727

Контрольные вопросы № 1

1.Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов.

2.Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии. Приведите примеры.

3.Исследуйте сходимость ряда Дирихле. Приведите примеры.

4.Необходимый признак сходимости ряда.

5. Можно ли утверждать, что ряд иn сходится, если

n 1

lim иn 0?

n

6. Является ли необходимым для сходимости ряда иn

n 1

условие:

а) lim un 1; б) не все члены ряда – числа un – равны 1;

n

в) lim иn 0; г) не все члены ряда – числа un – равны 0?

n

7. Верно ли, что а) если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены;

б) если частичные суммы ряда ограничены, то ряд сходится?

8.Признаки сравнения рядов с положительными членами. Приведите примеры применения этих признаков.

9.Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Приведите пример применения этого признака.

10.Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите примеры применения этого признака.

11.Интегральный признак Коши сходимости ряда. Приведите примеры применения этого признака.

12.Существует ли ряд, который

а) по признаку Коши сходится, а по признаку Даламбера расходится?

б) по признаку Даламбера расходится, а по интегральному признаку сходится?

в) по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши расходится?

41

13.Дайте определение знакопеременного ряда, его условной и абсолютной сходимости. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

14.Следует ли сходимость знакопеременного ряда из его абсолютной сходимости?

15.Дайте определение знакочередующегося ряда, его условной и абсолютной сходимости. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

16.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите примеры его применения.

17.Верно ли для знакопеременного ряда ( 1)n иn , что

n 1

а) если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно?

б) если ряд сходится условно, то он не сходится абсолютно?

в) если ряд сходится абсолютно, то является сходящимся?

18.Верно ли, что если знакопеременный ряд ( 1)n иn

n 1

сходится, то un 0 (при n ) монотонно?

19.Верно ли для знакопеременного ряда ( 1)n иn , что

n 1

а) если последовательность un монотонна, то ряд сходится?

б) если un 0 (при n ), то ряд сходится?

в) если un 0 (при n ) монотонно, то ряд сходится условно?

г) если un 0 (при n ) монотонно, то ряд сходится?

20.Верно ли для знакопеременного ряда, что а) ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда

сходятся два ряда – ряд из положительных членов и ряд из отрицательных членов?

б) если ряд сходится условно, то расходятся два ряда – ряд из положительных членов и ряд из отрицательных членов?

42

в) если один из двух рядов (с положительными членами и отрицательными членами) сходится, а другой – расходится, то исходный ряд расходится?

г) если ряд сходится условно, то ряд из его положительных членов сходится?

21.Что можно сказать о сходимости ряда иn vn , если

дится?

43

ГЛАВА 2. Функциональные и степенные ряды

§6. Функциональные ряды

Ряд иn (x) u1(x) +u2 (x) + и3 (x)+…+ иn (x) + … называ-

n 1

ется ф у н к ц ио на л ьн ы м , если его члены являются функциями от х, имеющими общую область определения.

При одних значениях х из функционального ряда получаются числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися. Если функциональный ряд сходится при х = х0, то говорят, что ряд сходится в точке х0.

Областью сходимости функционального ряда называется совокупность всех значений аргумента х, при которых этот ряд сходится.

§7. Степенные ряды 1. Основные понятия

Если члены ип(х) функционального ряда являются степенными функциями аргумента х, то ряд называется степенным. Степенным рядом называется ряд вида

a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ... an (x x0 )n ,

n 0

где х0 – данное число, а а0, а1, а2, а3 ... – известные числовые коэффициенты.

В частности, если х0=0, то получаем степенной ряд:

a0 a1x a2 x2 a3 x3 ... an xn ... an xn , который всегда

n 0

сходится при х = 0.

2. Сходимость степенных рядов

Об области сходимости степенного ряда можно судить, основываясь на следующей теореме.

Теорема Абеля. Если степенной ряд an xn сходится

n 0

при x x0 0, то он сходится абсолютно при любом значе-

44

нии х, удовлетворяющем неравенству x x0 . Если же сте-

пенной ряд an xn расходится при х = х0, то он расходится

Рис.2

Положим x0 R . Интервал R; R называется и н т ер -

валом сходимости степенного ряда, а число R – радиу -

сом сходимости степенного ряда. Если ряд сходится только при х = 0, полагаем R = 0. Если ряд сходится при любом значении х, полагаем R . На концах интервала сходимости вопрос о сходимости ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости ряда составляют ряд из абсолютных величин членов ряда и применяют при-

Также для нахождения радиуса R сходимости степенного

ряда an xn можно воспользоваться радикальным признаком

n 1

сходимости Коши:

Отметим, что формулы нахождения R справедливы только в том случае, если степень х при переходе от одного члена к следующему возрастает строго на единицу. В случае, когда степенной ряд содержит не все степени х, то интервал сходимости находят, непосредственно применяя признаки Даламбера или Коши.

3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Для степенных рядов справедливы следующие теоремы. Теорема. Сходящийся степенной ряд можно почленно

дифференцировать любое число раз внутри его области схо-

димости, т.е. если степенной ряд f (x) an xn имеет радиус

n 0

сходимости R, то ряд, полученный его почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости R и производная суммы ряда равна сумме производных членов ряда:

Теорема. Сходящийся степенной ряд можно почленно интегрировать в любом промежутке, содержащемся внутри области сходимости данного ряда, т.е. если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда

f (x) an xn , то интеграл от суммы ряда равен сумме ряда

n 0

46

сходится в интервале (–1, 1). Теперь исследуем поведение ряда на границах найденного интервала.

При х = –1 получаем ряд 1 12 13 ... ( 1)n 1n ..., который сходится по признаку Лейбница (4.2).

При х = 1, то получаем 1 12 13 ... 1n ... – гармонический

ряд (1.6), который расходится. Таким образом, область сходимости данного ряда есть промежуток [–1,1).

Так как R = , то исследуемый ряд сходится при любом значении переменной х.

признаком Даламбера, не находя радиус сходимости ряда:

который расходится.

Таким образом, область сходимости данного ряда есть промежуток [–3, 3).

г) Для ряда (nx)n воспользуемся радикальным призна-

n 1

ком сходимости Коши:

при любых значениях переменной х.

48

x 2 1 x 2 2 2 x 2 2 4 x 0 .

2

Исследуем концы этого интервала. При х = – 4: