.

Действительно, эта формула имеет:

–подформулы первой глубины,

–подформулы второй глубины,

х₄, х₂, – подформулы третьей глубины,

х₃ – подформула четвертой глубины.

Отсюда R₀₁₁₀ (x₃) = 1,

, R₀₁₁₀ (x₂) = 1, R₀₁₁₀ (x₄) = 0,

=0, , R₀₁₁₀ (x₁) = 0,

)==1,

R₀₁₁₀()=R₀₁₁₀()R₀₁₁₀()=1.

Приведем формулировки теорем, которые устанавливают связь между основными фактами алгебры высказываний и исчисления высказываний.

Теорема 1. Каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, является тождественно истинной в алгебре высказываний.

Теорема 2. (о выводимости). Пусть А – некоторая формула исчисления высказываний; х₁, х₂, ..., х_п – набор переменных, содержащий все переменные, входящие в формулу А; а₁, а₂,...,а_п – произвольный фиксированный набор значений этих переменных. Обозначим через Н конечную совокупность формул , где

1. Если , то Н├ А.

2. Если , то Н├ .

Теорема 3. Каждая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуема в исчислении высказываний.

Доказательство этих теорем предлагается рассмотреть самостоятельно или на семинарских занятиях.