Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

727

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

[ 4, 0]

3. Ряды Фурье для непериодических функций, заданных на отрезке [a, b]

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и на этом отрезке удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Чтобы разложить данную функцию в ряд, перенесем начало координат в точку а, то есть положим, что х = Х + а. Если теперь отрезок b – а обозначить через l, то получим функцию F(Х) = f(Х + а) = f(x), заданную на отрезке [ 0, l ]. Эту функцию можно будет разложить в ряд по синусам или по косинусам. Заменяя затем Х через (х – а), получим искомое разложение функции f(x) на отрезке [a, b].

57. Разложить данную функцию f (x) 2x 3 на отрезке [5, 9] в ряд по косинусам:

Решение.

Положим x X 5 , где 0 X 4 (рис. 19).

Рис. 19

Тогда f (x) 2x 3 2(X 5) 3 2X 7 F(X ) . Мы получили функцию F(X), которая задана на отрезке [0, 4]. Так как по условию разложение должно содержать косинусы, то продолжим функцию F(X) на отрезке четным образом. Разложим F(X) в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты разложения, применив формулы (10.5) при T 2l 8 l 4:

	2	l	2	4	1	X 2	7 X	4
bn 0, a0		f (x)dx		2X 7 dX					22;
	l		4		2
		0		0				0
				101

l f (x) cos

n x dx

2X 7 cos

n X dX

n X

интегрируе м

u 2X 7

dv cos

по частям

n X

du 2dX

sin

1		4		n X	4

	(2X 7)		sin
		n
2				4	0

0	16	cos	n X	4	16

	2n2		4	0	2n2

	1	4 2	4	n X dX
	1	4 2	sin
		n	sin
	2	n	0		4
			0
					32
						,при n нечетном.
						,при n нечетном.
cos n 1					2n2
cos n 1					2n2

				0, при n четном.

Таким образом, функция F(X) имеет следующее разложение:

	32		X	1		3 X	1		5 X
F ( X ) 11		cos			cos			cos		... .
F ( X ) 11	2	cos		32	cos		52	cos		... .
	2		4	32		4	52		4

Заменяя в полученном разложении Х на (х – 5) и имея ввиду, что F(X ) f (x) , получим разложение заданной функции на заданном отрезке [5, 9]:

	32		(x 5)	1		3 (x 5)	1		5 (x 5)
f (x) 11		cos			cos			cos		...
f (x) 11	2	cos		32	cos		52	cos		...
	2		4	32		4	52		4

58. Разложить данную функцию f (x) на отрезке [2, 6] в

3 x 3 при 2 x 4,

ряд по синусам: f (x) 2

3 x 9 при 4 x 6.

Решение.

Перенесем начало координат в точку x 2 и введем новую переменную Х. Пусть x X 2. Тогда

	3	X 2 3			при 0 X 2,
	2
f (x)			3	X 2 9	или
					при 2 X 4.
		2

102

3 X при 0 X 2, F ( X ) 2

3 X 6 при 2 X 4.2

Функцию F(X) разложим в ряд по синусам на отрезке [0, 4]. Вычислим коэффициенты разложения, применив формулы

(10.6) при T 2l 8 l 4: a0																															an 0 ,
				2 l											n x
b				l				f (x)sin										l			dx
b								f (x)sin													dx
n
					0
		2	2		3								n X											4			3													n X
							X sin												dX									X 6 sin

																																												dX
		4		0	2										4									2			2														4
		3							4					n X									16						n X										2
		3							4					n X									16						n X										2
					X							cos															sin
					X				n			cos										2n2					sin
		4							n								4															4							0
																																							0						4
	1								3								4						n X							24										n X					4		6		n
											X 6									cos															sin													cos
											X 6									cos															sin													cos
		2							2								n									4			2n2												4				2		n		2
											n											n							2n2							n									2		n
		12				sin											6		cos									12					sin			n							24			sin	n
	2n2					sin										n			cos								2n2						sin									2n2				sin
	2n2											2				n							2				2n2											2				2n2					2
			24								при n							4k 3, где k - натуральное число,

		2n2
		2n2

					24
											при n						4k 1, где k - натуральное число,
					2n2						при n						4k 1, где k - натуральное число,
					2n2
											при n четном.
		0									при n четном.

Таким образом,
									24								X					1					3 X							1							5 X
F ( X )												sin													sin												sin							... .
F ( X )										2		sin										32			sin									52			sin							... .
										2							4					32						4						52								4

Заменяя в полученном выражении Х на (х – 2) и имея ввиду, что F(X ) f (x) , получим разложение заданной функции на заданном отрезке [2, 6]:

	24		(x 2)	1		3 (x 2)	1		5 (x 2)
f (x)		sin			sin			sin		...
f (x)	2	sin		32	sin		52	sin		...
	2		4	32		4	52		4
					103

Заключение

Числовые и функциональные ряды применяются при изучении функций и позволяют находить их приближенные значения с любой, достаточной для практического использования, точностью. Использование теории рядов позволяет решать прикладные задачи математического анализа, экономики, инженерии, механики, геодезии, химии, физики, астрономии, биологии, архитектуры, эстетики, криптографии и т.д.

Числовые ряды используются для исследования функциональных рядов, среди которых наиболее применимы в механике и различных разделах физики степенные и тригонометрические. Периодические процессы (сила и напряжение переменного тока, колебательные и вращательные движения различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, электромагнитные колебания и другие многочисленные явления) могут быть описаны периодическими функциями, процесс разложения которых на гармоники носит в математике название гармонического анализа, некоторые моменты которого изложены в главе «Ряды Фурье» данного пособия.

Поэтому изучение студентами теоретических вопросов, связанных с исследованием рядов различных типов, получение навыков классификации типа ряда, знание основных свойств рядов, признаков их сходимости, алгоритмов разложения функции в степенной ряд и ряд Фурье является обязательной частью математического образования.

104

Индивидуальные задания Решение типового варианта № 0

Задание 1. Найти общий член ряда 12 232 253 274 ....

Решение. В числителях дробей an – нечетные числа 1, bn

3, 5, 7, …(2n –1). В знаменателях дробей – степень числа 2, каждый раз увеличивающаяся на 1 и совпадающая с номером члена ряда: 21, 22, 23, 24, …, 2n. Следовательно, общий член

ряда un 2n 1.

Задание 2. Найти сумму ряда или установить его расходимость

а)

...;

б)

1 2 3

4 5

n 1 4n

Решение. а) Составим общий член ряда un

n (n 1)(n 2)

и представим

его в

виде

суммы простейших дробей:

. Найдем неопределенные ко-

n (n 1)(n 2)

n 1

n 2

эффициенты А, В и С: приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем друг к другу числители дробей.

1	A(n 1)(n 2) Bn(n 2) Cn(n 1)	,
n (n 1)(n 2)	n(n 1)(n 2)

При n = 0: 1 2 A A 12 .

При n = –1: 1 B B 1.

При n = –2: 1 2C C			1	.
При n = –2: 1 2C C			2	.
			2
		1		1	1		1		1	2	1
Таким образом, u		1		1	1		1		1	2	1	.
Таким образом, u	n											.
	n	2n n 1			2(n 2)	2				n 1	n 2
		2n n 1			2(n 2)	2		n		n 1	n 2

Запишем частичную сумму ряда с учетом полученной новой формулы общего члена ряда:

	1	1	2	1	1	2	1	1		2	1	1	2	1	1	2	1
Sn																		...
Sn																		...
	2	1 2		3	2 3		4	3 4			5	4 5		6	5 6		7
									105

		1				2		1				1			2			1	1			2			1	1				1			1	1
																																			.
																																			.
	n 2				n 1 n						n 1 n							n 1 n			n 1				n 2	2				2			n 1	n 2
Итак,						lim			1	1			1					1	1	1			1
			Sn																					.
			Sn														n 2							.
							n		2	2 n 1							n 2		2 2 4
Следовательно, ряд сходится и имеет сумму S																												1	.
Следовательно, ряд сходится и имеет сумму S																													.
																											4
		б) Данный ряд представляет собой бесконечно убываю-
щую геометрическую прогрессию:
		5		5			5	5						5																		5
		5		5			5	5		...				5		... с первым членом b1																5	и знаме-

														4n
n 1		4n	4 16 64											4n																	4

нателем q 14 1.Следовательно, ряд сходится. Используем

формулу суммы бесконечно убывающей геометрической

прогрессии	S		b1	:	S		4		5	4	5	.
			b1
		1 q						1
		1 q				1		1	4	3	3
						1		4
								4

Задание 3. Исследовать сходимость рядов:

1 n

2n 1

а) 1

;

б)

;

в)

;

(n 1)2

(n 2)2

n 1

n 2 lg n

n 1

г)

е)

д)

;

3n 1

n 1

1)!

n 1

2n 1

n 1

Решение. а) 1

. Проверим, выполняется ли не-

n 1

обходимый признак сходимости ряда:

				1 n
lim un	lim 1				e 0		(второй замечательный предел),

n	n			n
значит, ряд расходится.
		1
б)			. Необходимый признак сходимости выполняет-

	n 2 lg n
				1		1
ся: lim un		lim					0 , ряд может как сходиться, так и

n		n lg n

расходиться. Применим один из достаточных признаков. Сравним исследуемый ряд с расходящимся гармоническим

106

рядом. Имеем:	1		1	, т.е. члены нашего ряда больше соот-
	lg n	n

ветствующих членов заведомо расходящегося ряда, значит, расходится и исследуемый ряд (первый признак сравнения).

2n 1

в)

n 1 (n 1)2 (n 2)2

Необходимый признак сходимости выполняется:

2n 1

lim un lim

lim

2)2

n (n 1)2 (n

n (n 1)2 (n 2)2

2 0

1 0

lim

2 n 2 2

2 2

n n 1

Применим второй (предельный)

признак сравнения –

срав-

ним с

обобщенным

гармоническим

рядом

n 1

n 1 n

p 3 1, т.к. в исследуемом ряде старшие степени числителя и знаменателя равны 1 и 4 соответственно, 4 – 1 = 3.

											2n 1
																					(2n 1) n3
lim	u	n		lim				(n 1)2 (n 2)2								lim					(2n 1) n3
lim				lim												lim
n vn					n								1				n (n 1)2 (n 2)2
n vn												n3					n (n 1)2 (n 2)2
												n3
					(2n 1) n3													2n 1				n3
lim							n		4					lim					n			n	3
									4														3

																								2
n (n 1)2 (n 2)2															n n 1 2					n 2				2

							n4

																	n			n
										1	0
						2				1			1
						2							1
										n						2
lim										n						2	2 const							0.
lim							2						2 2			1	2 const							0.
n						1	2						2 2			1
			1								1
			1								1
						n			1				n		1
																	107



Значит, оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходится и исследуемый ряд.

г)

Необходимый

признак

выполняется:

n 1 (n

1)!

lim

. Применим признак Даламбера:

1)!

(n 1)!

lim

un 1

lim

(n 2)!

lim

n (n 1)!(n 2)

n n 2

(n 1)!

0 1,

ряд сходится.

д)

Необходимый

признак

выполняется:

n 1 2n 1

1 n

lim

0 . Применим

радикальный

признак

n 2n

сходимости Коши:

lim

n un

ряд сходится.

2n 1 2

е)

Необходимый

признак

выполняется:

3n 1

n 1

lim

0 .

Применим интегральный признак схо-

3n 1

димости Коши. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда un = f (n) номер n непрерывной переменной х и убеждаемся, что полученная функция f(x) является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х.

Затем найдем несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним пределом:

108

	2		2			d (3x 1)	2		1
		dx		lim				lim ln (3x 1)

	3x 1					3x 1
			3				3 n
1					1

2 lim ln( 3 1) ln 2 .

3 n

Несобственный интеграл расходится, значит, и исследуемый ряд также расходится.

Задание 4. Исследовать сходимость рядов. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость.

( 1)

n 1

(2n 1)

3cos(2n 1)

а)

;

б)

;

в)

n 1

n (n 1)

n 1

( 1)n

Решение. а)

. Данный ряд – знакочередующий-

n 1

ся. По признаку Лейбница он сходится, т.к. члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине:

1	1	1	1		1	...		1	...	и его общий член стремится
1						...			...	и его общий член стремится
	2	6	24	120				n!
к нулю:			lim	1	0 .		Для		исследования на абсолютную и
к нулю:			lim		0 .		Для		исследования на абсолютную и
			n n!

условную сходимость составим ряд из модулей его членов:

	( 1)n		1	1	1	1		1
		1					...		.... Этот знакоположи-
	n!		2	6	24	120		n!
n 1

тельный ряд сходится по признаку Даламбера:

n 1

(n 1)!

lim

0 1.

n n!(n 1)

n n 1

Значит, исследуемый знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

	( 1)n 1 (2n 1)
б)		. Данный ряд – знакочередующийся.
б)	n (n 1)	. Данный ряд – знакочередующийся.
n 1	n (n 1)

По признаку Лейбница он сходится, т.к. члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине:

109

3	5	7	9		11	...		2n 1	... и его общий член стре-
							n (n 1)
2	6	12	20	30
мится к нулю:				lim		2n 1		0 .

				n n (n 1)

Для исследования на абсолютную и условную сходимость

составим

ряд

из

модулей

его

членов:

( 1)n 1 (2n 1)

2n 1

...

.... Этот

n (n 1)

n 1

12 20 30

знакоположительный ряд исследуем с помощью второго (предельного) признака сравнения: сравним его с расходя-

щимся гармоническим рядом :

n 1 n

	2n 1
			(2n 1)n		2n 1
lim	n (n 1)	lim	(2n 1)n	lim	2n 1	2 const 0.
lim	1	lim	n(n 1)	lim	n 1	2 const 0.
n	1	n	n(n 1)	n	n 1

Ряд из модулей членов данного ряда расходится, как и гармонический. Значит, исследуемый знакочередующийся ряд сходится условно.

	3cos(2n 1)
в)		. Этот ряд – знакопеременный. Заменим
в)	n4	. Этот ряд – знакопеременный. Заменим
n 1	n4

члены данного знакопеременного ряда, где – любое число,

их абсолютными значениями, и исследуем полученный ряд

	3cos(2n 1)

		с положительными членами. Сравним его с
	n4
n 1			3

обобщенным гармоническим рядом				, который сходится.
			4
		n 0 n

Каждый член полученного ряда не превосходит соответству-

				3cos(2n 1)	3
ющего члена			гармонического ряда:	3cos(2n 1)	3	, т.к.
ющего члена			гармонического ряда:	n4	n4	, т.к.
				n4	n4
	cos(2n 1)	1.	Поэтому, согласно первого признака сравне-
	cos(2n 1)	1.	Поэтому, согласно первого признака сравне-

ния, ряд с положительными членами также сходится, а данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf