892

Откуда легко находят коэффициенты уравнения регрессии как в общем виде, так и для рассматриваемого примера двухфакторного эксперимента:

Поскольку x ji может принимать в матрице значение (+1) и (-1), то суммировать результаты опытов уj нужно с теми знаками, с которыми соот-

ветствующие вектор-столбцы ( xi ) находят в матрице.

Чтобы способ определения всех коэффициентов (включая b0) был одинаковым, в матрицу планирования вводят дополнительный фиктивный

вектор-столбца x0i , у которого все значения равны (+1), тогда матрица для трехфакторного эксперимента будет выглядеть следующим образом.

191

Рис. 6.3. Матрица планирования эксперимента с фиктивным фактором х0

Общий вид уравнения, определяющий коэффициенты уравнения регрессии, будет следующий:

Чем больше коэффициент bj, тем большее влияние фактор оказывает на исследуемый параметр у. Если коэффициент bj сопоставим с ошибками опыта, то соответствующий фактор хj считают несущественным.

Помимо определения коэффициентов bj план полного факторного эксперимента позволяет определить возможные взаимодействия факторов. В этом случае уравнение регрессии усложняют. Допустим, для трехфакторного эксперимента

у = b0+b1х1+b2х2+b3х3+b12х1х2+b13х1х3+b23х2х3+b123х1х2х3 (6.12)

В этом случае матрицу планирования можно представить так:

Рис. 6.4. Матрица планирования трехфакторного эксперимента с возможными взаимодействиями факторов

Соответствующие коэффициенты уравнения регрессии окажутся равными

192

т.е. знаки перед уi ставятся из столбца матрицы, где определено соответствующее взаимодействие.

Опыт изучения взаимодействий показал, что парные взаимодействия достаточно вероятны, но взаимодействия более высоких порядков встречаются исключительно редко.

6.2.4. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)

В полном факторном эксперименте число опытов снижено за счет линеаризации области исследования, т.е. вместо обычных трех уровней в

этом плане остается два, тогда общее число опытов будет, как уже отмечалось ранее, N = 2m.

Возможность дальнейшего снижения числа опытов состоит в том, что в плане ПФЭ количество опытов (строк матрицы) может быть существенно больше числа искомых коэффициентов. Например, при трехфакторном эксперименте всего четыре неизвестных коэффициента (и стало быть для их определения достаточно четырех уравнений), а матрица включает восемь опытов.

Если допустить, что проведение восьми опытов затруднительно (может быть они очень трудоемки или до роги) и попытаться обойтись только половиной (говорят полурепликой), то встает вопрос, какие из восьми планов ПФЭ нужно проводить и к каким ошибкам, к какой потере информации приведет такое сокращение.

Если задачу попытаться решить просто, допустим, взяв первую или вторую четверку опытов из матрицы ПФЭ, то получится:

Рис. 6.5. Варианты поиска возможности сокращения числа опытов Варианты оказались неудачными, так как матрицы стали несиммет-

ричными, поскольку в них сумма элементов х3 не равна нулю, т.е. наруше-

193

но свойство симметричности, и определить значение коэффициентов стало невозможно.

При поиске вариантов следует избегать случаев, когда векторстолбцы одинаковы или линейно зависимы.

Приемлемыми могут оказаться два варианта:

Заметим, что в приемлемых планах ДФЭ произведения всех трех факторов равняются либо

Выражения (6.13) называют определяющим контрастом. Приняв заранее то или иное значение определяющего контраста, найти матрицу дробного факторного эксперимента несложно.

Сокращение числа опытов по плану ДФЭ ведет к некоторой потере информации о возможных взаимодействиях.

Перемножив определяющий контраст матрицы (рис. 6.6а) последова-

тельно на х1 , х2 , х3 можно получить:

194

Для двухфакторного эксперимента, например, уравнение окажется следующим:

Поскольку количество коэффициентов в этом уравнении регрессии значительно больше, то и число необходимых опытов увеличится.

Если описанию области оптимума предшествует планирование первого порядка, то существует возможность включения его в новый план эксперимента. Центром нового плана может быть центр ПФЭ или его дробная реплика. При этом к плану первого порядка прибавляют определенное число точек, подобранных подходящим образом.

Новые точки располагают на координатных осях на расстоянии от центра плана (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Расположение опытов в центральном композиционном плане

Эти точки называют звездными, а расстояния – звездным плечом. Кроме этого, прибавляют один или несколько опытов в центре плана. В зависимости от критерия, по которому выбирают звездное плечо, различают ортогональные центральные и рототабельные центральные композиционные планы.

Число опытов N в центральных композиционных планах при m факторах определяют по формуле:

N NЯ .П. N No ,

где NЯ .П. 2т р – число опытов в использованном плане первого

порядка, составляющем так называемое ядро плана (здесь р – дробность реплики);

N = 2m – число звездных точек; No – число опытов в центре плана.

В качестве примера на рис. 6.8 приведен центральный композиционный план при двух факторах [48].

Из-за звездных точек в расширенной матрице уже нет одинаковых

197

Но матрица осталась не ортогональной (во всяком случае, для столбцов х0 ,

х12 и х22 ).

Рис. 6.8. Центральный композиционный план двухфакторного эксперимента

Ортогонализовать столбцы хi2 между собой можно за счет звездного

плеча .

Если в качестве ядра матрицы используется ПФЭ, то звездное плечо определяют из уравнения:

а в случае, когда ядро представляет реплика с дробностью р, то

198

Результаты расчетов по этим формулам при N0 = 1 приведены в табл.

6.8

изменение свободного члена b0 по модели (6.18):

Все коэффициенты регрессии, найденные таким образом, являются

независимыми один от другого, но при возвращении от переменных ~2 к xi

старым переменным хi2 , свободный член оказывается смешанным с коэф-

фициентом bii (см. 6.22).

К преимуществам ортогональных центральных композиционных планов относятся простые и удобные расчетные формулы. Однако, с точки зрения точности предсказания значений параметров оптимизации, эти планы имеют недостатки.

Большую точность обеспечивают так называемые D-оптимальные планы, но число опытов в них очень велико.

199

Очень близкими к D-оптимальным, но гораздо более простыми по использованию оказались так называемые Вт-планы. Эти планы содержат ядро ПФЭ 2m или ДФЭ 2m-p и включают 2п звездных точек, которые расположены на координатных осях на расстоянии от центра эксперимента.

Особенностью этих планов является то, что величина оказывается равной 1 для всех факторов, и центральной точки они не содержат.

В качестве примера на рис. 6.9 приведена матрица планирования Вт при т = 3 с ядром в виде ПФЭ 23.

Рис. 6.9. Матрица планирования Вт для трехфакторного эксперимента

Первые восемь точек составляют ядро плана Вт и соответствуют полному факторному эксперименту 23, а остальные шесть – звездные точки.

В этих точках варьируется только один какой-либо фактор xj на нижнем или верхнем уровне, а остальные находятся в центре эксперимента, и их нормированные значения равны нулю.

Оценки коэффициентов регрессии вычисляют по формулам:

В формулах (6.24) и (6.25) – N1 – число точек ядра плана, N1 = 2т-р. После составления уравнения регрессии возможно нахождение оп-

тимальных (максимальных или минимальных) точек этой функции.

Для этого нужно взять от нее все частные производные и приравнять нулю, т.е.

200