727

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сии вычисляется как: S

2a1 d (n 1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

ГЛАВА 1. Числовые ряды

§1. Ряд и его сумма 1. Основные понятия

Пусть задана последовательность чисел u1,u2 ,u3 ,...,un ,un 1,....

Выражение вида


u1 u2 u3 ... un un 1 ... или un	(1.1)
n 1
называют числовым рядом.

Числа u1,u2 ,u3 ,...,un ,un 1,... называются членами ряда, а

иn – n-ым или о б щ и м членом ряда. Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру n его члена записать этот член ряда.

Сумма n первых членов ряда (1.1) называется n-ой ч а - с т и ч н о й суммой ряда и обозначается символом Sn:

Sn u1 u2	u3 ... un	(1.2)
Если существует конечный предел S lim Sn , то говорят,
	n
что этот ряд сходится. В	этом случае число	S называется

с у м м о й сходящегося ряда (1.1). Если же частичная сумма Sn не имеет конечного предела при n , то ряд (1.1) называется р а с х о д я щ и м с я , такой ряд суммы не имеет. Если ряд (1.1) сходится и его сумма равна S, то разность S – Sn называется n - ым остатком ряда и обозначается Rn. Остаток Rn = un+1 + un+2 + … также является числовым рядом.

1.	Записать пять первых членов ряда по данному обще-
му члену:
а) un	1	;	б) un	n	;	в) un	2n 1	.
							(n 1)!
				n 1
	n(n 1)
	n(n 1)

Решение.

Подставляя в формулу общего члена последовательно значения 1, 2, 3, 4, 5, получим:

а) u				1			1		; u		1		1	; u		1	1	; u		1	1	;
		1	1 2 2							2	2	3 6			3	3 4 12			4	4 5 20
			1 2 2								2	3 6				3 4 12				4 5 20
u			1			1		.
u	5		6					.
	5	5			30
		5			30
														11

в) u1 21! 12 ; u2 33! 12 ; u3 45! 245 ; u4 57! 1207 ; u5 69! 7209 .

Напомним, что факториалом натурального числа n называет-

ся			произведение												натуральных					чисел							от	1				до n:
n! 1 2 3 4 ... n ;														0! 1.
		2. Записать формулу общего члена каждого ряда:
а) 1				1				1		1		...;							б) 1	1			1				1			1		...;

				2		3				4										2	22				23			24
в)		2			4				6		8		...;						г) 1 8 27 64 125;

	5			8		11				14
д)		1					1					1				1		... ;	е) 1	3		9				27			81		....

							2 5					3 6
	1 4													4			7			3	5			7 9

Решение.

а) Члены ряда представляют собой дроби, где в числителях – единицы, в знаменателях – натуральные числа; следователь-

но, общий член un 1n .

б) Члены ряда представляют собой дроби, где в числителях – единицы, знаменатели могут быть получены по формуле 2n1,

где n = 1, 2, 3, …; следовательно, общий член u

n 2n 1

в) Члены ряда представляют собой дроби, где в числителях – четные числа вида 2n, знаменатели могут быть получены по

формуле 3n + 2; следовательно, общий член un							2n		.

							3n	2
							3n	2
3. Исследовать ряды на сходимость и, в случае сходимо-
сти, найти их сумму:
а) 0 + 0 + 0 + … + 0 + …;			б) 1 + 1 + 1 + … + 1 + …;
				1
в) 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …;			г)	1	;


			n 1 n(n 1)
	1			1
д)	1	;	е)	1		.

	(2n 1)(2n 3)			2n(n 3)
n 1	(2n 1)(2n 3)		n 1	2n(n 3)
			12

Решение.

а) Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0. б) Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + … расходится, его сумма

Sn n при n .

в) Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится, т.к. последовательность его частичных сумм 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (S1 = 1,

S2 = 0, S3 = 1,…) не имеет предела.

	1
г) Для исследования ряда	1	на сходимость за-


n 1 n(n 1)

пишем его общий член в виде суммы простейших дробей:

1	A	B	A(n 1) Bn	, откуда 1 A(n 1) Bn
n(n 1)			n(n 1)
	n n 1

При n = 0: 1 = А; при n = – 1 имеем: 1 = – В, т.е. В = – 1.

	1	1		1
Таким образом, общий член ряда						.
	n(n 1)		n		n 1

Запишем частичную сумму ряда с учетом полученной новой формулы общего члена ряда, подставляя вместо n последова-

тельно 1, 2, 3, …, n:

	1	1	1	1	1		1	1		1	1
Sn 1						...						.
			3	3
	2	2			4	n 1		n	n		n 1

В этом равенстве все слагаемые, кроме первого и последнего,

		1
попарно уничтожаются, поэтому lim Sn lim 1			1,
попарно уничтожаются, поэтому lim Sn lim 1		n 1	1,
n	n	n 1

т.е. ряд сходится, и его сумма равна 1.

2.Прогрессии

Вкачестве примеров числовых рядов можно также рассмотреть арифметическую и геометрическую прогрессии, известные из школьного курса математики.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d , называет-

ся арифметической прогрессией . Число d называется

разностью прогрессии . Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an a1 d (n 1) .

Сумма n первых членов арифметической прогрес-

числовой ряд, члены которого представляют собой члены арифметической прогрессии, – сумма бесконечного числа слагаемых, можно рассматривать его как расходящийся ряд,

поскольку lim an и lim Sn .
n	n

4. Исследовать на сходимость ряд 1 2 3 4 ... n ....

Решение. Члены ряда 1 2 3 4 ... n ... – члены арифметической прогрессии с разностью d = 1, для нее

lim Sn , ряд расходится.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, называется

геометрической прогрессией . Число q называется

знаменателем прогрессии . Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: bn b1 qn 1. Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется

как: Sn b1 (1 qn ) . Исследуем на сходимость ряд, члены ко-

1 q

торого представляют собой геометрическую прогрессию:

b1 b1q b1q2 b1q3

... b1qn 1 b1qn ... b1qn 1

(1.3)

n 1

Если

1, члены ряда представляют бесконечно убы-

вающую

геометрическую

прогрессию.

Для

нее

b1(1 qn )

lim b q

и lim S

lim

1 q

n 1

1 q

, ряд (1.3) сходится и его сумма равна

1 q

(1.4)

S 1 q

Если

1, то lim b1qn и

lim Sn , ряд расходится.


3)	Если q 1, т.е. b1 1n b1 , то lim b1qn b1 и
		n 1	n
		n 1
Sn b1 b1 b1		... b1	... b1n , lim	Sn ряд расходится.
			n

4)	Если q 1, т.е. b1 ( 1)n b1			b1 b1 b1 ... , то

n 1

lim Sn не существует, ряд расходится.

Итак, ряд, члены которого являются членами геометрической прогрессии, сходится при q 1, расходится при q 1.

Например, при b1 = 1 и при:


q 2 :					2n 1			1 2 22					23	... 2n ..., ряд расходится;
					n 1
		1					1	n 1		1			1	1		1
		1					1			1			1	1		1
q			:						1						...		... , ряд сходится.
q			:						1			32		33	...	3n	... , ряд сходится.
		3			n 1		3			3		32		33		3n
		5. Исследовать на сходимость ряд
1	1			1		1	...		1		1		....

	2			4		8			2n 1		2n
	2			4		8			2n 1		2n

Решение.

1 способ. Члены данного ряда являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым чле-

ном		b1 1			и знаменателем
q	1	1,			значит, ряд схо-
q	2	1,			значит, ряд схо-
	2
дится и имеет сумму (1.4):
S		1		2 .

	1		1
	1		1

2	Рис.1

2 способ. Сложим геометрически первые несколько членов ряда, считая за единицу площадь квадрата со стороной 1. Каждый следующий член в два раза меньше предыдущего; на рис.1 видно, что сумма площадей всех фигур никогда не превзойдет двух квадратов. Ряд сходится и имеет сумму 2.

3. Обобщенный гармонический ряд

Об о б ще нн ы м гармониче ским рядом

рихле) называется ряд вида:

n p

n 1

(рядом Ди-

(1.5)

где р – любое действительное число. Как будет доказано ниже, этот ряд сходится при p 1 и расходится при p 1.

					1				1							1
Например, 1					1				1			...				1		...					1		, здесь	p 2 1,
Например, 1							2				2	...					2	...							, здесь	p 2 1,
					2		2		3		2					n	2					n 1 n		2
					2				3							n						n 1 n
ряд сходится.
	1		1							1
Ряд 1	1		1			...				1				...					1			расходится, т.к.				p	1	1.
Ряд 1						...								...								расходится, т.к.				p		1.
2				3								n									1					2
2				3								n					n 1 n 2									2
																	n 1 n 2
				1			1						1
Ряд		1		1			1	...					1		...					1						(1.6)
Ряд		1						...							...											(1.6)
				2			3						n					n 1 n

называется гармоническим , он расходится.

4. Свойства сходящихся рядов

10. Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него приписыванием или отбрасыванием конечного числа членов.

20. Если ряды

u1 u2 u3 ...

un un 1 ...

иv1 v2 v3 ... vn vn 1 ...

сходятся и имеют соответственно суммы А и В, то сходится ряд (u1 v1) (u2 v2 ) ... (un vn ) ... и имеет сумму A B , т.е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычи-

тать.

30. Если ряд u1 u2 u3 ... un un 1 ... сходится и име-

ет сумму S, то его можно почленно умножить на одно и то же число С (C 0 ). При этом полученный ряд

Cu1 Cu2 ... Cun ...

тоже сходится и имеет сумму C S .
40. Если ряд u u	2	u	... u	n	u	n 1	... сходится, то
1	2	3		n		n 1

сходится и его остаток un 1 un 2 un 3 ....

50. Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

§2. Необходимый и достаточные признаки сходимости рядов

1. Необходимый признак сходимости ряда Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд

u1 u2 u3 ... un un 1 ... (2.1)

сходится, то его общий член un стремится к нулю при n , то есть

lim un 0	(2.2)
n

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если общий член ряда (2.1) отличен от нуля при n , т.е.

lim un 0, то ряд расходится.

6. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для рядов:

		1 n
а) n ;	б) 1		;

n 1	n 1	n

	5n2 8n			7n n4
г)		;	д)		;
г)	15n2 2	;	д)	n!	;
n 1	15n2 2		n 1	n!

Решение.

в) ;

n 1 n

	n 2 .
е)

n 1 ln( n 1)

а) n 1 2 3 4 5 ... n ... . Предел общего члена

n 1

ряда

lim un

lim n 0, необходимый признак сходимо-

сти не выполняется, ряд расходится.

1 1

б) 1

... 1

... . Пре-

n 1

1 n

дел

общего

члена

ряда

lim un lim 1

e 0 (второй

замечательный предел), необходимый признак сходимости не выполняется, ряд расходится.

		1	1	1			1
в)	1	1	1	1	...		1	... –		гармонический ряд. Пре-
в)					...			... –		гармонический ряд. Пре-
n 1 n		1	2	3			n
дел его общего члена						lim u			lim	1	0 , необходимый при-
дел его общего члена						lim u		n	lim		0 , необходимый при-
						n		n	n n
						n			n n

знак сходимости выполняется, ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Из вышесказанного известно, что этот ряд расходится, но необходимый признак сходимости это утверждение не доказывает.

lim

	5n2	8n
г)			. Найдем предел общего члена ряда:
г)			. Найдем предел общего члена ряда:
	n 115n2 2
	5n2 8n
				– получили неопределенность вида	,
				– получили неопределенность вида	,
15n2 2

для раскрытия которой следует разделить числитель и знаменатель на переменную в наивысшей из участвующих в выражении степеней (в данном случае и в числителе, и в знаменателе старшая степень переменной равна 2):

lim 5n2 8n n 15n2 2

	5n2 8n

	n	2
lim		2


n 15n2 2
	n2


		5		8 0
lim		5		n		5	1	0 ,
				n		5	1

n	15			2		15	3
	15		n2		0

необходимый признак сходимости не выполняется, ряд расходится.

			7n n4
	д)				. Предел общего члена ряда
	д)			n!	. Предел общего члена ряда
		n 1		n!
		7n n4
lim					– получили неопределенность, для рас-
lim					– получили неопределенность, для рас-
n		n!

крытия которой нет стандартных приемов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, что на бесконечности растѐт быстрее – числитель или знаменатель. Напомним некоторые сведения из теории пределов.

Пусть a 1,	0 , тогда
	18

1) lim	a x	,	lim	x	0 , т.е. любая показательная после-

x x			x a x

довательность ах растѐт быстрее, чем любая степенная после-

довательность x . Говорят, что показательная последова-

тельность более высокого порядка роста, чем любая степен-

ная последовательность. Кроме того, показательная последовательность растет быстрее, чем произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов.

2)	lim	x	,	lim	a x	, т.е. любая степенная или

	x log a x			x log a x

показательная последовательности растут быстрее, чем любая логарифмическая последовательность.

3) lim	x!	,	lim	x!	,	lim	x!	, т.е. факториал

x a x			x xα			x a x xα

растѐт быстрее, чем любая показательная или степенная последовательность, или многочлен, или произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (случай в нашем примере).

4) lim	x !	0 ,	lim	x x	, т.е. степенно-показательная по-


x x x			x	x!

следовательность растѐт быстрее факториала.

Таким образом, в нашем примере д) предел общего члена

	7n n4
ряда lim		0	, т.к.	n! более высокого порядка роста,

n	n!

чем 7n n4 . Необходимый признак сходимости выполняется, вопрос о сходимости ряда остается открытым.

n 2

е) Для ряда

предел общего члена ряда

n 1 ln( n 1)

n 2

(n 2)

lim

n ln( n 1)

(n 1)

lim (n 1) 0. (Применили правило Лопиталя.) Необхо-

димый признак сходимости не выполнен, ряд расходится.

7. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для рядов:

а)

...;

б)

...

...;

2 3 4 5

3 5 7

2n 1

в) 1

...

2n 1

...;

n 1

г) ln

... ln

...;

д) cos

;

n 1

е)

3 ;

ж) n arctg n ;

;

з) ln

n 1 (n

n 1

2n 1

и)

arcctg

;

к) cos

n 2

n2 3

n 1

3n 2

Выполнение необходимого признака сходимости не дает возможности судить о том, сходится ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости.

2. Достаточные признаки сходимости рядов

Рассмотрим некоторые признаки, позволяющие исследовать на сходимость ряды с положительными членами.

I Признак сравнения

Рассмотрим ряды с положительными членами

u1 u2	u3		... un ...	(2.3)
v1 v2	v3	...	vn ...	(2.4)

Если члены ряда (2.3), начиная с некоторого члена, не превосходят соответствующих членов заведомо сходящегося ряда (2.4), то данный ряд (2.3) тоже сходится.

Если же члены ряда (2.3), начиная с некоторого члена, не меньше соответствующих членов заведомо расходящегося ряда (2.4), то данный ряд (2.3) тоже расходится.

8. Используя первый признак сравнения, исследовать на сходимость ряды:

	1			1	1			1	1	1
а)	1		1	1	1	...;	б)	1	1	1	...;


n 1		n		2	3		n 2 ln n ln 2 ln 3
							20

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf