727

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

г) Данную функцию

можно записать так:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

				(n 1)! xn 1
				(n 1)! xn 1
lim	u	n 1	lim	(n 1) n 1
lim	un		lim		n! xn
n	un		n		n! xn

					n n

lim	n!(n 1)xn x n n
	(n 1) n(n 1)	n! xn
n

n 1

1 1

n 1

lim

lim 1

en n 1

n n 1

n 1

R e.

31.Найти область сходимости ряда:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

2 n

n 1

n x

n 1

n! x

д)

; е)

;

ж)

;

3n 2n 1

3n 1

(2n)!

n 1

n 1 (2n 1)2

n 1

(x 8)3n

2n 1

з)

; и)

(2x 3)

;

к) x

;

n 1

(x 2)

л)

ln n (n

n 1

32.Найти радиус сходимости ряда

n! x

n 1 (n 1) n

4. Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем точку х = а, и в этом интервале имеет непрерывные производные от первого до n-го порядка включительно, то она может быть представлена в виде суммы многочлена n-й степени и остаточного члена Rn(x) по формуле Тейлора :

f (x)

f (a)

(a)

(x a)

(a)

(x a)2

f (a)

(x a)3

...

2 !

3 !

f (n) (a)

(x a)n R

(x) , где R (x)

f (n 1) (c)

(x a)n 1 –

n !

1) !

остаточный член, x <c <a (или а <c <х).	(7.4)
Если в формуле Тейлора положить а = 0 и если для неко-

торого значения х остаточный член Rn(x) в формуле Тейлора
стремится к нулю при n ,					то получим р я д Маклорена :
f (x) f (0)	f (0)	x	f (0)	x2	f (0)	x3 ...	f (n) (0)	xn ... (7.5)
	1!		2 !		3 !		n !

33. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=ex.

Решение. Последовательно дифференцируя функцию

f(x), будем иметь:

f '(x)=ex; f ''(x)=ex;… f (n)(x)= ex….

Вычислим значения самой функции и еѐ производных при

х=0: f '(0)= f ''(0)=…= f (n)(0)= e0.

Подставив найденные значения производных в правую часть формулы ряда Маклорена, получим следующий сте-

пенной ряд:	ex 1	x		x2	...	xn	..., область сходимости

	1!		2!			n!

которого ( x ) (см. зад. 29 б).

5. Разложение в ряд элементарных функций

Во многих случаях разложение функции в степенной ряд можно получить, используя стандартные разложения. Приведем таблицу разложений в ряд некоторых функций.

1)	ex 1	x				x2		...					xn		...				( x )					(7.6)
1)	ex 1							...							...				( x )					(7.6)
	1!		2!											n!
2)	sin x x				x3					x5		... ( 1)n 1							x2n 1			...( x )		(7.7)
2)	sin x x											... ( 1)n 1							(2n 1)!			...( x )		(7.7)
			3!					5!											(2n 1)!
3)	cos x 1			x2					x4			... ( 1)n						x2n		...		( x )		(7.8)
3)	cos x 1											... ( 1)n								...		( x )		(7.8)
			2!					4!										(2n)!
4)	arcsin x x						1				x3			1 3		x5	...			1 3 ... (2n 1)			x2n 1		...
4)	arcsin x x													2 4			...				2 4 ... (2n)				...
							2				3			2 4		5					2 4 ... (2n)		2n 1
																				( 1 x 1)				(7.9)

n 1

2n 1

arctg x x

... ( 1)

...

( 1 x 1)

2n 1

(7.10)

Биномиальный ряд

(1 x)m 1

m (m 1)

m (m 1) (m 2)

...

m (m 1) ... (m n 1)

xn ...

( 1 x 1)

(7.11)

1 x x2

x3 ... xn ...

( 1 x 1)

(7.12)

1 x

n 1

ln(1 x) x

... ( 1)

...

( 1 x 1)

(7.13)

sh x x

x2n 1

...

( x )

(7.14)

(2n 1)!

10) ch x 1

x2n

...

( x )

(7.15)

(2n)!

Используя эти разложения, можно довольно просто находить разложения многих других элементарных функций. Например, в любом разложении можно х заменить любой степенной функцией.

Иногда разложение функции в ряд получается суммированием табличных или ранее найденных разложений, а также с помощью умножения известного разложения на число.

При разложении функции в ряд можно также использовать дифференцирование и интегрирование рядов.

Если функция представляет собой произведение двух функций, то ее разложение может быть получено перемножением рядов, в которые предварительно разлагаются перемножаемые функции.

Если функция представляет собой степень некоторой функции, то ее разложение может быть получено умножением ряда самого на себя или возведением в эту степень ряда. Так, возвести ряд в квадрат можно, пользуясь следующей формулой:

2a a x 2a a

2 x2 2a a 2a a

0 1

0 3

1 2

n 0

2a a

x4 ...

34.

Разложить в ряд Маклорена функции:

а) f(x)=е–2х;

б) f(x)=sin 3x;

в) f(x)=sin2 x;

г)

f (x)

;

д) f (x)

ln(1 x)

;

е) f (x) arctg 2 x ;

1 x

ж) ln

1 x

Решение.

а) Заменив в формуле (7.6) х на – 2х, получим искомое

разложение:

e 2 x

( 2x)

( 2x)2

( 2x)3

...

( 2x)n

...

или

2 !

n !

2 x

22 x2

23 x3

n 1 2n 1 xn 1

... ( 1)

...

2 !

(n 1) !

б) Заменив в формуле (7.7) х на 3х, получим искомое раз-

ложение:

33 x3

35 x5

n 1 32n 1 x2n 1

sin 3x

...

( 1)

...

5 !

(2n 1) !

в) Для разложения в степенной ряд функции f(x)=sin2x преобразуем ее так, чтобы понизилась степень функции

sin 2 x	1 cos 2x	и найдем предварительно разложение функ-
	2

ции cos2x, для чего заменим в равенстве (7.8) х на 2х:

cos 2x = 1

(2x)2

(2x)4

(2x)6

.... Тогда

1 cos 2x =

(2x)2

(2x)4

(2x)6

...

2x2

23 x4

25 x6

n 1

22n 1 x2n

и sin

x =

... ( 1)

...,

(2n)!

где x .

(1 x) 2 . Чтобы найти искомый ряд, достаточно в разложе-

нии (7.11) положить m 12 . Тогда получим:

... или

1 x

1 3

1 3 5

1 3 5 7

x4 ...

1 x

22 2!

23 3!

24 4!

д)

Данную

функцию f (x)

ln(1 x)

можно

переписать

1 x

так: f (x) (1 x) 1 ln(1 x) .

Функцию

(1 x) 1

можно раз-

ложить в степенной ряд, положив в разложении биномиального ряда (7.11) m 1: (1 x) 1 1 x x2 x3 ....

Разложением функции ln(1+x) служит ряд (7.13).

Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить указанные ряды (ввиду абсолютной сходимости этих рядов). Следовательно,


ln(1 x)		1			x x2 x3				... x				x		2		x	3		x		4	...
ln(1 x)													x				x			x

1 x														2		3					4
1 x														2		3					4
			1			2		1	1		3			1		1			1				4
x 1				x			1			x		1									x			...,
x 1				x			1			x		1									x			...,
			2					2	3					2		3 4
где 1 x 1.
е)	Разложим функцию f (x) arctg 2 x																				в ряд Маклорена,

пользуясь формулой (7.10) разложения в ряд arctg x и формулой возведения степенного ряда в квадрат.

arctg 2 x x2 23 x4 4523 x6 10529 x8 ... ( 1 x 1) .

ж) Представим функцию ln 1 x в виде:

1 x

ln 1 x ln(1 x) ln(1 x) . Первый логарифм дан разложени-

1 x

n 1 xn

ем (7.13): ln(1 x) x

... ( 1)

..., а второй по-

лучен из него заменой х на –х:

ln(1 x) x

...

.... Их разность равна:

1 x

... ( 1)n 1

ln(1 x) ln(1 x) ln

...

1 x

... ( 1)n 1

...

... x

2n 1

... x

...

... 2 x

...

... .

2n 1

1 x

2n 1

Таким образом,

2 x

...

(7.16),

1 x

2n 1

область сходимости 1 x 1.

35. Используя известные разложения, разложить в ряд

Маклорена функции:

а) f(x) = е–х ;

б) f(x) = sin 2x;

в) f(x) = cos(–3x);

г) f(x) = sin(x2);

д) f (x) e x2 ;

е) f(x)=cos2x;

ж) (1 + х)–1;

з)

1 x

;

и)

1 x

;

м) ex ln(1 x) ;

к)

(1 x)

2 ;

л)

;

1 x2

н)

cos x

;

о)

cos

1 x

3 1 x

§8. Приложения степенных рядов

1.Применение рядов к приближенным вычислениям

Приближенное вычисление корней

36. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001 зна-

чения корней: а) 417 ; б) 3130 ; в) 4e .

Решение.

а) Преобразуем данный корень

														1
							1					1
															4
															4
4 17 4 16 1			4 16 1					2 1								и применим биноми-
4 17 4 16 1			4 16 1					2 1								и применим биноми-
						16						16
альный ряд (7.11), полагая x										1	, m					1	.
альный ряд (7.11), полагая x											, m						.
									16							4
												1				1				2
				1														1		2
				1

				4
4 17 2 1		1		4					1				4			4			1
		1			2				1				4			4			1
					2		1
							1	4	16							2!
	16							4	16							2!			16

	1	1			1
			1			2	1	3
			1			2		3
	4	4		4

								...
								...
				3!			16
				1			3		1 3 7
2 1
2 1						2 42 162			43 163
				4 16		2 42 162		6	43 163

... . Чтобы определить,

сколько взять первых членов этого знакочередующегося сходящегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых членов ряда:

a1 1,

a2 0,01562,

a3 0,00037 ,

a4 0,00001. Согласно

свойству знакочередующегося сходящегося ряда, если ограничиться суммой трех первых членов ряда, то ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше

2a4 2 0,00001 0,0001.

Следовательно, 417 2(1 0,01562 0,00037 ) 2,0305 .

б) Преобразуем данный корень

																	1
										1					1
																	3
																	3
3 130 3	125 5 3						125 1					5 1								и применим бино-
3 130 3	125 5 3						125 1					5 1								и применим бино-
										25					25
миальный ряд (7.11), полагая x													1	, m				1	.
миальный ряд (7.11), полагая x														, m					.
													25				3
				1
		1
					3
					3
3 130 5 1
3 130 5 1
		25
			1			1							1		1			1
								1	1			2				1					2	1	3
								1				2				1					2		3
5 1	1		3			3							3		3			3						...

	3 52
	3 52					2!			25								3!					25


											57

5	1	1 2		1 2 5			... 5	1	1	1	...
	3 5	2 32 53	6 33 55					3 5	32 53	34 54

Четвертый член ряда				1		0,0000198 0,0001, значит, для

					34 54

вычисления значения корня с заданной точностью можно взять сумму только трех первых членов знакочередующегося сходящегося ряда:

				1				1
3 130 5				1				1		5 0,0667 0,0009 5,0658 .
3 130 5				3 5			32 53			5 0,0667 0,0009 5,0658 .
				3 5			32 53
	в) Для приближенного вычисления 4 e используем раз-
ложение функции ех (7.6), полагая x															1		:
ложение функции ех (7.6), полагая x															4		:
															4
			1		1 2				1 3			1 4		1 4
1


			4		4				4			4		5
e 4 1			4		4				4			4		5		...
e 4 1																...
1!					2!				3!			4!		5!
1		1	1			1			1			1	...
1													...
4			32		384			6144			122880
Шестой член разложения												1	0,0001, значит, для задан-

											122880

ной точности достаточно найти сумму пяти первых членов разложения сходящегося ряда:

	1	1	1	1
4 e 1					1,2840.
	4	32	384	6144

37.Вычислить приближенно с указанной степенью точности :

0,001; в)

0,001;

а)

1008,

0,001;

б)

0,994,

1,015,

e, 0,0001;

г) 3

500,

0,001;

д)

е)

, 0,001.

3 e

Вычисление значений тригонометрических функций

Для приближенного вычисления значений некоторых тригонометрических функций в точке х = а используют разложение соответствующей функции в ряд, подставляют вместо х значение а и вычисляют сумму нескольких первых членов составленного ряда, удовлетворяя заданной точности вычислений.

38. Вычислить приближенно с указанной степенью точ-

ности :
а) cos10 , 0,0001;								б) arctg 0,9;			0,01.
		Решение.
		а) Т.к. cos 10 cos							, то, полагая в разложении косину-
		а) Т.к. cos 10 cos					180		, то, полагая в разложении косину-
							180
сов (7.8) x					, получим:
сов (7.8) x					, получим:
	180
						2			4
											2	4

cos			1	180			180			... 1			...
cos	180		1	2!			4!			... 1	2! 1802	4! 1804	...
	180			2!			4!				2! 1802	4! 1804

Так как третий член разложения	4	0,001, для обеспе-
	4! 1804

чения указанной точности достаточно найти сумму двух чле-

нов разложения: cos								1				2				0,9998 .
нов разложения: cos								1			2! 1802					0,9998 .
						180					2! 1802
	б) Для вычисления arctg 0,9												используем формулу (7.10)
разложения в ряд arctgx , полагая в нем x 0,9 :
arctg 0,9 0,9				0,93			0,95			0,97			0,99					0,911		0,913		0,915
arctg 0,9 0,9
				3			5		7				9				11		13		15
	0,917	... 0,9			0,729				0,59049						0,4779				0,38742
		... 0,9
	17					3			5								7		9
	0,313811		0,254187					0,205891						0,166772					... 0,9 0,243
																			... 0,9 0,243
	11			13					15								17

+0,118–0,068+0,043–0,029+0,0196–0,014+0,0098–….

Так как девятый член разложения 0,0098 0,01, для обеспечения заданной точности достаточно вычислить сумму первых восьми членов разложения: arctg 0,9 0,9 0,243 0,118

0,068 0,043 0,029 0,0196 0,014 0,73 .

39.Вычислить приближенно с указанной степенью точ-

Приближенное вычисление логарифмов

Для приближенного вычисления логарифмов вида ln a

пользуются разложением (7.16) функции ln			1		x	в ряд, нахо-
				1	x

дя предварительно х из равенства	1 x	a и				подставляя
	1 x

найденное значение вместо х в указанное разложение. Затем вычисляют сумму нескольких первых членов составленного ряда, удовлетворяя заданную точность вычислений.

40. Вычислить приближенно с точностью 0,001:

а) ln2;

б) ln3,5.

Решение.

а) Для вычисления ln2 используем формулу (7.16) разло-

жения ln

1 x

, полученную в примере 38:

1 x

2n 1

2 x

...

... .

2n 1

Найдем для этого разложения значение х.

	1 x	2 2(1 x) 1 x 3x 1 x														1	.
		2 2(1 x) 1 x 3x 1 x															.
	1 x														3
Подставим найденное х в разложение.
			1				1	3	1	5


		1

						1									1			1	1
			3			1	3		3						1			1	1
	ln 2 ln		3		2						...		2							... .
	ln 2 ln				2						...		2					3	5	... .
			1															3	5
		1	1			3	3		5						3			3 3	5 3
		1		3														3 3	5 3
				3

Т.к. четвертый член разложения												1 2		0,00013 0,001, для
Т.к. четвертый член разложения												7 37		0,00013 0,001, для
												7 37

удовлетворения заданной точности достаточно вычислить сумму первых трех слагаемых разложения:

	1		1		1
ln 2 2						0,693.
			33		35
3		3		5

б) Воспользуемся формулой (7.16) разложения ln 1 x ,

1 x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf