727

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н. Прянишникова»

Н. Ю. Горбунова, Н. Н. Платонова

РЯДЫ

Учебное пособие

Пермь

ИПЦ «Прокростъ»

2017

УДК 517.5 ББК 22.1

Г 676

Рецензенты:

И.К. Березин, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ИМСС УрО РАН;

И.Е. Полосков, д-р физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой математики ФГБОУ ВО «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

Г 676 Горбунова, Н.Ю.

Ряды : учебное пособие / Н.Ю. Горбунова, Н.Н. Платонова; М-во с.-х. РФ, федеральное гос. бюджетное образов. учреждение высшего образования «Пермская гос. с.-х. акад. им. акад. Д.Н. Прянишникова». – Пермь: ИПЦ «Прокростъ», 2017 – 156 с.

ISBN 978-5-94279-352-4

В учебном пособии изложены основные понятия, определения и положения теории числовых, степенных, с комплексными членами рядов, а также рядов Фурье; представлены приложения степенных рядов. Пособие содержит большое количество практических заданий, индивидуальные и тестовые задания.

Учебное пособие предназначено для использования как на лекционных и практических занятиях, так и при самостоятельной работе студентов направлений подготовки 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов, 20.03.01 Техносферная безопасность, 09.03.03 Прикладная информатика и будет полезным студентам, магистрантам и аспирантам других направлений подготовки сельскохозяйственных вузов.

УДК 517.5 ББК 22.1

Печатается по решению методического совета Пермской государственной сельскохозяйственной академии имени академика Д.Н. Прянишникова (протокол № 7 от 19 июня 2017 г.).

Учебное издание

Горбунова Наталья Юрьевна, Платонова Нина Николаевна РЯДЫ

Учебное пособие

Подписано в печать 23.06.2017. Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 9,75. Тираж 100 экз. Заказ № 87

ИПЦ «Прокростъ»

Пермской государственной сельскохозяйственной академии имени академика Д.Н. Прянишникова,

614090, Россия, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23 тел. (342) 210-35-34

© ИПЦ «Прокростъ», 2017

СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………... 5

ГЛАВА 1. Числовые ряды …………………………….. 11

§1. Ряд и его сумма …………………………………. 11

1.Основные понятия …………………………… 11

2.Прогрессии …………………………………… 13

3.Обобщенный гармонический ряд …………… 16

4. Свойства сходящихся рядов ………………… 16

§2. Необходимый и достаточные признаки сходимости рядов ………………………………. 17 1. Необходимый признак сходимости ряда …… 17

2. Достаточные признаки сходимости рядов ….. 20 I Признак сравнения …………………………. 20 II Признак сравнения (предельный признак).. 22 Признак сходимости Даламбера …………….. 26 Интегральный признак сходимости Коши …. 28 Радикальный признак сходимости Коши …... 31

§3. Знакопеременные ряды ………………………… 33

1.Основные понятия …………………………… 33

2.Свойства знакопеременных рядов ………….. 34

§4. Знакочередующиеся ряды ……………………… 34

1.Основные понятия …………………………… 34

2.Признак Лейбница …………………………… 34

3.Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся рядов …………………... 36

§5. Действия над рядами …………………………… 38

Контрольные вопросы № 1 …………………………... 41

ГЛАВА 2. Функциональные и степенные ряды ……. 44 §6. Функциональные ряды ………………………… 44 §7. Степенные ряды ………………………………… 44

1.Основные понятия …………………………… 44

2.Сходимость степенных рядов ……………….. 44

3.Дифференцирование и интегрирование степенных рядов ……………………………… 46

4.Ряды Тейлора и Маклорена …………………. 51

5.Разложение в ряд элементарных функций …. 52

§8. Приложения степенных рядов ………………… 56

1.Применение рядов к приближенным вычислениям …………………………………. 56

3

3.Применение рядов к решению дифференциальных уравнений ……………… 64

§9. Ряды с комплексными членами ………………. 67

1.Числовые ряды с комплексными членами …. 67

2.Степенные ряды с комплексными членами … 74 Контрольные вопросы № 2 …………………..………. 78

ГЛАВА 3. Ряды Фурье …………………………………. 80 §10. Ряды Фурье для периодических функций …. 80

1.Периодические функции. Периодические процессы ……………………………………...…. 80

2.Тригонометрический ряд ……………………. 81

3.Ряды Фурье для функций с периодом 2π , заданной на отрезке [– ; ]……………………… 81

4.Ряды Фурье для четных и нечетных функций

спериодом 2π …………………………………... 82 5. Ряды Фурье для функций с любым периодом

2l …………………………………………………. 89

6. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

спериодом 2l ……………………………………. 89

§11. Ряды Фурье для непериодических функций... 92 1. Ряды Фурье для непериодических функций,

заданных на отрезке от [–l, l] ………………... 92 2. Ряды Фурье для непериодических функций,

заданных на отрезке от [0, l] ………………… 96

3.Ряды Фурье для непериодических функций, заданных на отрезке от [a, b] ………………… 101

Заключение………………………………………………. 104

Индивидуальные задания……………………………… 105

Тестовые задания……………………………………….. 144 Ответы …………………………………………………… 150

Рекомендуемая литература …………………………… 154 Использованная литература…………………………… 155

4

Введение

В курсе математического анализа ряды являются мощным средством изучения функций и сильным вычислительным аппаратом, позволяющим находить их значения, вычислять интегралы и решать другие прикладные задачи. Во многих случаях точное выполнение указанных математических операций оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение при помощи рядов с любой, достаточной для практического использования, точностью. Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа, в том числе, и для решений дифференциальных уравнений. Поэтому знакомство студентов с теорией рядов – обязательная часть математического образования.

Практически все понятия математического анализа, появлявшиеся даже вне связи с теорией рядов, применялись к ней и служили инструментом для испытания значимости этих понятий. Без теории рядов невозможно представить дифференциальное и интегральное исчисления, т.к. ее алгоритмы и положения абсолютно необходимы при работе с физическими явлениями и физическим миром. Ряды играют большую роль не только в математике, но и в экономике, инженерии, геодезии, химии, физике, астрономии, биологии, архитектуре, эстетике, теории музыки, криптографии и т.д.

Изучение теории рядов начинается со знакомства с ее основными понятиями, с установления связей между ними и их свойств, а затем указывается, для решения каких практических задач используется построенная теория. Однако исторический ход формирования научной теории почти никогда не совпадает с логикой ее изучения. Чаще всего в процессе развития науки практические задачи ставили ученых перед необходимостью использования того или иного научного аппарата, а уже потом он усовершенствовался, обобщался и обретал математическую строгость. Мы изучаем уже сформировавшуюся теорию, однако знание истории ее возникновения, развития и разрешения той или иной задачи часто не только объясняет необходимость этого решения и его приме-

5

нения, но и помогает выработать более общий взгляд на изучаемый вопрос. Приведем краткий исторический обзор развития теории рядов, который поможет увидеть ее связь с различными разделами математики.

Понятие бесконечных сумм было известно уже ученым Древней Греции. Они применяли «метод исчерпывания» при вычислении площадей фигур и поверхностей, объемов тел, длин кривых и т.д. При этом разбивали исследуемую линию, фигуру или тело на счетное число частей с известными длиной, площадью или объемом и находили сумму этих величин. Разработку и применение этого метода осуществил Евдокс Книдский (408–355 до н.э.), хотя эту идею пытался оформить еще Антифон (V в. до н.э.). Метод исчерпывания применялся и Евклидом (325–265 до н.э.), и Архимедом (III в. до н.э.), и Паппом Александрийским (IV в.); рассматривался он и некоторыми их последователями. Составной частью этого метода являлось и нахождение суммы бесконечного множества слагаемых. Так, Архимед для вычисления площади сегмента параболы нашел сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 0,25.

Дальнейшее развитие теория рядов получила в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Часто бывает удобно разложить ту или иную функцию в функциональный ряд, который сходится к ней на некотором множестве. Другими словами, нередко ставится такая задача: пусть дана функция f(x). Найти такой функциональный ряд, который на множестве D сходится и сумма его есть функция f(x). Однако математики, с именами которых мы связываем сегодня формирование теории рядов, действовали по другой схеме. Впервые это сделал И. Ньютон (1642–1727). В 1676 г. в его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула, которую мы знаем как формулу бинома Ньютона. Развивая его идею, английский математик Брук Тейлор (1685–1731) в 1715 г. доказал, что любой функции, имеющей в точке х0 производные всех порядков, можно сопоставить ряд. Колин Маклорен (1698–1746) в работе «Трактат о флюксиях» (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функ-

6

цию, – единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией.

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие. Например, Л. Эйлер (1707–1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной х конкретное значение х0. Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер считал значение исходной функции в точке х0.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Ученый называл ряд сходящимся, если его общий член un стремится к нулю при возрастании n. Однако это условие, как мы теперь знаем, является лишь необходимым для сходимости ряда, т.е. возможны случаи, когда общий член ряда стремится к нулю, а ряд расходится.

Л. Эйлер одним из первых начал развивать теорию расходящихся рядов и получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826 г. Н.Г. Абель (1802–1829) скептически называл расходящиеся ряды «дьявольским измышлением». Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в. В современной математике расходящиеся ряды составляют важный раздел. В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789–1857). Именно он заявил в 1826 г., что расходящийся ряд не имеет суммы. Он же сформулировал критерий сходимости рядов и достаточное условие сходимости ряда, которым мы обычно пользуемся на практике, как и другими достаточными признаками сходимости.

В 1768 г. французский математик и философ Ж.Л. Даламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в

7

1821 г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемый теперь признаком Даламбера. Затем были доказаны следующие признаки: радикальный и интегральный Коши, Й.Л. Раабе (1801–

1859), Э.Э. Куммера (1810–1893), Бертрана (1822–1900),

Гаусса (1777–1855). Таким образом, мы видим целую цепь все усиливающихся, но при этом усложняющихся признаков сходимости рядов.

Названные выше признаки исследовали сходимость знакоположительных рядов, играющих важную роль в исследовании функциональных рядов. Не менее важны и знакочередующиеся ряды. Для исследования их сходимости используется признак Г.В. Лейбница (1646–1716), великого немецкого математика и философа.

Числовые знакоположительные и знакочередующиеся ряды используются нами для исследования функциональных рядов, среди которых наиболее применимы в механике и различных разделах физики степенные и тригонометрические. Во второй половине XVIII в. началось активное развитие математики, близкой к современной, когда такие понятия, как функция, дифференциальное уравнение, ряд стали приобретать тот смысл, который в них сейчас вкладываем мы. К этому времени ученые уже понимали, что существуют геометрическая и аналитическая модели всего, что происходит в природе и технике. При этом аналитическая модель продуктивнее, поскольку, как правило, обобщает данные, получаемые средствами геометрии. В 1715 г., исходя из соображений механики и геометрии, Б. Тейлор вывел уравнение, описывающее малые колебания струны с закрепленными концами – дифференциальное уравнение с частными производными, с которого начала свое развитие математическая физика. Он нашел частное решение такого уравнения, которое представляло собой периодическую функцию.

Л. Эйлер развил теорию колебаний следующим образом: трактуя каждую гармонику как простое гармоническое колебание, а сумму ряда как характеристику сложного колебательного движения, получим разложение этого движения в сумму отдельных гармонических колебаний. Это стало яс-

8

ным уже в XVIII в. В 1748 г. в одной из своих пятнадцати работ, посвященных задаче о колебаниях струны, Эйлер дал решение одного из частных случаев уравнения в виде тригонометрического ряда, а в 1753 г. Д. Бернулли (1700–1782) предложил уже общее решение уравнения в аналогичной форме, исходя из того, что звук, издаваемый колеблющейся струной, складывается из основного тона и бесконечного множества обертонов. Эйлер считал такую форму представления функции недостаточно общей. Встал вопрос: какой же класс функций может быть представлен тригонометрическими рядами? Ответить на него удалось только в XIX в. В 1807 г. Ж. Б. Фурье (1756–1830) в работах по аналитической теории тепла доказал, что функции, заданные на конечных участках отрезка [–l, l] различными уравнениями, представимы на любом таком отрезке тригонометрическим рядом.

В современной строгой теории рядов основными задачами являются:

определение понятия суммы бесконечной последовательности слагаемых;

установление признаков, по которым можно судить, имеет ли данный ряд сумму;

выделение классов рядов, с которыми можно обращаться как с конечными суммами;

выведение формул, позволяющих представить заданные функции в виде сумм рядов, состоящих из сравнительно простых функций;

другие прикладные применения рядов (приближенное вычисление рядов, решение дифференциальных уравнений, вычисление пределов, определенных интегралов и др.).

Целью изучения «Теории рядов» является получение знаний по теории и применению рядов, составляющих неотъемлемую часть фундаментального математического образования. Основной задачей дисциплины является изучение теоретических вопросов, связанных с исследованием рядов различных типов. В процессе обучения необходимо развить навыки творческого применения рядов к решению разнообразных проблем математического анализа.

9

Студенты, завершившие изучение данного курса, должны уметь классифицировать тип ряда; знать основные свойства ряда, необходимый и достаточные признаки сходимости ряда применительно к различным классам рядов, алгоритмы разложения функции в степенной ряд и ряд Фурье; владеть практическими навыками применения рядов к вычислению значений функций, определенных интегралов, решению дифференциальных уравнений.

Вданном учебном пособии рассмотрены следующие темы: числовые знакоположительные и знакопеременные ряды, функциональные (степенные и тригонометрические) ряды, ряды с комплексными членами, а также приложения степенных рядов (приближенное вычисление значений корней, тригонометрических функций, логарифмов, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений).

Учебное пособие содержит индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов, решение типового варианта № 0, а также тестовые задания. Содержание заданий отвечает требованиям рабочих программ дисциплин «Математика» и «Теория рядов и дополнительные функции» для студентов инженерного факультета и факультета прикладной информатики всех направлений подготовки.

Учебное пособие содержит рекомендуемую и использованную литературу. Материал изложен доступно, приводится большое количество примеров с подробным анализом решения, что дает студентам возможность самостоятельно изучать основные разделы теории рядов или дополнить лекционный курс и разобраться в решении типовых задач, связанных с освоением основных разделов этой теории.

Вучебном пособии использованы следующие обозначе-

ния:

– начало решения задачи,

– конец решения задачи.

10