892

Общее решение этого дифференциального уравнения можно записать в виде:

Выражение представляет собой трансцендентное уравнение для вычисления угловой скорости движения порции стеблей в подбарабанье в зависимости от угла поворота барабана. Эта скорость зависит от массы порции стеблей, скорости бича, нормального усилия сжатия вороха и коэффициентов трения барабана по вороху и соломы по деке.

На кафедре сельскохозяйственных машин ПГСХА разработана компьютерная программа, позволяющая проводить вычислительный эксперимент по модели обмолота хлебной массы [31], которая содержит, кроме рассмотренной модели движения хлебной массы в зазоре между декой и барабаном, а также процесса просеивания, возможность дробления зерна.

Часть расчетов приведена в таблице 5.6.

Контрольный пример работы по программе «Обмолот (Obmolot)»

121

Разработке теории сплошных сред приложили усилия многие выдающиеся ученые, такие как Ж. Лагранж, Я. Бернулли, Л.Эйлер, Р. Гук, Ш. Кулон, Л. Прандтль, С. Пуансон, Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин, Л.Д. Ландау и многие другие.

В основу механики сплошных сред положены четыре основных закона механики: закон сохранения массы, закон изменения количества движения (импульса), закон изменения момента количества движения, закон изменения кинетической энергии. Эти законы формулируются для объемов среды конечных размеров, так как при этом все слагаемые, входящие в соответствующие уравнения, имеют ясное механическое содержание.

Вообще говоря, для описания сплошной среды использовано исследование взаимодействия системы бесконечного множества точек, непрерывно заполняющих некоторую область пространства.

Для этой цели можно воспользоваться обычным приемом задания в функции от времени t координат (х1, х2, х3) отдельных точек сплошной среды, но чтобы индивидуализировать такие уравнения для различных точек среды, необходимо как-то выделить данную точку среды из остальных.

Следуя Ж. Лагранжу, в качестве определяющих выбор точки параметров можно принять ее декартовы или, вообще говоря, любые другие координаты а1, а2, а3 в некоторый начальный момент t = t0. Тогда уравнения-

Величина (ai) здесь обозначает совокупность всех значений аi . Уравнения (5.39) отвечают на вопрос, где будет находиться точка с

начальными координатами (ai) в произвольно заданный момент времени t. Совокупность значений (ai) и t носит название переменных Лагран-

жа, которые применяются повсюду, где приходится иметь дело с малыми смещениями частиц сплошной среды (например, в теории упругости, теории волн малой амплитуды и т.п.).

Более широкое применение имеют переменные Эйлера, определяющие проекции перемещений (Рk) или скоростей (Vk) в данной фиксирован-

Такое представление определяет поле скоростей в данной области пространства в любой момент времени.

Метод Эйлера более соответствует практическим требованиям, чем метод Лагранжа, так как экспериментальное измерение скоростей в данной точке пространства может быть зафиксировано существующими приборами, в то время как задание начальных координат отдельных точек среды должно быть отнесено, скорее, к мысленному эксперименту.

Вообще говоря, существует связь между переменными Лагранжа и

123

что представляет собой систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно (xi).

К необходимости обращения к такой модели привело, в частности, одно из наблюдений за работой пневматического высевающего аппарата пунктирной сеялки.

Силу присасывания семян к отверстиям дозирующих дисков находят в настоящее время либо по известной формуле И. Ньютона:

где с – коэффициент, характеризующий аэродинамические свойства семян; ρ – плотность воздуха; S – площадь поперечного сечения семян; V – скорость воздушного потока, которой обычно пользуются при определении воздействия воздуха на свободную частицу, помещенную в воздушный поток (рис. 5.34а), или по формуле:

P = k ΔP S1, (5.44)

где k – коэффициент присасывания;

Р – перепад давлений до и после отверстия;

S1 – площадь отверстия, если частица уже перекрыла отверстие (рис.

5.34б)

Рис. 5.34. Схема взаимодействия семян с воздушным потоком

Одной из первых экспериментальных работ по определению силы присасывания было исследование К.Веллера, проведенное на моделях семян в виде шаров, эллипсоидов и на семенах сахарной свеклы с разным расстоянием х от присасывающего отверстия.

Было установлено, что с уменьшением х сила присасывания возрастает и достигает максимальной величины при х = 0,2 мм. Семена к отверстиям присасываются хуже, чем шары.

Эффект дополнительного увеличения присасывающей силы вызывается изменением скорости воздуха, обтекающего вокруг семян, подобно тому как увеличивается подъемная сила крыла самолета при полете.

124

Основой для уравнений, описывающих течение воздуха около семян, могут служить уравнения механики сплошной среды.

1. Закон сохранения массы газа (5.45), приводящий к уравнению неразрывности (5.46):

3.Основное уравнение динамики сплошной среды:

где ρ – плотность среды; η и ζ – соответственно элементарный объем и его поверхность; Рп и F – плотность поверхностных и массовых сил; Р – тензор напряжений в среде газа; U – удельная внутренняя энергия среды; q – удельное количество энергии, подведенной извне.

Уравнения (5.45...5.51) содержат 13 неизвестных: (элементы тензора

Рхх, Pyx, Pxz, Рху, Руу, Pzy, Pxz, Pyz, Pzz, составляющие скорости Vx, Vy, Vz, и ρ), т.е. представляют собой незамкнутую систему.

Для замыкания этой системы используют обычно те или иные допущения о математических моделях среды: идеально упругая среда, подчиняющаяся линейному закону Гука, идеальная жидкость, лишенная внутреннего трения, вязкая жидкость, движение которой описывается законом И.Ньютона и т.д. Разумеется, что использование той или иной модели, идеализирующей реальный процесс, может привести к ошибкам, что ставит задачу об их оценке.

При сравнительно низких скоростях движения воздух чаще всего представляют в виде идеальной жидкости. В этом случае давление в среде

Уравнение динамики (5.46) в проекциях на оси координат в этом случае преобразуется к виду:

125

Если ρ = const, то жидкость несжимаема, а в случае

где k – показатель адиабаты, движение среды считают адиабатиче-

ским.

Обычно несжимаемыми признают капельные жидкости.

При идеализации движения воздуха отказ от учета его сжимаемости представляется чрезмерным.

Оценка возможных ошибок может быть осуществлена решением задачи об одномерном распространении малых возмущений в неподвижном газе. Установлено, что отношение плотностей и давлений в среде при изменении скоростей воздуха в этом случае составляет

где М – число Маха.

Расчеты по этим формулам показывают, что если V < 50 м/с, то относительная ошибка от неучета сжимаемости газа может составить 1%. В этом случае движение воздуха по трубке тока вокруг семян (рис. 5.35) может быть описано уравнением Бернулли.

Рис. 5.35. Схема движения воздуха по трубке тока

Если свойства реальной среды заменить свойствами идеальной изобарной жидкости и пренебречь притоком тепла извне на участке присасывания семян, то уравнение (5.50) баланса энергии сплошной среды может быть сведено к уравнению, описывающему изменение кинетической энергии Т и, в конечном счете [36], – к уравнению Бернулли:

126

Уравнение Бернулли позволяет определить давление воздуха в струях, обтекающих семена, если окажутся известными скорости элементов среды и геометрические параметры семян и аппарата, от которых зависят

координаты z1 и z2.

С помощью теоремы кинетической энергии (5.56) (теорема Бернулли) и теоремы количества движения (5.48) (теорема Эйлера) можно определить главный вектор сил давления среды на обтекаемый ею замкнутый контур. Величина этого вектора, а вместе с тем и подъемной силы R (как ее называют в аэродинамике), определяется формулой Жуковского:

где Г - циркуляция скорости потока V по контуру профиля С, определяемая контурным интегралом:

C

где V∞ – скорость набегающего на контур потока воздуха. Циркуляция потока зависит от вида потока, формы семян и кон-

струкции пневматических каналов сеялки.

В общем виде потоки воздуха могут быть плоскими (что характерно, например, для щелевых пневматических аппаратов), осесимметричными или пространственными. В зависимости от скорости воздуха и условий движения его в каналах потоки подразделяют на потенциальные (безвихревые) и вихревые.

Если движение среды безвихревое, то из условия равенства нулю вихря скорости rot V следует существование функции от координат и времени, связанной со скоростью V равенством:

или в проекциях на оси прямоугольных декартовых координат

называемой потенциалом поля скоростей.

Уравнением поверхности уровня потенциала скоростей будет слу-

жить

(x, y,t) const .

Траектории движения частиц среды в случае стационарного потока (t=0) совпадают с функцией тока

С помощью этой функции составляющие скорости u, v могут быть определены как частные производные:

Функция тока (х, у) и эквипотенциальные поверхности (х, у) (в случае плоского потока - кривые линии) образуют в совокупности гидродинамическую сетку, которая определяет движение среды (рис. 5.36а).

127

Дополнительными требованиями, позволяющими определить функцию в конкретных случаях, являются граничные условия.

При решении задачи обтекания тела используют два граничных условия:

Первое из условий является выражением непроницаемости тела, т.е. нормальные составляющие скорости воздуха должны быть равны 0.

По второму условию на весьма далеком расстоянии от тела, где возмущающее влияние тела на поток отсутствует (условно говоря, на бесконечности), поток должен иметь заданную скорость V .

Например, при обтекании сферы плоским потоком распределение скоростей на ее поверхности может быть выражено уравнением:

При решении этой задачи предполагалось, что в зоне движения воздуха около тела нет источника или стока. В действительности семена присасываются к отверстию высевающего диска, то есть именно к стоку, который расположен в непосредственной близости от семян. Преодоление затруднений такого рода может быть осуществлено методом наложения потоков или путем использования конформных преобразований [27], [28].

Метод наложения для потенциальных потоков может быть реализован с учетом того, что потенциал суммарного поля скоростей может быть представлен в виде суммы потенциалов отдельных составляющих:

1 2 ... n .

Вслучае потенциальных и вихревых потоков может быть использо-

ван графический способ построения линий тока результирующего потока

(рис.5.36б).

Данный способ легко и с достаточной точностью может быть реализован на ЭВМ.

5.5.6. Вероятностные (стохастические) модели технологических процессов, основанные на использовании стандартных законов распределения случайных величин

Основной особенностью технологических процессов, выполняемых сельскохозяйственными машинами, является случайный характер практически всех параметров, характеризующих как входные воздействия, так и результаты работы. Случайными являются и физико-механические свойства сельскохозяйственных сред и материалов. Вероятностные модели неизбежны при исследованиях, связанных случайными величинами (размеры семян, растений, урожайность, время обслуживания и др.), событиями (всхожесть семян, технические и технологические отказы и др.) и случайными процессами (динамика машин, автоматическое регулирование).

129

Наиболее полной характеристикой случайной величины является закон распределения.

Для дискретных случайных величин закон распределения может быть выражен в виде ряда распределения и функции распределения F(x), устанавливающий соответствие между возможными значениями х случай-

т.е. функция распределения F(x) определяет вероятность Р события, при котором случайная величина Х окажется меньше заранее заданного значения х.

Вид функции распределения для дискретных и непрерывных случайных величин представлен на рис. 5.37.

Рис. 5.37. Функция распределения случайных величин: а – дискретных; б – непрерывных

Функция распределения непрерывных случайных величин изменяется в интервале от 0 до 1:

0 F(x) 1.

Это – неубывающая функция, т.е. если х2 > x1, то F(x2) > F(x1) и вероятность того, что случайная величина Х окажется в пределах интервала х1>x2 и будет равна приращению функции на этом интервале

Функцию F(x) часто называют интегральной функцией распределе-

ния. Закон распределения непрерывных случайных величин может быть выражен также дифференциальной функцией или иными словами – плотностью распределения f(x) (рис. 5.38).

Если вероятность попадания случайных величин на заданный участок определять с помощью дифференциальной функции распределения, то

a

130