727

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

односторонних

пределов функции в этой точке

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

(t) A0	A1 sin( t 1) A2 sin( 2t 2 ) ... A10 sin(10t 10 )
10	10
A0 An sin( nt n ) A0 (an cos nt bn sin nt) ,
n 1	n 1

т.е. при наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (периодический процесс).

4.Тригонометрический ряд

Спомощью тригонометрического ряда практически любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.

Функциональный ряд называется т р и го но ме т р ич е -

ск и м , если членами ряда являются синусы и косинусы це-

лых

кратных значений

аргумента,

то

есть ряд вида

a cos x b sin x a

cos 2x b sin 2x ...

an cos nx bn sin nx ...

an cos nx

bn sin nx ,

n 1

где действительные числа a0 , an , bn

называются коэффи-

циентами тригонометрического ряда.

5. Ряды Фурье для функций с периодом 2 ,

заданной на отрезке [ , ]

Тригонометрический ряд вида

f (x)

an cos n x bn sin n x , где a0

f (x)dx ;

n 1

f (x) cos nx dx ,

f (x)sin nx dx , n = 0,1,2,… (10.1)

называется рядом Фурье для периодической функции f(x) с периодом 2 , заданной на отрезке [ , ], если она удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема Дирихле

1. Если функция f(x) кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2. f(x) кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда ряд Фурье (10.1) функции f(x) сходится на этом отрезке и при этом:

1.В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией f(x);

2.В каждой точке х0 разрыва функции сумма ряда равна по-

3. На концах отрезка сумма ряда равна полусумме односторонних пределов функции при стремлении х к этим точкам изнутри интервала:

S( ) S( )	1			f (x) lim
			lim		f (x) .

	2	x 0		x 0

6. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2

Если функция f(x) с периодом 2 четная, то коэффициенты ее разложения и ряд Фурье имеют вид:

			a0
f (x)				an cos nx ,

		2		n 1
	2					2
a0			f (x)dx ,		an		f (x) cos nxdx ,	bn 0	(10.2)

		0					0

(в силу свойства определенного интеграла об интегрируемости четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно нуля), т.е. ее ряд Фурье не содержит синусов.

Если функция f(x) нечетная, то коэффициенты ее разложения и ряд Фурье имеют вид:

51. Найти разложение в ряд Фурье функции с периодом 2 , заданной на отрезке [ , ]:

2, при x 0,		; б) f (x)
а) f (x)	при 0 x
3,
в) f(x) = x;	г) f(x) = х2;	д) f (x)

Решение.

f (x) 2,

а) Заданная функция

x, при x 0,
	0 x	;
2x, при	0 x

x .

при x 0, (рис.5)

при 0 x

имеет период 2 , удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, т.к. на отрезке [ , ] имеет одну точку разрыва первого рода (при х = 0), а во всех других точках отрезка она непрерывна. Следовательно, ее разложение имеет вид (10.1).

Рис.5

Найдем коэффициенты ее разложения.

		1		0							1		0							1
		1		0							1		0							1
												2x						0			( 2 3 ) 1,
a0					2dx 3dx							2x	3x					0			( 2 3 ) 1,
							0
							0
		1		0												1			2sin nx					0
		1		0												1								0
an					( 2) cos nxdx																				3sin nx

											3cos nxdx					n											0
											3cos nxdx																0
										0
										0
	1		2sin 0 2sin( n) 3sin n 3sin 0																	1		(0 0 0 0) 0
	n		2sin 0 2sin( n) 3sin n 3sin 0																			(0 0 0 0) 0
	n																			n
		1			0												1		2 cos nx				0
b		1				( 2) sin nxdx					3sin nxdx						1								3cos nx
b						( 2) sin nxdx					3sin nxdx														3cos nx
n																n										0
n																										0
										0
										0
	1		2 cos 0 2 cos( n) 3cos n 3cos 0																	1		(2 2 cos n
	n		2 cos 0 2 cos( n) 3cos n 3cos 0																			(2 2 cos n
	n																			n
												10
							5							,	при n нечетном,
							5							,	при n нечетном,
3cos n 3)								1	cos n n
3cos n 3)							n	1	cos n n
							n
												0, при n четном.

Тогда разложение функции имеет вид (10.1):

	1	10		1		1
f (x)			sin x		sin 3x		sin 5x ... .
f (x)			sin x		sin 3x		sin 5x ... .
	2			3		5

В	точках	разрыва	функции,	т.е.		в
x n (n 0,1, 2,...) сумма ряда равна 2 3						1	.
x n (n 0,1, 2,...) сумма ряда равна 2 3							.
				2	2
			x, при x 0,
	б) Заданная функция		f (x)		x
			2x,	при 0	x

точках

(рис.6)

имеет период 2 , удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Следовательно, ее разложение имеет вид (10.1).

Рис.6

Найдем коэффициенты ее разложения.

		1	0					1	x	2	0
			0							2	0
													2
a0			( x)dx		2xdx							x
a0			( x)dx		2xdx							x
									2					0
									2					0
				0
	1			2		3
		0		2 0			,
		0		2 0			,
			2			2
			2			2

( x) cos nxdx 2x cos nxdx

u x

dv cos nxdx

интегрируем по частям :

du dx

sin nx

1	x				0	0	1
1	x				0	0	1

	n sin n x						n sin


1								1
		0		sin( n)
		0		sin( n)
			n						n	2
			n						n

	2						1

n x dx			x	sin n x				sin n x dx

		n					n
					0	0

	0	2
	0	2
cos n x				sin n 0
cos n x				sin n 0
			n

1					1		1			2		1


		cos nx				0			(1 cos x)		0			(cos n 1)
	2	cos nx				0		2	(1 cos x)		0		2	(cos n 1)
n	2						n	2				n	2
				0
				0
						6
		3							при n нечетном,
		3							при n нечетном,
			(1 cos n) n2
	n2		(1 cos n) n2
	n2								при n четном.
						0			при n четном.

		u x
	интегрируем по частям :
	du dx

dv sin nxdx
v	1
	1
		cos nx
		cos nx
	n

1			x			0				0 1					2			x
1			x			0				0 1					2			x

					cos n x							cos n x dx							cos n x
			n					n										n			0
			n					n										n			0
1							1									1				0
1							1									1				0

	cos n x dx									0			cos( n)				2 sin n x
0 n												n				n
0 n												n				n
2										1					1


				cos n		0					sin n x								cos	n
				cos n		0			n2		sin n x								cos	n
		n							n2									n
														0
														0

1		2			1
	(0 sin( n))			cos n		(sin n 0)
n2	(0 sin( n))			cos n	n2	(sin n 0)
n2			n		n2

		1													1												2					sin n 0
								cos n									(0 sin(					n))									cos n
								cos n							n2		(0 sin(					n))									cos n	n2
							n								n2															n		n2
																								1				при n нечетном
	1									2										1


				cos n								cos n									cos n n						1
		n		cos n							n	cos n								n	cos n n
		n									n									n
																												при n четном.
																												при n четном.
																											n
Тогда разложение функции имеет вид (10.1):
						3							6								6						6
f (x)														cos x								cos3x							cos5x ...
f (x)														cos x						32		cos3x			52				cos5x ...
							4													32					52
			1						1							1
					sin x						sin 2x							sin 3x ... .
					sin x						sin 2x							sin 3x ... .
			1						2							3
						3				6		cos x							cos 3x				cos 5x
f (x)																										...
f (x)													12							32			52			...
							4						12							32			52
																							85

sin x

sin 2x

sin 3x

... .

Функция

непрерывна

во

всех

внутренних

точках отрезка

[ , ].

На концах отрезка, т.е. в точках

x сумма ряда

f (x)

равна

lim

f (x)

x 0

в) Данная функция f (x) x

(рис.7)

является нечетной,

поэтому коэффициенты a0 an 0 (10.3).

Рис.7

Найдем коэффициент bn :

f (x) sin nxdx

x sin nxdx

cos n x

cos n 0

2 sin n x

cos n x dx

0 n

2 cos

n2 cos n

		1
n					(sin n 0)
n			n2		(sin n 0)
			n2
		2
				,	при n четном,
		n		,	при n четном,
	2					(При нахождении инте-
	2	, при n нечетном.
		, при n нечетном.
n

грала использовано интегрирование по частям, см. пример 51 б)). Следовательно, разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид:

sin x		sin 2x	sin 3x
f (x) 2
f (x) 2
	1	2	3

	sin 4x
		... .
		... .
	4

г) Данная функция f (x) x2 (рис.8) является четной, поэтому коэффициенты bn 0 (10.2).

Рис.8

		Найдем коэффициенты a0 , an .
				2											2											2			x3										2 2
				2											2											2			x3										2 2
a0						f (x)dx												x2dx
a0						f (x)dx												x2dx												3										3
						0											0															0								3
						0											0															0
				2																			2
an				2		f (x) cos nxdx																	2		x2 cos nxdx
an						f (x) cos nxdx																			x2 cos nxdx
						0																			0
																				u x2										dv cos nxdx


интегрируем
	по частям :																																			1
	по частям :															du 2xdx															v					1
																																							sin nx
																																							sin nx
																																				n
																																				n
	2					2												2x
						2
		x
								sin nx													sin nxdx
					n			sin nx										n			sin nxdx
										0					0
										0					0


	интегрируем																		u x								dv sin nxdx
																																		1
	по частям :
	по частям :															du dx											v										cos nx


																																		n
																																		n
	2																					x													1


			x2 sin nx											2										cos nx														cos nxdx
			x2 sin nx											2										cos nx														cos nxdx
	n										0											n													n
	n										0											n													n
																												0			0
	2															2x													2


			x2 sin nx																	cos nx													sin nx
			x2 sin nx																	cos nx													sin nx
	n											0					n												n		2
																				2						0															0
																										0															0
	2						2																													2
									sin n				0											cos n 0																sin n		0
									sin n				0											cos n 0													n2			sin n		0
	n																			n																	n2
																													87

	4				,		при n четном,
4
4		2
	cos n n
n2	cos n n			4
n2				4
							, при n нечетном.
						2	, при n нечетном.
			n

cos x

cos 2x

cos 3x

Следовательно,

f (x)

... .

д) Данная функция f (x)

x, x 0,

(рис. 9)

0 x

является четной, поэтому коэффициенты bn 0 (10.2).

Рис. 9

Найдем коэффициенты a0 , an .

		2			2				2		x	2
												2
a0				f (x)dx		xdx								;
a0				f (x)dx		xdx								;
			0			0				2			0
			0			0							0
		2					2
an		2		f (x) cos nxdx			2	x cos nxdx
an				f (x) cos nxdx				x cos nxdx
			0					0
						u x				dv cos nxdx


	интегрируем
по частям :													1
по частям :					du dx						v		1
															sin nx
															sin nx
														n
														n

2						1		2		1

		x
			sin nx				sin nxdx		0		2 cos nx
	n			0	0 n					n

			4
2					, при n нечетном,
2					, при n нечетном,
		(cos n 1)	n	2
n	2	(cos n 1)	n	2
n	2
		0, при n четном.

Следовательно, разложение данной функции в ряд Фурье

				4	sin x		sin 3x	sin 5x

имеет вид:	f (x)	x							... .

			2			1	9	25

52. Найти разложение в ряд Фурье функции f(x) с периодом 2 :

а) f (x)

при x 0,

1, при x 0,

0 x

б) f (x)

0 x

при

1, при

в)

f (x)

sin x

7. Ряды Фурье для функций с любым периодом 2l

Тригонометрический ряд вида

n x

f (x)

an cos

bn sin

n 1

1 l

n x

где a

f (x)dx ;

f (x) cos

dx ,

l l

1 l

f (x)sin

n x

dx , n = 0, 1, 2, …

(10.4)

l l

называется рядом Фурье для периодической функции f(x) с периодом 2l, заданной на отрезке [–l, l], если она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

8. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2l

Рассмотрим периодическую функцию f(x) с периодом 2l, заданную на отрезке [–l, l], удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле. Если функция f(x) четная, то коэффициенты разложения ее в ряд Фурье имеют вид:

2 l

n x

f (x)dx , a

f (x) cos

dx , b

(10.5)

т.е. ее ряд Фурье не содержит синусов.

Если функция f(x) нечетная, то коэффициенты разложения ее в ряд Фурье имеют вид:

т.е. ее ряд Фурье содержит только синусы.

53. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) с периодом 2l, заданную на промежутке:

6,	при 2 x 0,			0,	при 2 x 1,
6,	при 2 x 0,				при 1 x 1,
а) f (x)		0 x 2	б)	f (x) x,	при 1 x 1,
3x, при		0 x 2		0,	при1 x 2.

Решение.
	6,	при 2 x 0,
а) Заданная функция	f (x)	при 0 x 2	(рис. 10)
	3x,	при 0 x 2

имеет период 2l 4 l 2 , удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Следовательно, ее разложение имеет вид (10.4).

							Рис. 10
Найдем коэффициенты ее разложения.
	1		l	1	0	2		1			3			2
			l		0	2								2
									6x	0		x	2
a0		l	f (x)dx	2	6dx 3xdx			2	6x	2	2	x
a0			f (x)dx		6dx 3xdx					2
			l		2	0								0
			l		2	0								0

	1	0 12 6 0 9,
	2	0 12 6 0 9,
	2
			1 l		nx		1	0		nx	2	nx
an				f (x) cos		dx			6 cos		dx 3x cos

			l		l		2			2		2	dx
			l	l	l		2		2	2	0	2

												dv cos					nx
		интегрируем					u x									2					dx
		интегрируем					u x														dx
							du dx
			по частям				du dx						v	2				nx
															sin
														n	sin				2
														n					2
						0								nx			2							2
						0											2							2
		6		2	sin nx				3		2x		sin							3		2		sin nx dx
					sin nx								sin									n		sin nx dx
		2	n		2	2		2			n			2			0		2			n		0	2
	6					2		6									0				6			0	nx	2
			0 sin( n)							sin n 0													cos

n								n										2n2							2	0
														90

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf