892

Указывают количество результатов, исключенных из-за сомнительности, и причины исключения.

Пример.

Изучается послеремонтный износ сопряжения «втулка шатуна – поршневой палец» у двигателя СМД [55].

Ввиду большой трудоемкости опыта (измерения после ремонта, наблюдения в период всего цикла работы, разборка двигателя и измерения по окончанию опытов) исследован износ только на 8 двигателях.

Результаты измерений втулки шатуна первого цилиндра двигателя представлены в табл. 7.4.

Таблица 7.4.

Результаты исследования износа втулки шатуна двигателя СМД [55]

Оценка среднеквадратического отклонения окажется равной:

~~

D 66,97 8,18 мкм.

Доверительный интервал для среднего значения:

а) по общепринятой методике математической статистики

если, например, β = 0,95, а k = n – 1 = 8 – 1 = 7, то β0,95 = 2,36, а в слу-

221

чае β = 0,99, при k = 7, β0,99 = 3,5;

(значения tβ найдены по таблицам t-распределения Стьюдента)

б) по ГОСТ Р 50779.22-2005 с учетом «размаха» выборки

W = xmax - xmin = 55,45 - 35,33 = 20,12 мкм;

соответственно 1,237, учитывая при этом, что n = 8. В этом случае, если β = 0,95, то

(43,96-0,836 8,18) < m < (43,96+0,836 8,18) или 37,12< m <50,80, а при β = 0,99

(43,96-1,237 8,18)< m <(43,96+1,237 8,18) или 33,84< m <54,03

Отличия последнего варианта (в) от первого (а) можно объяснить только точностью используемых таблиц t-распределения Стьюдента.

Доверительный интервал для дисперсии

Для построения доверительного интервала для дисперсии широко используют известное распределение χ2 (хи-квадрат) или то же самое – распределение Пирсона.

Если рассмотреть величину

то V имеет распределение χ2 с (n – 1) степенями свободы. Плотность этого распределения выражается формулой:

Закон распределения V = χ2 протабулирован в математической лите-

222

ратуре в функции 2 f k, , и разработаны программы ЭВМ для расче-

тов с его использованием.

Характерный вид дифференциальной функции представлен на рис.7.4.

Рис. 7.4. Распределение

V = χ2

Одной из особенностей этого закона является несимметричность.

В связи с этим возникает вопрос: как выбрать интервал Jβ? Если бы закон распределения величины V был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал Jβ симметричным относительно математического ожидания. При несимметричном распределении интервал Jβ условились располагать так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площадки на рис.7.4) были одинаковы и равны/ 2 1 / 2 , где α - уровень риска (или еще говорят, уровень значимости).

Чтобы построить интервал Jβ с таким свойством, используют таблицы распределения чисел χ2 такие, что

P V 2 P ,

для величины V, имеющей 2- распределение с r = n - 1 степенями свободы.

После фиксации значения r в строке таблицы находят два значения

Если продолжить пример с результатами исследования износа втулки шатуна двигателя СМД, то в случае, когда β = 0,9, а α = 1 – β = 0,1 и соот-

223

Если β = 0,98, то 1 0,98 0,02 , и тогда

Pниж / 2 0,01, а Pв ерх 1 Pниж 0,99 ;

Табличные значения χ2 окажутся равными ниж2 18,5 ; в2ерх 1,24 ; а доверительный интервал

Здесь уместно обратить внимание на то, что ошибка определения дисперсии при малом числе наблюдений может быть очень велика, т.к. истинное значение может отличаться от расчетного чуть ли не в 5 раз.

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения

может быть построен несколькими способами.

Способ 1. Если построен доверительный интервал для дисперсии D, то соответствующий интервал для может быть построен аналогично, с

на γ1 и γ2, а для их нахождения составлены специальные таблицы [56].

Если построить доверительный интервал для среднеквадратического отклонения по этому способу, то, в случае предыдущего примера

~ 66.97 8.18; n 8 ; 1 и 2 (по табл. 7.5)

J0.9 8.18 0.7 8.18 8.18 1.8 5.73 8.18 14.72

J0.98 8.18 0.62 8.18 8.18 2.4 5.07 8.18 19.63 .

Вторым способом получены практически те же границы, что и первым. Разница объясняется только различной точностью построения таблиц, используемых для определения χ2 и γ.

Способ 3. В предыдущих случаях доверительные интервалы постро-

~ ~

ены ассиметрично, относительно оценок и D . Расположение интервала было выбрано так, чтобы вероятность выхода оценок за нижнюю и верхнюю границы была одинаковой и составляла α/2, где α-уровень риска α= 1 –

β.

224

Таблица 7.5

Доверительный интервал для

Поскольку среднеквадратическое отклонение – величина всегда положительная по определению, то левая граница в данном случае должна быть принята за 0, тогда J0.99 = [0;19,47].

225

7.4. Проверка статистических гипотез. Критерии согласия

После проведения эксперимента в распоряжении исследователя оказывается некоторое множество значений измеренных показателей, и возникает вопрос, какие выводы о свойствах генеральной совокупности можно сделать по этим выборочным наблюдениям.

Первым шагом в решении поставленной задачи может быть вычисление различных статистик и построение доверительных интервалов по методике, рассмотренной ранее.

Вторым обязательным шагом является проверка выдвигаемых статистических гипотез.

Статистическая гипотеза – это любое предположение относительно распределения наблюдаемых случайных величин.

226

О каких гипотезах чаще всего идет речь?

Поскольку основной характеристикой любой случайной величины является закон распределения, то при обработке опытных данных часто ставится вопрос: противоречат или нет опытные данные гипотезе о виде того или иного закона распределения?

Определение вида закона распределения очень важно для любого исследования, т.к. позволяет обоснованно оперировать данными, например, определять границы возможного рассеяния, оценивать принадлежность тех или иных экстремальных значений к выборке, моделировать случайные величины на ЭВМ, проводить с ними вычислительный эксперимент и т.д.

Оценка экстремальных значений изучаемых случайных величин часто связана с проверкой выборки на наличие грубых ошибок. Если, например, среди массива опытных данных встречаются резко отличающиеся от остальных значения, то неизбежно возникает вопрос о возможности грубой ошибки (почвообрабатывающая машина наехала на камень, в уборочную машину попал посторонний предмет, а может быть это результат сбоя измерительной аппаратуры или ошибки оператора, неясной или нечеткой записи и т.п.).

При оценке любых испытаний машин или технологий исследователь вынужден определять существенность отличий числовых характеристик

массивов опытных данных, так как результаты измерений могут отразить как итоги совершенствования, так и явиться результатом удачной выборки.

При обработке опытных данных может быть установлена корреляционная связь между случайными величинами, определено влияние тех или иных факторов (дисперсионный анализ), построены регрессионные модели,

найдено значение ряда коэффициентов математических моделей (метод наименьших квадратов), произведена оценка адекватности модели и т.д.

Основным инструментом решения поставленных задач в математической статистике являются критерии согласия, позволяющие определить

вероятность принятия той или иной гипотезы и риска, связанного с таким выводом.

Проверка гипотез о законе распределения. Допустим, что на основе изучения вероятностной модели процесса выдвинута гипотеза о виде закона распределения F(x). Но после проведения эксперимента между теоретическим и фактическим рядами неизбежны расхождения. Естественно желание выяснить чем вызваны эти различия: только ли случайными обстоятельствами, связанными с ограничением числа наблюдений, или обусловлены противоречием опытных данных выдвинутой гипотезе.

Сопоставление теоретических и экспериментальных значений проводят с использованием критериев согласия χ2 (К.Пирсона) и λ (А.Н. Колмогорова).

Критерий К.Пирсона более надежен, хотя применение его связано с необходимостью трудоемких вычислений. Критерий А.Н.Колмогорова применяют в тех случаях, когда теоретический ряд построен без использования опытных данных, т.е. даже числовые характеристики – параметры распределения, – определены теоретически.

227

Схема использования критерия К.Пирсона состоит в следующем. Результаты опытов, прежде всего, сводят в К разрядов (классов) и оформляют в виде статистического ряда распределения с наблюдаемыми статистическими вероятностями Рi.

Используя теоретический закон распределения, можно найти теоретические значения вероятности попадания случайной величины в каждый из разрядов Рi. В качестве меры расхождения следует выбрать квадрат раз-

i 1

Коэффициенты Сi вводят потому, что в общем случае отклонения, относящиеся к различным разрядам, нельзя считать равноправными по значимости. Одно и то же по абсолютной величине отклонение может быть малозначимым, если сама вероятность велика, и, наоборот, очень значимым, если вероятность мала. Естественно, Сi следует брать обратно пропорционально вероятностям разрядов. Далее необходимо выбрать коэффициент пропорциональности. К.Пирсон показал, что если выбрать

Ci n / Pi ,

то при больших n закон распределения величины U практически не зависит от функции распределения F(x) и числа опытов n, а зависит, главным обра-

зом, от числа разрядов К и приближается к так называемому распределению χ2.

При таком выборе коэффициентов мера расхождения

Распределение χ2 зависит от параметра r, называемого числом степеней свободы распределения и определяемого как разность между числом разрядов К и числом наложенных связей.

Для каждого значения χ2 и числа степеней свободы r по таблице закона распределения можно определить вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения будет больше или равна вычисленному значению χ2.

Если вероятность Р весьма мала (настолько, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то результат опыта можно считать противоречащим гипотезе о том, что закон распределения величины Х есть F(x). Если Р достаточно велика, то выдвинутую гипотезу считают не противоречащей опытным данным.

В качестве примера приведены результаты сопоставления фактического распределения времени пребывания машин на станции технического

228

обслуживания с теоретическим (табл. 7.7) [55].

В теории массового обслуживания, как разделе теории вероятностей [38], построена модель, согласно которой время обслуживания подчиняется показательному (экспоненциальному) распределению:

F(t) 1 е t .

где λ - плотность потока событий; 1/ tср , где, в свою очередь, tср – сред-

нее время обслуживания машины.

Среднее время обслуживания составляет:

tср niti 2087 2,1 ч,ni 1000

где ti – время середины каждого класса. Плотность потока машин:

Сумма квадратов отклонений составляет:

2 mi nPi nPi

Число степеней свободы равно:

r К 1 10 1 9 .

где К – число классов в распределении времени обслуживания. Критическое значение Σ 2 (для Р = 0,99 и r = 9, по таблице распреде-

ления Пирсона, χ2):

крит2 2,09 .

Поскольку 2 крит2 , то можно полагать, что фактические

данные не противоречат гипотезе о показательном (экспериментальном) распределении времени обслуживания машин.

Вероятность того, что расхождение рядов можно объяснить случайными событиями, составляет Р = 0,99.

В качестве меры расхождения между теоретическим и фактическим распределением по критерию А.Н. Колмогорова, используют максимальное значение модуля разности между статистической и соответствующей теоретической функциями распределения.

Рис. 7.5. Определение максимального модуля разности между фактическим и теоретическим распределением

229