727

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

с общим членом другого, заранее известного

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

в)

;

г)

;

д)

sin

n 1

(n 1) 3n

n 2

n (n 1)

n 1 n3 5

Решение.

а) Сравним общий член

данного ряда с общим чле-

ном

расходящегося гармонического ряда

n 1 n

для всех членов, начиная с первого. Т.к. члены иссле-

дуемого ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда; ряд также расходится.

		б) Сравним общий член				1	данного ряда с общим чле-

						ln n
						ln n

ном		1		расходящегося гармонического ряда				1	:
ном				расходящегося гармонического ряда					:
			n				n 1 n
1				1	для всех членов, начиная с n = 2. Т.к. члены исследу-
					для всех членов, начиная с n = 2. Т.к. члены исследу-
	ln n			n

емого ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда; ряд также расходится.

в) Сравним общий член

данного ряда с общим

1) 3n

членом

сходящегося ряда

члены которого являются

n 1 3

геометрической прогрессией, для которой q

. Т.к. члены исследуемого ряда меньше соот-

(n 1) 3n

ветствующих членов сходящегося ряда, ряд также сходится.

г) Сравним общий член			1		данного ряда с общим


				n (n 1)
				n (n 1)
	1					1
членом	1	расходящегося гармонического ряда				1	, т.к. в
членом		расходящегося гармонического ряда					, т.к. в
	n				n 1 n
			21

знаменателе общего члена данного ряда

старшая

степень равна 1:

. Таким образом,

члены иссле-

n (n 1)

n2 n

дуемого ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда; ряд также расходится.

						sin 2 n
		д) Сравним общий член					данного ряда с общим
		д) Сравним общий член				n3 5	данного ряда с общим
членом				1	сходящегося обобщенного гармонического ряда
членом					сходящегося обобщенного гармонического ряда
				n3

		1	(для него p 3 1), исходя из следующих рассуждений:
		3	(для него p 3 1), исходя из следующих рассуждений:
n 1 n
	sin n		1	для любых целочисленных n;				sin 2 n	1; в знамена-
	sin n		1	для любых целочисленных n;				sin 2 n	1; в знамена-

теле общего члена данного ряда старшая степень переменной

равна 3. Тогда	sin 2 n	1	, т.е. члены исследуемого ряда
	n3 5	n3

меньше соответствующих членов заведомо сходящегося ряда, значит, и данный ряд тоже сходится.

Используя первый признак сравнения, исследовать на

сходимость ряды:

sin n

б)

а)

;

в)

;

(2n

1) 22n 1

n(1 n2 )

n 1

г)

;

д)

;

е)

ln n

n 1

3 n

n 1

n 2

II Признак сравнения (предельный признак)

Если для рядов (2.3) и (2.4) с положительными членами существует конечный отличный от нуля предел отношения их общих членов, то есть

lim	un	k 0,	(2.5)

n vn

то ряды сходятся либо расходятся одновременно.

10. Исследовать

сходимость рядов,

используя

второй

признак сравнения:

3n2 5

а) sin

;

б)

;

в)

;

n 1

4n3 (2n 3)

n 1 n

3n 1

г) ln

;

д)

sin

;

е)

n2 1

n2 (n2

n 1

3 (4n2 1)5

Решение.

а) Для исследования сравним общий член данного ряда

sin

с общим членом

гармонического ряда (1.6):

n 1

sin

lim

1 (использован

первый замечательный предел

lim

sin

1). Т.к. сравнили с расходящимся гармоническим

рядом и получили конечный отличный от нуля предел отношения общих членов рядов, исследуемый ряд так же, как и гармонический, расходится.

б) Для сравнения общего члена данного ряда

ряда, нужно выбрать наиболее удобный для такого сравнения ряд. Проведем некоторые вспомогательные операции:

1)найдем старшую степень знаменателя: n3 n n4 ,

2)выясним старшую степень числителя: она равна 2,

3)из старшей степени знаменателя вычтем старшую степень числителя: 4 2 2.

	1
Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом		, кото-
	2
n 1 n

рый является сходящимся обобщенным гармоническим рядом (1.5), т.к. для него p 2 1. По мере накопления опыта решения эти три пункта можно проводить мысленно.

Сравним общие члены:

3n2 5

3n4 5n2

4n3 (2n 3)

(3n2

5)n2

lim

4n3 (2n 3)

n 8n4 12n2

5 0

lim

const 0 . Исследуемый ряд сходится.

в) Сравним общий член ряда

с общим членом

n 1 n

сходящегося

обобщенного

гармонического

ряда

(1.5)

, для которого p 1,5 1:

1,5

n 1 n

lim

1 const 0 (использовали формулу

для эквивалентных бесконечно малых величин:

при 0

tg ~ ). Таким образом, данный ряд сходится.

г) Сравним общий член ряда ln

с общим членом

n 1

сходящегося обобщенного гармонического ряда (1.5)

n 1 n

для которого p 2 1:

ln 1

lim

1 const 0

lim

n n

(использовали формулу для эквивалентных бесконечно малых величин: при 0, ln(1 ) ~ ), данный ряд сходится.

	3n 1
д) Сравним общий член ряда sin	3n 1		с общим

	n2 (n2	1)
n 1	n2 (n2	1)
24

членом сходящегося обобщенного гармонического ряда (1.5)

, для которого p 3

n 1 n

sin

3n 1

3n4

lim

n2 (n2 1)

lim

(3n 1)

lim

3 const 0

(n2 1)

n n2

n n4

(использовали формулу для эквивалентных бесконечно малых величин: при 0, sin ~ ). Данный ряд сходится.

		n
е) Для исследования данного ряда		n	выбе-


	3	(4n2 1)5
n 1	3	(4n2 1)5

рем наиболее удобный для сравнения ряд. Старшая степень

	n			1			10
			5				10
		2			3	n
		2			3		3	. Старшая степень числителя 1. Из
знаменателя:								. Старшая степень числителя 1. Из

старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень

числителя:

Таким образом, наш ряд нужно срав-

нить с рядом

, который является сходящимся

n 1

3 n7

n 3

обобщенным

гармоническим

рядом

(1.5), т.к.

для него

1. Сравним общие члены:

(4n2 1)5

n3 n7

n10

lim

(4n2 1)5

3 n7

const 0. Данный ряд сходится.

11. Исследовать сходимость рядов, используя второй

признак сравнения:

в)

а) ln 1

;

б)

;

(n 1)2

n 1

2n2 3n

n 1

(2n 1)

г) 2n sin

;

д)

;

е)

;

3n4 3n2

(4n 3)2

n 1

n n

ж)

;

з)

;

и)

;

n 1

(n 2)(2n 3)3

n 1

3 n

n 1

n6 2n

к)

;

л) arcsin 2

;

м)

;

5n 2

n 1

n n

н)

n 1

Признак сходимости Даламбера

Если в ряде с положительными членами (2.3) отношение (п+1)-го члена к п-му при n имеет конечный предел q,

то есть	lim	un 1	q ,	(2.6)

	n	un

то ряд (2.3) сходится при условии, что q < 1 и расходится при условии, что q > 1. Если q = 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Признак Даламбера рационально использовать, когда в общем члене ряда имеется показательная зависимость или факториал некоторого выражения.

12. С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость:

а)

;

б)

n (n 1)

;

в)

;

г)

n!(2n 1)!.

n 110n

n 1

n 1 n!

n 1

(3n)!

Решение.

а) Для ряда

составим (n+1)-ый и n-ый члены ряда:

n 110n

; un 1

1)!

. Найдем предел их отношения:

10n 1

10n

1)!

n! (n 1) 10n

n 1

lim

un 1

lim

10n 1

lim

10n 10 n!

un n

10n

ряд расходится.

n (n 1)

б) Для ряда

составим (n+1)-ый и n-ый члены

n 1

ряда: un

n (n 1)

;

un 1

(n 1)(n 2)

3n 1

Найдем предел их отношения:

(n 1)(n 2)

(n 1)(n 2) 3n

lim

un 1

lim

3n 1

lim

n (n 1)

3n 3 n (n 1)

lim

n 2

1, ряд сходится.

в) Для ряда

составим (n+1)-ый и n-ый члены ряда:

n 1 n!

;

un 1

(n 1)n 1

. Найдем предел их отношения:

1)!

(n 1)n 1

lim

n 1

lim

(n 1)!

lim

(n 1)n (n 1) n!

lim

(n 1)n

(n 1) nn

n 1 n

lim

e 1,

ряд расходится.

n!(2n 1)!

г) Для ряда

n-ый и (n+1)-ый члены:

(3n)!

n 1

n!(2n 1)!;

un 1

(n 1)!(2(n 1) 1)!

(n 1)!(2n 3)!.

(3(n 1))!

(3n)!

(3n 3)!

Найдем предел их отношения:

(n 1)!(2n 3)!

lim

un 1

lim

(3n 3)!

n!(2n 1)!

(3n)!

lim

n!(n 1)(2n 1)!(2n 2)(2n 3)(3n)!

n (3n)!(3n 1)(3n 2)(3n 3)n!(2n 1)!

lim

(n 1)(2n 2)(2n 3)

1, ряд сходится.

n (3n 1)(3n 2)(3n 3)

13. С помощью признака Даламбера исследовать ряды

на сходимость:

(n!)

а)

n!;

б)

;

в)

(n!)

;

г)

;

n 1

(2n)!

n 1 2n2

n 1

1)!

n 3

1 4 7

... (3n 2)

д)

;

е)

n 1

n 3n

n 1

2 7 12 ... (5n 3)

Интегральный признак сходимости Коши

Рассмотрим n-й член ряда как функцию от n: un = f(n). Следовательно, всякий ряд может быть представлен в виде f(1) + f(2) + … + f(n)+….

Пусть функция f(х) определена для x > 0, положительна, монотонно убывающая и стремится к нулю при x .

Тогда если несобственный интеграл f (x)dx сходится, то

сходится и ряд (2.3). Если несобственный интеграл f (x)dx

расходится, то расходится и ряд (2.3).

(2.7)

14.Исследовать на сходимость с помощью интегрального признака ряды:

а)

;

б)

; в)

;

г)

n 11

n 1 n(n 3)

n 1

n 1 n p

Решение.

а) Применим интегральный признак сходимости Коши. Чтобы составить функцию f(x), достаточно в формуле общего

члена ряда заменить п на х. Таким образом,	f (x)	1	. Как

		1 x2

видно, функция f(х) на промежутке [1, + ) является непрерывной, положительной и убывающей. Рассмотрим соответствующий несобственный интеграл:

		dx		b		dx	lim arctg x b lim arctg b arctg1
			lim
			lim
	1 x2		b		1 x2		b	1	b
	1 x2		b		1 x2		b		b
1				1

π2 π4 π4 const . Так как несобственный интеграл сходит-

ся, то, по признаку Коши, сходится и исследуемый ряд.

б) Для данного ряда

f (x)

x(x 3)

1 b 1

lim

1 x(x

b 1

x(x 3)

b 3

1 x

x 3

x b

lim

x 3

lim

3 b

3 1

ln 1 ln

ln 4 ln 3

const.

lim

b 3

3 b

Так как несобственный интеграл сходится, то, по признаку Коши, сходится и исследуемый ряд.

в) Для данного ряда f (x)

lim

2 b

lim

const.

2 b e

Так как несобственный интеграл сходится, то, по признаку Коши, сходится и исследуемый ряд.

г) 1 , где р – любое действительное число.

n 1 n p

Общий член ряда un n1p .

Если p 0, то общий член ип не будет стремиться к нулю при n . Следовательно, не выполняется необходимый признак сходимости ряда; ряд в этом случае будет расходиться.

Для р>0 применяем признак Коши. Для данного ряда

f (x)

. Рассмотрим отдельно три случая:

x p

1) Пусть р = 1; тогда общий член u

, ряд – гармониче-

ский. Имеем:

x 1b

lim

ln b ln 1

Следовательно, гармонический ряд расходится.

2) Пусть р > 1. Тогда

x p 1 b

1 b

lim

x p dx lim

lim

p 1

p 1 1

b x

Ряд сходится.

1 p

lim

p 1

b b

p 1

3) Если p<1, то

lim

и несобственный интеграл рас-

b b p 1

ходится.

Таким образом, ряд

сходится при р > 1 и расходится

n 1 n

при p 1. Этот ряд (обобщенный гармонический (1.5)) часто используют для сравнения с другими рядами при исследовании вопроса о сходимости. В частности, свойства этого ряда были использованы при решении вопросов о сходимости рядов с помощью признаков сравнения.

					1
Так, ряд					1		сходится, так как в этом случае р=2 > 1;
Так, ряд							сходится, так как в этом случае р=2 > 1;
		n 1 n				2
		n 1 n
	1										3
ряд	1				сходится, так как в этом случае p							1;


n 1 n			n							2
	1											1
ряд	1			расходится, так как в этом случае						p		1	1.

		n										2
n 1		n										2
15. Исследовать ряды на сходимость с помощью инте-
грального признака:
	1							1					1
а)	1			;			б)	1	;	в)			1	;


n 1 2n			1				n 1	3n 2			n 1		(2n 1)2n
						30

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf