892

Рис. 5.43. Экран компьютера при анализе толщины семян Назначение размера верхнего решета

Рис. 5.44. Экран компьютера при анализе ширины семян. Назначение размера нижнего решета

Рис. 5.45. Экран компьютера при анализе длины семян.

141

Назначение диаметров ячеек кукольного и овсюжного триеров

Рис. 5.46. Экран компьютера при анализе плотности семян. Назначение настроечного, разделительного значения плотности

для пневмосортировального стола

На основании проведенных расчетов может быть предложена схема очистки, представленная на рис. 5.47.

Рис. 5.47. Схема очистки семян ржи

5.5.7. Модели, основанные на разработке специальных распределений вероятностей случайных величин

В ряде случаев на практике приходится иметь дело со случайными величинами, закон распределения которых заранее неизвестен. В этом случае чаще всего прибегают к аппроксимации выборочных распределений.

142

Существуют и методы, позволяющие по анализу коэффициента асимметрии и эксцесса эмпирического распределения отнести его к тому или иному виду стандартных распределений.

К сожалению, этот метод очень ненадежен, поскольку даже в пределах одного, конкретного закона распределения его вид может оказаться разнообразным, в зависимости от числовых характеристик.

Втеории вероятностей для этого случая рекомендуется другой путь исследования. Прежде всего, следует построить гипотетическую вероятностную модель образования данной случайной величины, а затем проверить непротиворечивость гипотезы экспериментальным данным.

Вкачестве примера построения такой модели может быть технологический процесс формирования густоты насаждений растений пропашных культур.

Математические модели размещения семян при пунктирном посеве и процесса формирования густоты насаждений

Практически все индустриальные технологии возделывания пропашных культур основаны на использовании пунктирного посева и механизированном формировании густоты насаждений.

Затраты труда на выращивание растений в значительной мере зависят от степени равномерности размещения растений после появления всходов и соотношения вырезанных и не вырезанных участков рядка во время прореживания. Моделирование этого сложного технологического процесса на ЭВМ может существенно облегчить выбор оптимального режима прореживания в конкретных условиях произрастания растений.

Рабочим элементом практически всех пунктирных однозерновых сеялок являются ячеистые диски с отверстиями или присосками, которые захватывают семена из бункера и подают их в сошник. Неравномерное вращение высевающих дисков, связанное с тем, что привод их осуществляется от ходового колеса, перемещающегося по неровному полю со скольжением, колебания времени выпадения семян из ячеек в связи с изменчивостью их размеров, различием траекторий движения семян и раскатывания их в бороздке приводят к тому, что расстояния между семенами оказываются случайными.

Если шаг посадки невелик, то все перечисленные факторы приводят к чисто случайному размещению семян. В этом случае последовательность семян соответствует вероятностной схеме так называемого простейшего потока событий, которая приводит к пуассоновскому распределению числа семян на отрезке.

Распределение числа семян на отрезке рядка при полной случайности (отсутствия последствия) их размещения

143

В самом деле, допустим, имеется некоторый участок рядка длиной t, на котором расположены семена с плотностью (средним количеством, приходящимся на единицу длины) λ (рис. 5.48).

Рис. 5.48. Схема к выводу уравнения распределения числа семян на отрезке t при полностью случайном их размещении (т.н. отсутствии последствия)

Вероятность попадания одного семени на элементарный участок t есть P t , а вероятность отсутствия семени q 1 p 1 t . Если раз-

Вероятность Pkn того, что среди n отрезков окажется k занятых семенами на основании теоремы о повторении опытов может быть определена по биноминальному закону распределения:

Рkn Cnk Pk qn k .

После подставки значений Р и q можно получить:

При достаточно большом n это уравнение определит вероятность Рk попадания k семян на отрезок t. После несложных преобразований и использования формулы второго замечательного предела получится:

Но это закон Пуассона с параметром λt – среднее количество семян на участке t. Итак, в случае достаточно большой плотности семян в рядке λ (т.е. при малом расстоянии между семенами, когда относительное влияние всевозможных колебаний и возмущений значительно) распределение числа семян на отрезке рядка длиной t может подчиняться закону Пуассона.

Распределение промежутков между семенами при полной случайности (отсутствии последствия)

Пусть функция распределения промежутков между семенами имеет

вид:

F(t) P(T t) ,

т.е. функция F(t) определяет вероятность того события, что непрерывная случайная величина Т промежутков между семенами окажется меньше наперед заданного значения t.

Перейдя к вероятности противоположного события

1 F(t) P T t ,

144

можно найти вероятность того, что на участке рядка длиной t (рис. 5.49), начинающемся в момент появления одного из семян tk, не появится ни одного из последующих.

Рис. 5.49. Схема к определению уравнения распределения промежутков между семенами при отсутствии последствия

Вероятность отсутствия семян на участке t можно определить по закону Пуассона:

Для пуассоновского (простейшего) потока характерным является то, что коэффициент вариации

V m100 100% .

Опыт показывает, что при больших нормах высева (когда расстояния между семенами 1,5...2 см) действительно коэффициент вариации бывает равным 100% или близким к этому значению (табл. 5.9).

При больших расстояниях между семенами коэффициент вариации уменьшается до 30...40%. Основной же особенностью пунктирных сеялок и является возможность равномерной подачи семян с малой нормой высева.

Таблица 5.9

Распределение семян на пятисантиметровых участках длины рядка при среднем расстоянии между семенами 1,8 см

145

Посев, производимый такими аппаратами, является равномерноизреженным, с той точки зрения, что вместо некоторого количества семян при большой норме высева в сошник подается только одно (рис. 5.50).

Рис. 5.50. Схема образования расстояний между семенами при пунктирном посеве

Расстояния между семенами можно представить как

i 1

где ti - независимые случайные величины расстояний между событиями в пуассоновском потоке;

k+1 - число суммируемых отрезков.

Плотность распределения промежутков Т можно найти как композицию k+1 отрезков пуассоновского исходного потока событий.

Для определения такой композиции удобно воспользоваться методом характеристических функций, которые являются преобразованием Фурье от функции-оригинала:

После подстановки f(t) по уравнению (5.45) формула имеет вид:

Известно, что, если некоторая случайная величина U(t) представляет собой сумму отрезков j с плотностью f(t), т.е.

k 1

U (t) f j (t) ,

j 1

то ее характеристическая функция равна произведению характеристических функций слагаемых:

Характеристическая функция однозначно определяет дифференциальную функцию распределения fk(f) искомой композиции:

u (x) eixt fk ( f )dt .

0

146

Полученное соотношение для fk(f) известно как распределение Эрланга k-го порядка.

Если параметры исходного потока заменить соответствующими значениями «изреженного» эрланговского потока, у которого плотность равна

При использовании этого соотношения величина k может оказаться в общем случае и дробной.

Обобщением распределения Эрланга на случай дробных значений k является гамма-распределение:

т. е. гамма-распределение преобразуется в показательное с дисперсией

Dk 1/ 2k .

При k дисперсия гамма-распределения примет значение:

Иными словами, если k , то распределение (5.53) опишет регулярный поток с нулевой дисперсией. В качестве примера использования гаммараспределения приведен ряд распределения семян свеклы, высеянных аппаратом пунктирной сеялки ССТ-8А.

Таблица 5.10

Распределение расстояний между семенами при пунктирном посеве

(m=33,09мм, =28,32мм, V=85,58%, n=1132)

147

Чередование взошедших и невзошедших семян в рядке

Распределение растений в рядке отличается от распределения семян тем, что часть семян не взойдет, и от этого расстояния между взошедшими увеличатся.

Если всхожесть семян Р, а вероятность появления невзошедшего q 1 P , то вероятность того события, что вслед за взошедшим растением

окажется вновь всхожее семя будет равна Р, т.е. Р0 = Р.

Вероятность появления невсхожего семени после взошедшего растения равна q, а всхожего за невсхожим – Р. Следовательно, для того чтобы между двумя растениями оказалось одно невсхожее семя, необходимо одновременное появление этих событий с вероятностью q и Р, тогда Р1 = Рq.

Продолжая аналогичные рассуждения, можно получить равенство:

Втеории вероятностей закономерность (5.100) носит название гео-

метрического распределения.

Вкачестве примера в табл. 5.11. приведены результаты опытов по определению числа невзошедших семян между двумя взошедшими в полевых условиях.

Таблица 5.11

Чередование взошедших и невзошедших семян одноростковой сахарной свеклы

Распределение расстояний между растениями после появления всходов

Если между растениями нет невзошедших семян, то расстояния между ними сохранят закономерность семян fок(t) по соотношению (5.98).

При одном невсхожем семени между двумя растениями расстояние между ними представит композицию 2(k+1) промежутков ti с экспоненциальным распределением:

148

Продолжая соответствующие рассуждения, можно получить:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

Распределение растений будет содержать все перечисленные распределения:

f0k (t); f1k (t); f2k (t);...fmk (t) .

Относительное количество каждого из этих распределений определяется вероятностью появления промежутка между растениями, содержащего 0,1,2,3..., m невсхожих семян, т.е.

В качестве примера в табл. 5.12 приведены результаты проверки уравнения распределения растений в полевых условиях.

Таблица 5.12

Сравнение теоретических и фактических частот распределения растений сахарной свеклы D=28,6 см2; m=6,45 см; Р=0,46; q=0,54

Способы прореживания растений и статистическая характеристика длины букетов и вырезов

149

Прореживание всходов может быть осуществлено различными способами. Самые простые из них – боронование поперек рядков или под углом к ним, поперечная обработка культиваторами (букетировка) с различными размерами оставляемых букетов и вырезов. Обычно после этого проводят проверку букетов вручную.

С появлением вдольрядных прореживателей, которые способны работать с малыми длинами букетов и вырезов, доля ручного труда значительно сократилась, так как оставляемые растения располагались гораздо равномерней.

Вдольрядное прореживание может быть проведено по различным схемам: неуправляемое (слепое) и автоматическое (селективное).

Автоматическое, в свою очередь, может быть с постоянной длиной букета или выреза. Шаг прореживания может оставаться постоянным или изменяться, в зависимости от состояния всходов.

По данным ряда исследований, длина вырезов и букетов колеблется случайным образом в некоторых пределах, причем закон распределения этих интервалов близок к нормальному.

Среднеквадратическое отклонение длины букетов и вырезов при «слепом» прореживании находится в пределах 1...3 см, а при автоматиче-

ском 0,5...1 см (табл. 5.13).

Таблица 5.13

Числовые характеристики распределения длин вырезов и букетов прореживателями

5.5.8. Имитационное моделирование (метод Монте-Карло)

Для определения результатов, к которым приведет прореживание по той или иной схеме, может быть успешным метод статистического моделирования (метод Монте-Карло). В соответствии с этим методом на ЭВМ

150